討論平面靜電場(chǎng)中的復(fù)變函數(shù)方法模板課件

題目：討論平面靜電場(chǎng)中的

復(fù)變函數(shù)方法報(bào)告人：xxx

指導(dǎo)老師：xxxxx1感謝你的欣賞2019-8-14

題目：討論平面靜電場(chǎng)中的

復(fù)變函數(shù)方法1感謝你的欣賞201一、引言（1）在電磁學(xué)中，我們對(duì)電場(chǎng)的問(wèn)題總是在一個(gè)三維的空間進(jìn)行討論，而電場(chǎng)中諸多的對(duì)稱性讓我們想到在一個(gè)剖切面進(jìn)行考慮問(wèn)題(2)復(fù)變函數(shù)有時(shí)在平面解決問(wèn)題的一個(gè)很好的工具。本文正是把電場(chǎng)中的問(wèn)題變換成復(fù)變函數(shù)模型，進(jìn)而進(jìn)行分析。2感謝你的欣賞2019-8-14一、引言（1）在電磁學(xué)中，我們對(duì)電場(chǎng)的問(wèn)題總是在一個(gè)三維的空

二、把靜電場(chǎng)中的一些問(wèn)題化為復(fù)變函數(shù)模型3感謝你的欣賞2019-8-14

二、把靜電場(chǎng)中的一些問(wèn)題化為復(fù)變函數(shù)模型3感謝你的對(duì)于一般的平面靜電場(chǎng)，我們選取一個(gè)有代表性的平面作為z平面，設(shè)D是電場(chǎng)中的一大單連通區(qū)域，如果D內(nèi)每一點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度

的散度：(1)以C表示一光滑曲線，Ω是D所圍的有界區(qū)域，且

，由格林公式：

上式表示沿閉曲線C的電通量，確定單值函數(shù)：

(2)稱為電場(chǎng)的力函數(shù)，等值線=a（常數(shù)）叫電力線。4感謝你的欣賞2019-8-14對(duì)于一般的平面靜電場(chǎng)，我們選取一個(gè)有代表性的平面作為z4電場(chǎng)的旋度：(3)

類似有：

上式表示沿閉曲線C所作的功，確定單值函數(shù)：

(4)

稱為電場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)，其等值線=b（常數(shù)）叫電勢(shì)線。5感謝你的欣賞2019-8-145感謝你的欣賞2019-8-14由(1)(3)得(5)

滿足C-R方程，故是D內(nèi)的全純函數(shù)同理，復(fù)勢(shì)是D內(nèi)的全純函數(shù)且知與E滿足如下關(guān)系:

(6)

6感謝你的欣賞2019-8-14由(1)(3)得應(yīng)當(dāng)指出:在多連同區(qū)域內(nèi),復(fù)勢(shì)可能是一個(gè)多值函數(shù),對(duì)于

此區(qū)域內(nèi)任意一條光滑曲線C,有(7)其中ГQ分別是平面靜電場(chǎng)沿C的所做的功與電通量.7感謝你的欣賞2019-8-14應(yīng)當(dāng)指出:在多連同區(qū)域內(nèi),復(fù)勢(shì)可能是一個(gè)多值函數(shù),對(duì)于7感謝

三、簡(jiǎn)單初等函數(shù)表示平面靜電場(chǎng)的幾個(gè)例子8感謝你的欣賞2019-8-14

三、簡(jiǎn)單初等函數(shù)表示平面靜電場(chǎng)的幾個(gè)例子8感謝你的（一）考慮一足夠長(zhǎng)(可以看成無(wú)限長(zhǎng))的均勻帶電直線所產(chǎn)生的電場(chǎng),以λ表電荷的線密度,任取垂直于的一個(gè)平面為平面,且原點(diǎn)在平面上,現(xiàn)來(lái)求此平面靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度和復(fù)勢(shì).9感謝你的欣賞2019-8-14（一）考慮一足夠長(zhǎng)(可以看成無(wú)限長(zhǎng))的均勻帶電直線所產(chǎn)生的電分析如下:庫(kù)倫定理知，點(diǎn)電荷q在相距其r處產(chǎn)生的電場(chǎng):

則本題中

其中λ是點(diǎn)電荷的線密度，dh是直線上的長(zhǎng)度微元，是真空介電常數(shù)所以，|dE|在z平面的投影為10感謝你的欣賞2019-8-14分析如下:10感謝你的欣賞2019-8-14推出由于E的方向與z相同，其單位向量為所以電場(chǎng)強(qiáng)度E的初等復(fù)變函數(shù)的表示為:---------(8)

