工業(yè)考研-北工180元課本binder第四章根軌跡法

第四章根軌跡法的閉環(huán)極點(diǎn)通常是比較的。伊萬(wàn)思(W.R.Evans)提出了一種在復(fù)平面上由系統(tǒng)的§4-1

(s) s(s

+

G(s)

4-1例題系c

s2s

s2sKg

1121121gKg0s1s24-1所示。s4-2所示。圖中箭頭方向表示開(kāi)環(huán)增益Kg增大時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)移動(dòng)的方向，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)用“”來(lái)表示，開(kāi)環(huán)零點(diǎn)用“”來(lái)表示(引例系統(tǒng)沒(méi)有開(kāi)環(huán)零點(diǎn))，粗實(shí)線即為開(kāi)環(huán)增益Kg變s2s4-1234560…0---0.5+j…-----0.5-j…-0.5-即ss - -0Kg0.25s2s0.250Kg0.25時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)在實(shí)軸上如圖Kg0.25

1121g121g共軛復(fù)數(shù)根的實(shí)部為常數(shù)值-0.5121gKg的增大向兩邊延伸如圖所示。當(dāng)K121g

12

Kg

0.5++一般控制系統(tǒng)

Go(s)G(s)H

(4-

4-3一般系G(s)C(s) (4-o 1G(s)H 1o

m(szjGo(s)

(spii

(4-szj,j1,2,m為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，spii1,2,n為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，Kg為根軌跡增益，它與系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益的關(guān)系為mKo pjj1不計(jì)原點(diǎn)處的零值極點(diǎn)(個(gè)原點(diǎn)處的極點(diǎn)mm0zi11Go(s)用系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)Go 來(lái)表示，則有根軌跡方Go(s)

(4-(4-或控制系統(tǒng)的根軌跡

m(szjnKgjn(spi

(4-根軌跡的條件方程由于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)Go 是復(fù)變函數(shù)，分別要滿足如下的幅值方程與幅角方gGog和

ss (4-gg

180(2k1)，k0,1,2 (4-

m(szjKj (4-g(spii和

s arg[szj]arg[spi]s

180(2k (4-j 式(4-8)與(4-9)的幅值方程與幅角方程稱為根軌跡的條件方程。也就是說(shuō)，s平面上ssg如果滿足根軌跡的幅值方程和幅角方程，則該點(diǎn)在根軌跡上。復(fù)平面上ssg如果不滿足根軌跡的幅值方程和幅角方程，則復(fù)平面上的根軌跡不通過(guò)ssg點(diǎn)?？刂葡到y(tǒng)的根軌跡圖s平面上所有的 根軌跡的連續(xù)性也是連續(xù)變化的，即s平面上的根軌跡是連續(xù)的。根軌跡的對(duì)稱性數(shù)，所以s平面上的根軌跡圖是實(shí)軸對(duì)稱的。根軌跡的分支數(shù)nnKg在由0變化時(shí)，在s平面有n條根軌跡，即根軌跡的分支數(shù)等于n，與系統(tǒng)的階數(shù)相等。根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)sKg0Kg時(shí)根軌m(szjjn(spi

(4-Kg0時(shí)是根軌跡的起點(diǎn)，為使式(4-12)成立必有spii1,2,nKg時(shí)是根軌跡的終點(diǎn)，為使式(4-12)szj,j1,2,,m式(4-12)nmnm個(gè)有限零點(diǎn)，nmmnmKg時(shí)方lim1KgKgsmlim(szj mKg

jni

(spi

limn

s即其余的nm條根軌跡終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處，即終止于系統(tǒng)的nm實(shí)軸上的根軌跡s0000在實(shí)軸上選取實(shí)驗(yàn)點(diǎn)si果實(shí)驗(yàn)點(diǎn)si的右方實(shí)軸上的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)和s00004-4實(shí)軸根軌跡的分ss--1.5-1-0.5G(s) Kg(s s2(s1)(s1.5)(s-0.5，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為0，0(二重極點(diǎn))，-1，-1.5，

