生物信息學基礎講座

生物信息學基礎講座第3講生物信息學與數(shù)學第1頁，共37頁。微積分calculus第2頁，共37頁。函數(shù)function一元函數(shù)多元函數(shù)第3頁，共37頁。極限limit上式中的L即為函數(shù)f(x)在x0處的極限第4頁，共37頁。導數(shù)derivative導數(shù)的幾何意義函數(shù)曲線在該點處切線（tangent）的斜率（slope）第5頁，共37頁。導數(shù)的規(guī)則rulesforderivatives加法規(guī)則additionrule傳遞原則chainrule乘法原則multiplicationrule除法原則divisionrule第6頁，共37頁。Appliedcalculus變化Change:常導數(shù)ordinary、偏導數(shù)partial和方向?qū)?shù)directionalderivatives最優(yōu)化optimization：包括擬合fitting和帶約束的優(yōu)化constrainedoptimization建模modeling函數(shù)類型：線性linear、多項式polynomial、指數(shù)exponential、三角trigonometric、冪power-law多元函數(shù)multi-variablesfunction微分方程differentialequation單位和維度unitsanddimension例子:二元二次多項式第7頁，共37頁。微分方程：動態(tài)過程建模DifferentialEquation第8頁，共37頁。動態(tài)模型dynamicmodel描述研究對象特征隨時間/空間變化的演變過程分析研究對象特征的變化規(guī)律預測研究對象特征的未來狀態(tài)控制研究對象特征的未來狀態(tài)微分方程建模方法根據(jù)函數(shù)及其變化率（導數(shù)）的關(guān)系建模根據(jù)建模目的和問題分析簡化假設根據(jù)內(nèi)在規(guī)律（模式）或類比法建立微分方程第9頁，共37頁。線性代數(shù)：矩陣之美LinearAlgebra第10頁，共37頁?；靖拍罴希╯et）線性空間（linearspace）線性組合（linearcombination）線性相關(guān)（linearindependent）歐式空間（Euclideanspace）正交（perpendicular，orthogonal）第11頁，共37頁。向量的加法（addition）其實質(zhì)是對應元素的加法交換律（communicativelaw）結(jié)合律（associativelaw）分配率（distributivelaw）向量加減的幾何學意義（geometricinterpretation）第12頁，共37頁。向量乘法（multiplication）的幾何意義內(nèi)積（innerproduct）：也稱作點乘（dotproduct），其結(jié)果為一標量（scalar），相當于a的范數(shù)（L2-norm）與b的范數(shù)的乘積乘以兩向量的夾角余弦值，表示為<a,b>或a·b應用：計算物理上的做功。外積（outerproduct）：也稱作叉乘（crossproduct），其結(jié)果為垂直于向量a與b形成的的平面的向量，其范數(shù)為向量a和b范數(shù)的乘積乘以夾角的正弦值，表示為a×b應用：物理上的電磁力計算，確定方向采用右手螺旋方法第13頁，共37頁。矩陣（matrix）矩陣的秩（rank）：矩陣A的行（或列）極大無關(guān)組的個數(shù)，表示為rank(A)，rank(A)<=min(m,n)。如果等式成立，則稱A是滿秩（fullrank）的（行滿秩還是列滿秩取決于m、n大?。?；如果rank(A)=m=n，則稱A為n階非奇異方陣（n-ordernonsingularsquarematrix），此時A可逆（invertible）。方陣的行列式（determinant），表示為det(A)。矩陣非奇異的充要條件是：det(A)<>0矩陣的轉(zhuǎn)置（transposematrix）逆矩陣（inversematrix）對稱矩陣（symmetricmatrix）正交矩陣（orthonormalmatrix）正定矩陣（positivedefinitematrix）正半定矩陣（positivesemidefinitematrix）第14頁，共37頁。矩陣分解（decomposition/factorization）所謂矩陣分解，是將矩陣分解為經(jīng)典矩陣（canonicalmatrix）的乘積的辦法，目的是為了簡化計算。LU分解：將矩陣分解為下三角矩陣（uppertriangularmatrix，L）和上三角矩陣（uppertriangularmatrix，U）的乘積，常用于方程組的求解。通常A為方陣QR分解：將矩陣分解為一個正規(guī)正交矩陣（Q）和一個上三角矩陣的積（R）。QR分解常用來求解線性最小二乘問題。矩陣不必為方陣，分解得到Q為m×m方陣，R為n×n方陣Cholesky分解：特征值分解（eigendecomposition）：Schur分解：奇異值分解（singularvaluedecomposition,SVD）：A=USVT，其中U、V為正規(guī)正交矩陣，S為對角陣。