11感謝你的欣賞2019-8-14推出11感謝你的欣賞2019-8-14

而根據(jù)(6)復(fù)勢(shì)為：

(9)

為了方便,上式中取常數(shù)c=0.這不影響電場(chǎng)強(qiáng)度E所以

為力函數(shù).（常數(shù)）表示電力線(虛線).為勢(shì)函數(shù).表示等勢(shì)線（實(shí)線）.（如右圖所示）12感謝你的欣賞2019-8-14而根據(jù)(6)復(fù)勢(shì)為：12感謝你的欣賞2019-8-14以C表示一原點(diǎn)為中心的一個(gè)圓周,則由(7)式得

令，則

即易知:因此,該點(diǎn)電荷C的環(huán)量為0,沿C的電通量為這與電場(chǎng)的環(huán)路定理和高斯定理相吻合.13感謝你的欣賞2019-8-14以C表示一原點(diǎn)為中心的一個(gè)圓周,則由(7)式得13感謝你的欣(二)在Z平面的點(diǎn)..…處分別有電量為……的點(diǎn)電荷.求這些點(diǎn)電荷所形成的電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度和復(fù)勢(shì).分析如下:由上計(jì)算知根據(jù)電路的疊加原理,上述電荷所組成的電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為:

復(fù)勢(shì)為：

14感謝你的欣賞2019-8-14(二)在Z平面的點(diǎn)..…處分別有電量為特別地,當(dāng)，

（即電偶極子），且在的點(diǎn)電荷的電量為，則由這兩異性的點(diǎn)電荷所形成的復(fù)勢(shì)為：

而力函數(shù)，當(dāng)(為常數(shù))，電力線是經(jīng)過(guò)的圓周又勢(shì)函數(shù)，當(dāng)（b為常數(shù)），等勢(shì)線是以為對(duì)稱的圓周.（見(jiàn)下圖）15感謝你的欣賞2019-8-14特別地,當(dāng)16感謝你的欣賞2019-8-1416感謝你的欣賞2019-8-14

四.用復(fù)變的方法處理靜電場(chǎng)的具體問(wèn)題---平行板電容器所形成的電場(chǎng).17感謝你的欣賞2019-8-14

四.用復(fù)變的方法處理靜電場(chǎng)的具體問(wèn)題---平行板考慮在平行板電容器內(nèi)部,而不是兩端附近的靜電場(chǎng),那么可以近似的把電場(chǎng)看成是均勻的.在兩端附近是不均勻的.但我們考慮一端附近的靜電場(chǎng),可以忽略另一端的影響,那么可以把平行板電容器表示成兩個(gè)半平面的形狀,下圖就是垂直與一平行板的剖面圖.以表示平行板間的距離2h,又設(shè)它們的電勢(shì)分別為18感謝你的欣賞2019-8-14考慮在平行板電容器內(nèi)部,而不是兩端附近的靜電場(chǎng),那么可以近似因此,要求出此平面靜電場(chǎng)的復(fù)勢(shì),只有解如下邊值問(wèn)題.即上圖中所示區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù),使它滿足邊界條件：

且使

實(shí)際上,這只要找出區(qū)域D到W平面上寬為2b的帶形區(qū)域G的共形映射（見(jiàn)下圖）19感謝你的欣賞2019-8-14因此,要求出此平面靜電場(chǎng)的復(fù)勢(shì),只???