區(qū)間[-4,-1.5]5，以及區(qū)間[-1,-0.5]右方的開(kāi)環(huán)零根軌跡的會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)4-6所示某系統(tǒng)的根軌跡圖，由開(kāi)環(huán)極點(diǎn)-p1和-p2出發(fā)的兩支根軌跡，隨Kg的增大在實(shí)s平kgB -p14-6分離點(diǎn)與會(huì)合隨著g的繼續(xù)增大，又在實(shí)軸上的B點(diǎn)相遇并分別沿實(shí)軸的左右兩方運(yùn)動(dòng)。當(dāng)g趨軸上有兩個(gè)交點(diǎn)A和B，分別稱為根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。根軌跡圖上會(huì)合實(shí)軸分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)的判別跡上必有分離點(diǎn)(向復(fù)平面出射)見(jiàn)圖4-7(a)；如果實(shí)軸上相鄰開(kāi)環(huán)零點(diǎn)(包括無(wú)窮遠(yuǎn)零點(diǎn))之間是根軌跡，則該段根軌跡上必有會(huì)合點(diǎn)(來(lái)自復(fù)平面)見(jiàn)圖4-7(b)。4-7(c)、(d)所示。0 00 (b)兩開(kāi)環(huán)零點(diǎn)之間是根軌0會(huì)0會(huì)合點(diǎn)分離點(diǎn)0兩者全 (d)兩者全4-7實(shí)軸根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合 (4-例如，實(shí)軸上兩支根軌跡的分離角為900、60、180。分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)位置的計(jì)算代數(shù)重根法則f(x)xn xn1axax (4- )f(x)0如果方程(4-14)有二重根，則滿足其一階導(dǎo)數(shù)方程f(x)0f(x)0如果方程(4-14)有三重根，則滿足其一階導(dǎo)數(shù)方程f(x)0的根含有原方程f(x)0f(x)0f(x0如果方程(4-14)mf(x)0f(x0m-1f(m1x0f(x)0例如方程f(xx23x20有互異單根x11x22，一階導(dǎo)數(shù)方程f(x)2x30x23f(x0f(x0方程f(xx1)(x2)20有二重根xc22，原方程的一階導(dǎo)數(shù)方程f(x)(x2)[(x2)2(x1)]0的一個(gè)根xc22仍然是原方程f(x)0的根。方程f(x)(x1)(x2)30有三重根x 2，原方程的一階導(dǎo)數(shù)方f(xx2)2[(x2)3(x10

2f(x0f(xx2)[(x2)2(x540xc32仍然是原方程f(x)0的根。mGo(s)

(szjjn(spii

N1即

N(s)

(4-F(s)D(s)KgN(s) (4-F(s)D(s)KgN(s)N(s)D(s)N(s)D(s)

(4-(4-f(x可以在重根處獲得極值，因此由式(4-15)K N

(4- (4-ds

N N(s)D(s)N(s)D(s) (4-顯然，式(4-21)和式(4-18)相同，即對(duì)Kg求極值的方法和重gK具有極值和1具有極值是一樣的。因此式(4-20)g (4-ds j1z

i

(4-式中，m1，n1分別為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在實(shí)軸上零、極點(diǎn)數(shù)。關(guān)于公式的證明可以參閱其jsjs平j(luò)s平j(luò)s平(a)3重根分離點(diǎn) (b)4重根分離點(diǎn) (c)復(fù)平面分離點(diǎn)圖4-8分離點(diǎn)的各種情況jjsG(s)

Kg(s (s0.1)(s試確定實(shí)軸上根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)的位N(s)s

4-94-3的分離點(diǎn)與回合D(s)(s0.1)(s0.5)s20.6sN(s)D(s)N(s)D(s)即s20.6s0.05(s1)(2s0.6)s22s0.55s1,210.67，s1 s2顯然，在區(qū)間[-0.5～-0.1]，根軌跡有分離點(diǎn)s1=-0.33，在區(qū)間(-，-1)，根軌跡有會(huì)合點(diǎn)s2=-1.674-9所示。將s1和s2的值代入幅值條件計(jì)算式，可得相應(yīng)的根軌跡增益，Kgs1=0.06和Kgs2=2.6。該系統(tǒng)在復(fù)平面上的根軌跡如虛線所示，完整的根軌跡如圖包括根軌跡的漸近線現(xiàn)在討論這nm條根軌跡將以什么方式趨向無(wú)窮遠(yuǎn)的問(wèn)題。m(szj sm sm1bs j 0 (4-n(spi

sn

sn1a1s Kg j由n>m，有s，上式可近似表示為smn

i)smn1

gsmn(1bm1an1) s(1m1

n1)mn

)由 s，將上等式左邊按牛頓二項(xiàng)式定理展開(kāi)，略去高次項(xiàng)取線性項(xiàng)則

bm1an1)

)令

m bm1an1an1bm1m n (s)

)1以1ej180(2k1k

s(Kg)s

1nm

j1802k (4-這就是 s時(shí)根軌跡的漸近線方程。它由兩項(xiàng)組 piz m1i (4-n n180(2knG(s) s(s1)(s33 n