是最為準確的矩陣分解方法，可用于主成份分析（PCA）和聚類（clustering）第15頁，共37頁。最優(yōu)化：理論與應用OptimizationTheory&Applications第16頁，共37頁。數(shù)學規(guī)劃（mathematicalprogramming）最優(yōu)化理論的一個重要分支數(shù)學規(guī)劃是指對n個變量對單目標（或多目標）函數(shù)求解極小值（或極大值）變量可能受到某些條件（等式或不等式）的約束第17頁，共37頁。優(yōu)化問題：分類線性規(guī)劃+非線性規(guī)劃（二次規(guī)劃等）凸規(guī)劃+非凸規(guī)劃全局（global）優(yōu)化和局部（local）優(yōu)化帶約束的優(yōu)化+不帶約束的優(yōu)化無約束優(yōu)化應用：最小二乘法（ordinaryleastsquares,OLS）帶約束的優(yōu)化應用：LASSO（leastabsoluteshrinkageandselectionoperator）第18頁，共37頁。線性規(guī)劃（linearprogramming）目標函數(shù)（objective）和約束函數(shù)（constraint）都是線性的方法（solutions）圖解法（graphicalmethod）單純形法（Simplexmethod）修正單純形法（ModifiedSimplexmethod）對偶單純形法（dualSimplexmethod）應用：第19頁，共37頁。二次規(guī)劃（quadraticprogramming）第20頁，共37頁。概率論：賭場中產(chǎn)生的科學Probability第21頁，共37頁。統(tǒng)計：科學還是騙術(shù)？Statistics：CheatingTools？第22頁，共37頁。DescriptivestatisticsContinuousdataLocation:mean,median,modeDispersion:range,standarddeviation,coefficientofvariation,percentileMoments:variance,semivariance,skewness,kurtosisCategoricaldataFrequencyContingencytable第23頁，共37頁。StatisticalgraphicsbarplotbiplotboxplotHistogramStemplotQ-Qplotcorrelogram第24頁，共37頁。Mathematicscanbebeautiful…第25頁，共37頁。barplot第26頁，共37頁。boxplot第27頁，共37頁。Pairsplot第28頁，共37頁。Perspectiveplot第29頁，共37頁。Timeseriesdatadecomposition第30頁，共37頁。Stemplot

1|55555566666678999992|33442|593|3|56784|012第31頁，共37頁。隨機過程：從偶然到必然StochasticProcess第32頁，共37頁。馬爾可夫鏈（MarkovChain）有向無環(huán)圖（DirectedAcyclicGraph,DAG）可用于預測（prediction）與分類（classification）每條有向邊為量化的可信度（或者概率）是馬爾可夫鏈（Markovchain,MC）的擴展（extension或generalization）每個節(jié)點概率的計算，可用貝葉斯公式計算；與馬爾可夫鏈相似，每個狀態(tài)值取決于前面有限個狀態(tài)第33頁，共37頁。貝葉斯網(wǎng)絡（BayesianNetwork）有向無環(huán)圖（DirectedAcyclicGraph,DAG）可用于預測（prediction）與分類（classification）每條有向邊為量化的可信度（或者概率）是馬爾可夫鏈（Markovchain,MC）的擴展（extension或generalization）每個節(jié)點概率的計算，可用貝葉斯公式計算；與馬爾可夫鏈相似，每個狀態(tài)值取決于前面有限個狀態(tài)第34頁，共37頁。圖論：樹與網(wǎng)絡GraphTheory第35頁，共37頁。Classificationminds(apple,orange,banana,watermelon,grape,grapefruit,mango,starfruit)Clusteringorclassification?第36頁，共37頁。內(nèi)容梗概生物信息學基礎講座。第3講生物信息學與數(shù)學。導數(shù)的規(guī)則rulesforderivatives。變化Change:常導數(shù)ordinary、偏導數(shù)partial和方向?qū)?shù)directionalderivatives。函數(shù)類型：線性linear、多項式polynomial、指數(shù)exponential、三角trigonometric、冪power-law。單位和維度unitsanddimension。<a,b>或a·b。如果等式成立，則稱A是滿秩（fullrank）的（行滿秩還是列滿秩取決于m、n大?。Ｕ攵ň仃嚕╬os