施瓦茲---科利斯多費(fèi)爾定理20感謝你的欣賞2019-8-14???施瓦茲---科利斯多費(fèi)爾定理20感謝你的欣賞這樣我們就找到了從映射G到D的單葉解析函數(shù)：將上式分成實(shí)部和虛部得：分別在上式中取常數(shù)，與常數(shù)，便得電力線和等勢(shì)線的參數(shù)方程21感謝你的欣賞2019-8-14這樣我們就找到了從映射G到D的單葉解析函數(shù)：21感謝你的欣賞由上式及(6)還求的電場(chǎng)強(qiáng)度：在此平行板電容器的內(nèi)部,即z接近A點(diǎn)，又w接近，故電場(chǎng)強(qiáng)度也就是接近勻強(qiáng)電場(chǎng).當(dāng)z在平行板電容器一端附近,即接近B或E，，此時(shí),E趨于。上式的E值反映了電容器所形成的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小情況.22感謝你的欣賞2019-8-14由上式及(6)還求的電場(chǎng)強(qiáng)度：22感謝你的欣賞2019-8-五.總結(jié)本文先把平面靜電場(chǎng)的一些問(wèn)題化為復(fù)變函數(shù)的問(wèn)題,然后用共形映射與邊值問(wèn)題的方法處理這些問(wèn)題.通過(guò)著篇論文我學(xué)到了很多知識(shí)，對(duì)電場(chǎng)問(wèn)題有了更多地了解，也更深刻地了解到變函數(shù)這個(gè)工具的強(qiáng)大力量23感謝你的欣賞2019-8-14五.總結(jié)本文先把平面靜電場(chǎng)的一些問(wèn)題化為復(fù)變函數(shù)的問(wèn)題,然后參考資料:張玉民,戚伯云,電磁學(xué).科學(xué)出版社—中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社2000鄭建華,復(fù)變函數(shù).清華大學(xué)出版社.2005.1聞國(guó)椿,殷慰萍,復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用.首都師范大學(xué)出版社.1999.724感謝你的欣賞2019-8-14參考資料:張玉民,戚伯云,電磁學(xué).科學(xué)出版社—中國(guó)科學(xué)技術(shù)大謝謝25感謝你的欣賞2019-8-14謝謝25感謝你的欣賞2019-8-1426感謝你的欣賞2019-8-1426感謝你的欣賞2019-8-1427感謝你的欣賞2019-8-1427感謝你的欣賞2019-8-14

題目：討論平面靜電場(chǎng)中的

復(fù)變函數(shù)方法報(bào)告人：xxx

指導(dǎo)老師：xxxxx28感謝你的欣賞2019-8-14

題目：討論平面靜電場(chǎng)中的

復(fù)變函數(shù)方法1感謝你的欣賞201一、引言（1）在電磁學(xué)中，我們對(duì)電場(chǎng)的問(wèn)題總是在一個(gè)三維的空間進(jìn)行討論，而電場(chǎng)中諸多的對(duì)稱性讓我們想到在一個(gè)剖切面進(jìn)行考慮問(wèn)題(2)復(fù)變函數(shù)有時(shí)在平面解決問(wèn)題的一個(gè)很好的工具。本文正是把電場(chǎng)中的問(wèn)題變換成復(fù)變函數(shù)模型，進(jìn)而進(jìn)行分析。29感謝你的欣賞2019-8-14一、引言（1）在電磁學(xué)中，我們對(duì)電場(chǎng)的問(wèn)題總是在一個(gè)三維的空

二、把靜電場(chǎng)中的一些問(wèn)題化為復(fù)變函數(shù)模型30感謝你的欣賞2019-8-14

二、把靜電場(chǎng)中的一些問(wèn)題化為復(fù)變函數(shù)模型3感謝你的對(duì)于一般的平面靜電場(chǎng)，我們選取一個(gè)有代表性的平面作為z平面，設(shè)D是電場(chǎng)中的一大單連通區(qū)域，如果D內(nèi)每一點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度

的散度：(1)以C表示一光滑曲線，Ω是D所圍的有界區(qū)域，且

，由格林公式：

上式表示沿閉曲線C的電通量，確定單值函數(shù)：

(2)稱為電場(chǎng)的力函數(shù)，等值線=a（常數(shù)）叫電力線。31感謝你的欣賞2019-8-14對(duì)于一般的平面靜電場(chǎng)，我們選取一個(gè)有代表性的平面作為z4電場(chǎng)的旋度：(3)

類似有：

上式表示沿閉曲線C所作的功，確定單值函數(shù)：

(4)

稱為電場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)，其等值線=b（常數(shù)）叫電勢(shì)線。32感謝你的欣賞2019-8-145感謝你的欣賞2019-8-14由(1)(3)得(5)

滿足C-R方程，故是D內(nèi)的全純函數(shù)同理，復(fù)勢(shì)是D內(nèi)的全純函數(shù)且知與E滿足如下關(guān)系:

(6)

33感謝你的欣賞2019-8-14由(1)(3)得應(yīng)當(dāng)指出:在多連同區(qū)域內(nèi),復(fù)勢(shì)可能是一個(gè)多值函數(shù),對(duì)于