013

180(2k1)180(2kn s-- - 當(dāng)k=0時(shí)，1＝60時(shí)；當(dāng)k=1時(shí)，2s-- - 顯然，從-p3=-5出發(fā)的根軌跡沿負(fù)實(shí)軸趨向軌跡上必有點(diǎn)，計(jì)算可得分離sf0.47，由分離點(diǎn)射向復(fù)平面的兩條根軌跡將沿傾斜角為60的漸近線趨向無(wú)窮遠(yuǎn)。4-10根軌跡與虛軸的交點(diǎn)[4-5]G(s) s(s1)(s解閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為s(s1)(s2)Kg即s33s22sKg根軌跡和虛軸相交時(shí)，閉環(huán)根的實(shí)部為零，因此 s=j代入，則特征方程(j)33(j)22(j)Kgp解得

Kgp32232 22軸相交交點(diǎn)坐標(biāo)為 2

61

p1p 1也可利用勞斯判據(jù)確定Kgp和值，可s s 63s

共軛虛根值可由s2行的輔助方程求得：3s2Kgp3s26即2s2根軌跡的出射角和入射角射角與入射角如圖4-11所示。420--- - -

0- -- - - 4-11根軌跡的出射角和入射 arg[szj]arg[sp

180(2kj

isjs分別令jjs k180(2k1)jj

sp(4-ml180(2k1)mj

nj

isl(4- l[4-6]G(s) K(s s(s3)(s22s解利用公式(4-27)，由作圖可得k180(2k1)arg[s2]arg[s]arg[s3]arg[s1j]s1180(2k1)45(13526.690)1802k考慮到幅角的周期性，取k1=-26.6。同理，可得k1=+26.6。該系統(tǒng)的根軌跡詳見(jiàn)圖m(szi (sm sm1bsbGo(s)

(spjj

m

(4-bm1z1z2z3zmmb0z1z2z3zm nan1p1p2p3pnpj

nna0p1p2p3pnpjF(s)(sn sn1asa)K(sm sm1bsb) (4-設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為s1s2,snF(s)(ss1)(ss2)(ssn)sn(s1s2

sn)sn1s1s2nm2 sjpj (4-j可以定義n

js1ns1wnj1w

n (4-nm2時(shí)，由于n個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)的重心為常數(shù)，不是根軌跡增益[4-7]

(s) s(s1)(s

K(ss(s1)(s系統(tǒng)1兩條右移根軌跡穿過(guò)虛軸時(shí)，第3系統(tǒng)2 -- -

-- - 0 4-13根軌跡重心的應(yīng)11nm322nm312nm21nsjan10(1)(2)j1兩條右移根軌跡穿過(guò)虛軸時(shí)，一對(duì)共軛復(fù)根的值為p1,20j，s11s12s2(0j)(0j)p2s2nsjan10(1)(2)j左移根軌跡當(dāng)kg時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)移動(dòng)范圍為有限值，長(zhǎng)度為2。則兩條右移根軌跡以2。當(dāng)kgs2,30.5j，即根軌跡以0.5為漸近線趨向該值。 sjpjKg (4- 當(dāng)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)具有等于零的極點(diǎn)時(shí)(即a0=0)，則 sjKg (4-

對(duì)應(yīng)于某一g值，若已求得閉環(huán)系統(tǒng)的某些極點(diǎn)，則利用上述結(jié)論可求出其他極點(diǎn)。利用上述結(jié)論也可以估計(jì)g增大(或減小)時(shí)根軌跡的。綜上所述，在給出開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的情況下，利用以上性質(zhì)可以迅速地確定根軌跡的大致形狀。為準(zhǔn)確地繪出系統(tǒng)的根軌跡，可根據(jù)幅角條件利用試探法確定若干點(diǎn)。一般來(lái)說(shuō)靠近虛軸和原點(diǎn)附近的根軌跡是比較重要的，應(yīng)盡可能精確繪制。§4-3控制系統(tǒng)根綜合應(yīng)用第二節(jié)講述的繪制根軌跡圖的一些基本規(guī)則，可以繪制出控制系統(tǒng)的根軌跡草圖。草圖繪出后，再根據(jù)幅角條件選擇一些試驗(yàn)點(diǎn)作一些修正，就可以得到滿意的根軌跡草圖。本節(jié)將敘述一些控制系統(tǒng)根軌跡的繪制。單回路負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡[例4-8]設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)

Go(s)

