概率的加法公式與乘法公式課件

概率論與數(shù)理統(tǒng)計第三講概率的運算法則經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概率論與數(shù)理統(tǒng)計第三講概率的運算法則經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1第三節(jié)概率的運算法則一、概率的加法公式二、條件概率三、概率的乘法公式第三節(jié)概率的運算法則一、概率的加法公式2

設(shè)E是隨機試驗，W是它的樣本空間，對E的每一個事件A，將其對應(yīng)于唯一實數(shù)，記為P(A)，稱為事件A的概率，如果集合函數(shù)P(?)滿足下列條件：一、概率的公理化定義1非負性2規(guī)范性3可列可加性 設(shè)E是隨機試驗，W是它的樣本空間，對E的每一個事件A，將其3二.概率的加法法則性質(zhì)1性質(zhì)2（有限可加性）性質(zhì)3性質(zhì)4二.概率的加法法則性質(zhì)1性質(zhì)2（有限可加性）性質(zhì)3性質(zhì)44

性質(zhì)3證明：證明性質(zhì)3性質(zhì)3證明：證明性質(zhì)35證明：證明性質(zhì)4證明：證明性質(zhì)46例1

設(shè)有一批產(chǎn)品共100件，其中5件是次品，任取3件，求：至少有一件是次品的概率。解

法一.設(shè)A為“任取三件至少有一件次品”，Bi表示“任取三件恰好有i件次品”，則例1設(shè)有一批產(chǎn)品共100件，其中5件是次品，任取3件，求7法二.表示“任取三件全是正品”，而法二.表示“任取三件全是正品”，而8例2袋中有紅、黃、白色球各一個，每次任取一只，有放回地抽三次，求三次抽取“顏色全同”、“至少一只紅球”的概率．解

例2袋中有紅、黃、白色球各一個，每次任取一只，有放回地抽9定理1（加法公式）證明：因為且故若A,B互不相容，有一般地，定理1（加法公式）證明：因為且故若A,B互不相容，有一般地，10定理1可以推廣到多個事件的情形。推論1若A1,A2,A3為任意三個事件，則定理1可以推廣到多個事件的情形。推論1若A1,A2,A311例3在例2中，求“取到的三個球里沒有紅球或沒有黃球”的概率．解例3在例2中，求“取到的三個球里沒有紅球或沒有黃球”12例4

設(shè)、為兩事件，且設(shè)，求解而所以于是例4設(shè)、為兩事件，且設(shè)13解：因為A、B、C

都不出現(xiàn)的概率為=1P(A)P(B)P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC)=11/41/41/4+0+1/6+1/60=15/12=7/12例5

P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,求A、B、C

都不出現(xiàn)的概率.解：因為A、B、C都不出現(xiàn)的概率為=1P(A)P(B14

前面講的概率問題沒有什么附加條件，但實際中可能會經(jīng)常遇到許多有條件的概率問題比如：(1)已知某人艾茲檢查為陽性，求他患艾茲的概率；(2)在摸獎中已知第一人已經(jīng)或未摸到一等獎，求第二人摸到一等獎的概率。(3)人壽保險中常常會考慮：已知某人已經(jīng)活了x歲，求他能再活y歲的概率。二、條件概率前面講的概率問題沒有什么附加條件，但實際中可能會15

例6：E：將一枚硬幣拋二次，觀察正反面出現(xiàn)的情況。Ω={HH，HT，TH，TT}A=“至少有一次為H”={HH，HTTH}B=“兩次為同一面”={HH，TT}已知事件A發(fā)生的條件下，求事件B發(fā)生的概率。解：(1)事件A發(fā)生這個條件告訴我們，試驗的結(jié)果{TT}不能出現(xiàn)，而只出現(xiàn){HH，HT，TH}，這時B要發(fā)生只能出現(xiàn)結(jié)果{HH}。從而P(“事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生”)=1/3P(“事件A發(fā)生的條件下事件B不發(fā)生”)=2/3例6：E：將一枚硬幣拋二次，觀察正反面出現(xiàn)的情況16(2)如果沒有事件A發(fā)生這個條件則事件B發(fā)生的概率為：(3)事件A與事件B同時發(fā)生的概率為：從而有公式：(2)如果沒有事件A發(fā)生這個條件則事件B發(fā)生的概率為：(3)17(3)可以驗證，條件概率P(?|A)滿足概率公理化定義中的三條公理