此區(qū)域內(nèi)任意一條光滑曲線C,有(7)其中ГQ分別是平面靜電場(chǎng)沿C的所做的功與電通量.34感謝你的欣賞2019-8-14應(yīng)當(dāng)指出:在多連同區(qū)域內(nèi),復(fù)勢(shì)可能是一個(gè)多值函數(shù),對(duì)于7感謝

三、簡(jiǎn)單初等函數(shù)表示平面靜電場(chǎng)的幾個(gè)例子35感謝你的欣賞2019-8-14

三、簡(jiǎn)單初等函數(shù)表示平面靜電場(chǎng)的幾個(gè)例子8感謝你的（一）考慮一足夠長(zhǎng)(可以看成無(wú)限長(zhǎng))的均勻帶電直線所產(chǎn)生的電場(chǎng),以λ表電荷的線密度,任取垂直于的一個(gè)平面為平面,且原點(diǎn)在平面上,現(xiàn)來(lái)求此平面靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度和復(fù)勢(shì).36感謝你的欣賞2019-8-14（一）考慮一足夠長(zhǎng)(可以看成無(wú)限長(zhǎng))的均勻帶電直線所產(chǎn)生的電分析如下:庫(kù)倫定理知，點(diǎn)電荷q在相距其r處產(chǎn)生的電場(chǎng):

則本題中

其中λ是點(diǎn)電荷的線密度，dh是直線上的長(zhǎng)度微元，是真空介電常數(shù)所以，|dE|在z平面的投影為37感謝你的欣賞2019-8-14分析如下:10感謝你的欣賞2019-8-14推出由于E的方向與z相同，其單位向量為所以電場(chǎng)強(qiáng)度E的初等復(fù)變函數(shù)的表示為:---------(8)

38感謝你的欣賞2019-8-14推出11感謝你的欣賞2019-8-14

而根據(jù)(6)復(fù)勢(shì)為：

(9)

為了方便,上式中取常數(shù)c=0.這不影響電場(chǎng)強(qiáng)度E所以

為力函數(shù).（常數(shù)）表示電力線(虛線).為勢(shì)函數(shù).表示等勢(shì)線（實(shí)線）.（如右圖所示）39感謝你的欣賞2019-8-14而根據(jù)(6)復(fù)勢(shì)為：12感謝你的欣賞2019-8-14以C表示一原點(diǎn)為中心的一個(gè)圓周,則由(7)式得

令，則

即易知:因此,該點(diǎn)電荷C的環(huán)量為0,沿C的電通量為這與電場(chǎng)的環(huán)路定理和高斯定理相吻合.40感謝你的欣賞2019-8-14以C表示一原點(diǎn)為中心的一個(gè)圓周,則由(7)式得13感謝你的欣(二)在Z平面的點(diǎn)..…處分別有電量為……的點(diǎn)電荷.求這些點(diǎn)電荷所形成的電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度和復(fù)勢(shì).分析如下:由上計(jì)算知根據(jù)電路的疊加原理,上述電荷所組成的電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為:

復(fù)勢(shì)為：

41感謝你的欣賞2019-8-14(二)在Z平面的點(diǎn)..…處分別有電量為特別地,當(dāng)，

（即電偶極子），且在的點(diǎn)電荷的電量為，則由這兩異性的點(diǎn)電荷所形成的復(fù)勢(shì)為：

而力函數(shù)，當(dāng)(為常數(shù))，電力線是經(jīng)過(guò)的圓周又勢(shì)函數(shù)，當(dāng)（b為常數(shù)），等勢(shì)線是以為對(duì)稱的圓周.（見(jiàn)下圖）42感謝你的欣賞2019-8-14特別地,當(dāng)43感謝你的欣賞2019-8-1416感謝你的欣賞2019-8-14

四.用復(fù)變的方法處理靜電場(chǎng)的具體問(wèn)題---平行板電容器所形成的電場(chǎng).44感謝你的欣賞2019-8-14

四.用復(fù)變的方法處理靜電場(chǎng)的具體問(wèn)題---平行板考慮在平行板電容器內(nèi)部,而不是兩端附近的靜電場(chǎng),那么可以近似的把電場(chǎng)看成是均勻的.在兩端附近是不均勻的.但我們考慮一端附近的靜電場(chǎng),可以忽略另一端的影響,那么可以把平行板電容器表示成兩個(gè)半平面的形狀