Kg(s(s0.1)(s解繪制根軌跡圖的根軌跡共有2支。起點(diǎn)在開(kāi)環(huán)極點(diǎn)s=-0.1，-0.5，一支根軌跡的終點(diǎn)在s=-1，另一支沿負(fù)實(shí)軸趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處。實(shí)軸根軌跡區(qū)間為(-，-1)，[-0.5，-0.1]N(s)D(s)N(s)D(s) Kg10.06；會(huì)合點(diǎn)為s2 Kg22.6設(shè)s點(diǎn)在根軌跡上，應(yīng)滿足根軌跡幅角條件arg[s1]arg[s0.1]arg[s0.5]sjarg[j1]arg[j0.1]180arg[j0.5]arctan arctan 180arctan 1 0.1 0.5

arctanxarctanyarctanx1 arctan1 0.1 1 10.1

0.5

(0.1

(1)(0.1) 0.5(1)22(0.67)該式為圓方程。圓心位于=-1，=0，半徑為0.67。此圓與實(shí)軸的交點(diǎn)就是根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。完整的根軌跡如圖4-14所示。jjs 圖4-14例4-8的根軌跡[4-9]設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳解繪制步驟如下

Kg(sGo(s)s(s3)(s22s求得系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)為-1j根軌跡共有4條。起點(diǎn)在開(kāi)環(huán)極點(diǎn)0，-3，-1j-2，其余3條終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處 nmpjzi3[(031j1j)(2)]

180(2k1)180(2kn s(s3)(s22s2)Kg(s2)即s45s38s2(6Kg)s2Kg

s s 240(6Kg2

6

s (6

) 34s 由于Kg>0，若勞斯陣第一列的s1行等于零，則系統(tǒng)具有共軛虛根。即6

50Kg34可解得Kg=7.0。相應(yīng)的值由s2行系數(shù)組成的輔助方程確定，[40(67)]s2527完整的根軌跡圖如圖4-15

s1.6j 04-154-9的根軌跡 Go(s)G(s)HG(s)的分母H(s)分子中含有公共因子，則將會(huì)出現(xiàn)極點(diǎn)和零點(diǎn)的相消，導(dǎo)致特征

1G

1G(s) o 1 H(s)1G o以開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G0(s)繪制根軌跡可以得到單位反饋閉環(huán)系統(tǒng)Gc(s)的極Go(s)極、零點(diǎn)相消所引起Gc(s)極點(diǎn)的減少將由1/H(s)的極點(diǎn)來(lái)補(bǔ)充，從而G(s) HG(s) H(s 圖4-16非單位反饋系統(tǒng)的等圖4-17繪出了常見(jiàn)的一些負(fù)反饋系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布及相應(yīng)的根軌跡圖4-17常見(jiàn)系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布及相應(yīng)的根軌跡圖以上所討論的是開(kāi)環(huán)根軌跡增益g變化時(shí)系統(tǒng)的根軌跡。在許多控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問(wèn)題中，常常還須研究其他參數(shù)變化，例如某些開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)，或附加的校正環(huán)節(jié)的某些參數(shù)變化時(shí)對(duì)特征方程根的影響。因此，需要繪制除g以外的其他參數(shù)變化時(shí)系統(tǒng)的根軌跡，即參量根軌跡。以特征方程中不含參量的各項(xiàng)除特征方程，得等效系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)GDo(s)，該方程中原系統(tǒng)的參量即為等效系統(tǒng)的根軌跡增益[4-10]控制系統(tǒng)如圖4-18所示，當(dāng)Kg=4時(shí)，試?yán)L制開(kāi)p變化時(shí)參量根

刪除的內(nèi)容:控制系RRCs(sp)圖4-18例4-10控制系Kg=4時(shí)，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) Go(s) gs(sp)K s(sg

(4-G(s)

(4-

s2pss2ps4

(4-

s2GDo(s)

s24

(4-GDo(s)也可以用特征方程中不含參量p的各項(xiàng)去除特征方GDo(s與原系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)Go(s在閉環(huán)特征方程上是等價(jià)的，因此稱為等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。GDo(s)中的參數(shù)p稱為等效根軌跡增益。按照根軌跡繪圖規(guī)則，可以繪制等效系統(tǒng)的等效根軌跡增p從零變化到無(wú)窮大時(shí)等效系統(tǒng)的根軌跡如4-19所示。其起點(diǎn)位于j2。復(fù)平面上的根軌跡是個(gè)半圓。實(shí)軸d2為根軌跡的會(huì)合點(diǎn)p時(shí)，根軌跡的一支趨于由于等效系統(tǒng)的特征方程和原系統(tǒng)的特征方程是一樣的，p為原系統(tǒng)的參量，所以等效系統(tǒng)的根軌跡就表明了，原系p變化時(shí)系統(tǒng)閉環(huán)