定義1為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率1非負性2規(guī)范性3可列可加性(3)可以驗證，條件概率P(?|A)滿足概率公理化定義中的三18由此可知，前面推出的概率的性質(zhì)對條件概率同樣適用，例如：由此可知，前面推出的概率的性質(zhì)對條件概率同樣適用，例如：19概率

P(B|A)與P(AB)的區(qū)別與聯(lián)系聯(lián)系：事件A，B都發(fā)生了區(qū)別：（1）在P(B|A)中，事件A，B發(fā)生有時間上的差異，A先B后；在P（AB）中，事件A，B同時發(fā)生。（2）樣本空間不同，在P(B|A)中，事件A成為樣本空間；在P（AB）中，樣本空間仍為。因而有概率P(B|A)與P(AB)的區(qū)別與聯(lián)系聯(lián)系：事件A，B都20例7

一袋中有10個球，其中3個黑球，7個白球，依次從袋中不放回取兩球。試求：已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率.解記因為所以

例7一袋中有10個球，其中3個黑球，7個白球，依次從21例8

考慮恰有兩個小孩的家庭，若已知某一家有男孩求這家有兩個男孩的概率；若已知某家第一個是男孩，求這家有兩個男孩（相當(dāng)于第二個也是男孩）的概率（假定生男生女為等可能）例8考慮恰有兩個小孩的家庭，若已知某一家有男孩求這家有兩22于是得所求的兩個條件概率為于是得所求的兩個條件概率為23三、概率的乘法公式定理1

（乘法公式）則由歸納法可得：則由可得三、概率的乘法公式定理1（乘法公式）則由歸納法可得：則由可24例8

關(guān)于某產(chǎn)品的檢驗方案為從100件中任取一件，無放回，如為次品，認為不合格；如為正品，再抽一件；如此連續(xù)至多4次，如連續(xù)抽取4件正品，則認為這批產(chǎn)品合格，現(xiàn)假定這批產(chǎn)品中5%是次品，問產(chǎn)品被拒收的概率。解設(shè)則因此例8關(guān)于某產(chǎn)品的檢驗方案為從100件中任取一件，無放25解：例9：據(jù)以往資料，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下特點：設(shè)A={孩子得病}，B＝{母親得病}，C＝{父親得病}P(孩子得病)＝0.6，P(母親得?。⒆拥貌?＝0.5P(父親得?。赣H及孩子得病)＝0.4求“母親及孩子得病但父親未得病”的概率。解：例9：據(jù)以往資料，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下26

作業(yè)習(xí)題3

作業(yè)習(xí)題327概率論與數(shù)理統(tǒng)計第三講概率的運算法則經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概率論與數(shù)理統(tǒng)計第三講概率的運算法則經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)28第三節(jié)概率的運算法則一、概率的加法公式二、條件概率三、概率的乘法公式第三節(jié)概率的運算法則一、概率的加法公式29

設(shè)E是隨機試驗，W是它的樣本空間，對E的每一個事件A，將其對應(yīng)于唯一實數(shù)，記為P(A)，稱為事件A的概率，如果集合函數(shù)P(?)滿足下列條件：一、概率的公理化定義1非負性2規(guī)范性3可列可加性 設(shè)E是隨機試驗，W是它的樣本空間，對E的每一個事件A，將其30二.概率的加法法則性質(zhì)1性質(zhì)2（有限可加性）性質(zhì)3性質(zhì)4二.概率的加法法則性質(zhì)1性質(zhì)2（有限可加性）性質(zhì)3性質(zhì)431

