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第8章WKB近似8.1“經(jīng)典”區(qū)域
8.2隧穿
8.3連接公式WKB(Wenzel，Kramers，Brillouin)1方法是得到一維定態(tài)薛定諤方程的近似解的一種技術(shù)(它的基本思想同樣可應(yīng)用于許多其他形式的微分方程和三維薛定諤方程的徑向部分)。此法對(duì)計(jì)算束縛態(tài)能量和勢(shì)壘穿透率都是非常有用的。它的基本思想如下：假設(shè)能量為E的粒子穿過(guò)勢(shì)能V(x)的區(qū)域，其中V(x)為常量。當(dāng)E>V時(shí)，則波函數(shù)的形式為ψ(x)=Ae±ikx其中k≡2m(E-V)/?正號(hào)表示粒子向右運(yùn)動(dòng)，而負(fù)號(hào)表示它向左運(yùn)動(dòng)(當(dāng)然，通解是兩項(xiàng)的線性組合)。波函數(shù)為振蕩函數(shù)，具有固定的波長(zhǎng)(λ=2π/k)和不變的振幅(A)?，F(xiàn)在設(shè)想V(x)不是一個(gè)常量，但是變化相比λ非常緩慢，因此包含許多波長(zhǎng)的區(qū)域中的勢(shì)能可以認(rèn)為基本上是不變的。這樣，除了波長(zhǎng)和振幅隨x緩慢地變化外，可以合理地認(rèn)為ψ實(shí)際上仍然保持正弦形式。這就是隱藏在WKB近似后面的核心思想。它將依賴x的問(wèn)題有效地分為兩種不同層次：快速振蕩；由振幅和波長(zhǎng)逐漸變化的調(diào)制。同理，當(dāng)E<V(其中V為常量)時(shí)，ψ的指數(shù)形式為：ψ(x)=Aeiκx其中κ≡2m(V-E)/?如果V(x)不是常量，但是相比1/κ變化很緩慢，除了A和κ隨x緩慢地變化外，則其解可以認(rèn)為基本上仍然保持指數(shù)形式。8.1“經(jīng)典”區(qū)域圖8.1經(jīng)典上，粒子束縛在E≥V(x)區(qū)域內(nèi)圖8.2崎嶇底部的無(wú)限深方勢(shì)阱8.2隧穿圖8.3頂部為崎嶇形狀的方勢(shì)壘的散射圖8.4一個(gè)高寬勢(shì)壘散射波函數(shù)的示意圖8.2隧穿圖8.5一個(gè)α粒子處于放射核中的伽莫夫模型勢(shì)圖8.6鈾和釷的壽命對(duì)數(shù)1/圖像
(其中E是發(fā)射的α粒子的能量)8.3連接公式圖8.7右拐點(diǎn)的放大圖表8.1艾里函數(shù)的一些性質(zhì)∫x20pxdx=n-14π?.(8.47)圖8.8艾里函數(shù)圖圖8.9修補(bǔ)區(qū)和兩個(gè)交疊區(qū)圖
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