性質(zhì)3證明：證明性質(zhì)3性質(zhì)3證明：證明性質(zhì)332證明：證明性質(zhì)4證明：證明性質(zhì)433例1

設(shè)有一批產(chǎn)品共100件，其中5件是次品，任取3件，求：至少有一件是次品的概率。解

法一.設(shè)A為“任取三件至少有一件次品”，Bi表示“任取三件恰好有i件次品”，則例1設(shè)有一批產(chǎn)品共100件，其中5件是次品，任取3件，求34法二.表示“任取三件全是正品”，而法二.表示“任取三件全是正品”，而35例2袋中有紅、黃、白色球各一個，每次任取一只，有放回地抽三次，求三次抽取“顏色全同”、“至少一只紅球”的概率．解

例2袋中有紅、黃、白色球各一個，每次任取一只，有放回地抽36定理1（加法公式）證明：因為且故若A,B互不相容，有一般地，定理1（加法公式）證明：因為且故若A,B互不相容，有一般地，37定理1可以推廣到多個事件的情形。推論1若A1,A2,A3為任意三個事件，則定理1可以推廣到多個事件的情形。推論1若A1,A2,A338例3在例2中，求“取到的三個球里沒有紅球或沒有黃球”的概率．解例3在例2中，求“取到的三個球里沒有紅球或沒有黃球”39例4

設(shè)、為兩事件，且設(shè)，求解而所以于是例4設(shè)、為兩事件，且設(shè)40解：因為A、B、C

都不出現(xiàn)的概率為=1P(A)P(B)P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC)=11/41/41/4+0+1/6+1/60=15/12=7/12例5

P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,求A、B、C

都不出現(xiàn)的概率.解：因為A、B、C都不出現(xiàn)的概率為=1P(A)P(B41

前面講的概率問題沒有什么附加條件，但實際中可能會經(jīng)常遇到許多有條件的概率問題比如：(1)已知某人艾茲檢查為陽性，求他患艾茲的概率；(2)在摸獎中已知第一人已經(jīng)或未摸到一等獎，求第二人摸到一等獎的概率。(3)人壽保險中常常會考慮：已知某人已經(jīng)活了x歲，求他能再活y歲的概率。二、條件概率前面講的概率問題沒有什么附加條件，但實際中可能會42

例6：E：將一枚硬幣拋二次，觀察正反面出現(xiàn)的情況。Ω={HH，HT，TH，TT}A=“至少有一次為H”={HH，HTTH}B=“兩次為同一面”={HH，TT}已知事件A發(fā)生的條件下，求事件B發(fā)生的概率。解：(1)事件A發(fā)生這個條件告訴我們，試驗的結(jié)果{TT}不能出現(xiàn)，而只出現(xiàn){HH，HT，TH}，這時B要發(fā)生只能出現(xiàn)結(jié)果{HH}。從而P(“事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生”)=1/3P(“事件A發(fā)生的條件下事件B不發(fā)生”)=2/3例6：E：將一枚硬幣拋二次，觀察正反面出現(xiàn)的情況43(2)如果沒有事件A發(fā)生這個條件則事件B發(fā)生的概率為：(3)事件A與事件B同時發(fā)生的概率為：從而有公式：(2)如果沒有事件A發(fā)生這個條件則事件B發(fā)生的概率為：(3)44(3)可以驗證，條件概率P(?|A)滿足概率公理化定義中的三條公理

定義1為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率1非負性2規(guī)范性3可列可加性(3)可以驗證，條件概率P(?|A)滿足概率公理化定義中的三45由此可知，前面推出的概率的性質(zhì)對條件概率同樣適用，例如：由此可知，前面推出的概率的性質(zhì)對條件概率同樣適用，例如：46概率

P(B|A)與P(AB)的區(qū)別與聯(lián)系聯(lián)系：事件A，B都發(fā)生了區(qū)別：（1）在P(B|A)中，事件A，B發(fā)生有時間上的差異，A先B后；在P（AB）中，事件A，B同時發(fā)生。（2）樣本空間不同，在P(B|A)中，事件A成為樣本空間；在P（AB）中，樣本空間仍為。因而有概率P(B|A)與P(AB)的區(qū)別與聯(lián)系聯(lián)系：事件A，B都47例7

一袋中有10個球，其中3個黑球，7個白球，依次從袋中不放回取兩球。試求：已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率.解記因為所以

例7一袋中有10個球，其中3個黑球，7個白球，依次從48例8

考慮恰有兩個小孩的家庭，若已知某一家有男