j ppspps平j(luò)p pj還可繪出例題系統(tǒng)p=0時(shí)，Kg從零變化到無(wú)窮大時(shí)的根軌跡4-20示。該系統(tǒng)具有兩支根軌跡，均從原點(diǎn)開(kāi)始沿正虛軸和負(fù)虛軸趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處?？梢园l(fā)現(xiàn)，圖4-20Kg4時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的極4-19參量根軌跡的起點(diǎn)。這是因?yàn)椋鼈兌季哂蠯g=4和p=0。因此，等效系統(tǒng)與原系統(tǒng)具有相同的閉環(huán)極點(diǎn)。js平 當(dāng)系統(tǒng)有兩個(gè)參數(shù)變化時(shí)，所繪出的軌跡叫做根軌跡族。仍以例題系統(tǒng)為例，可繪Kgp分別從js平 Kg為不同值時(shí)，繪制參量p從零變化到無(wú) s2

刪除的內(nèi)容:一般系統(tǒng)繪開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)jKg，復(fù)平面上

繪制等效系統(tǒng)的根 會(huì)合點(diǎn)坐標(biāo)為

4-20原根軌傳遞函數(shù)的有限值零點(diǎn)(即原點(diǎn))和負(fù)實(shí)軸無(wú)窮遠(yuǎn)處。圖4-21上畫Kg為不p為不同值，繪制增益Kg從零變化到無(wú)窮大時(shí)的根軌跡。這時(shí)，根軌跡方 gs(s

對(duì)應(yīng)于任意-p值都有兩支根軌跡。起點(diǎn)在系統(tǒng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)O和-p，實(shí)軸上根軌跡在-p~0區(qū)間，分離點(diǎn)坐標(biāo)p2，分離角為90。當(dāng)Kg時(shí)，兩支根軌跡分別沿過(guò)p2點(diǎn)平行于虛軸的直線上下兩方趨向于無(wú)窮4-22畫出了該系統(tǒng)當(dāng)p為jjB4j3j2j(p 432j0(pB4j sp=6p=4p=2BA D圖4-21參量根軌跡 圖4-22P參量根軌跡在圖4-21上，可以得到p為某確定值時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的p=2，當(dāng)Kg=1，4，9和16時(shí)，特征方程的根分別在A(重根)BB、C、C和DD點(diǎn)。在圖4-22上，也可以得到Kg為某確定值時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程的根。例如Kg=4p=0，2，4，6時(shí)，特征方程的根分AABB、C(重根)DD點(diǎn)。相同的p值和相同Kg值時(shí)兩根軌跡簇上所得到的閉環(huán)特征4-23所示為一個(gè)簡(jiǎn)單的多回路系統(tǒng)。若傳遞函數(shù)G1(s)、G2(s)G3(s)為已知，3G(s)G(s)G(s)G(s)G(s)G2(s)G (4-31 1

Go(s)的極點(diǎn)包括G1(s)、G2(s)和G3(s)的極點(diǎn)。G2(s)的極點(diǎn)由方程1G2(s)或

(4-(4-決定。顯然，上式是一個(gè)單回路負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡方程，稱為局部反饋回路的根軌跡方程。如果需要繪制的是G1(s)或3s)的某個(gè)參數(shù)變化時(shí)多回路系統(tǒng)的根軌跡或參量根軌跡，2s)的極點(diǎn)是比較容易得到的。例如，通過(guò)解析法求得或根據(jù)式4-41)繪制局部反饋回路的根軌跡或參量根軌跡而確定。如果需要繪制的是G2(s)的某個(gè)參數(shù)變化時(shí)多回路系統(tǒng)的根軌跡或參量根軌跡，則G2(s)的極點(diǎn)難以確定。因?yàn)檫@個(gè)參數(shù)變G2(s)的極點(diǎn)也跟著變化。這時(shí)，應(yīng)根據(jù)多++圖4-23多回路反饋系例如，圖4-23的系統(tǒng)中，如 1G1(s)K112G(s) 2

T1sT2s3G(s) 3T3s需要繪制的是K2變化時(shí)多回路系統(tǒng)的根軌跡。此時(shí)多回路系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 1 1Ts KK sTGo(s)K11Ts 2 12 1 1

T3s 1K2 1Ts ss sT2 (sz1

3(4-gs(sp)(sp 可見(jiàn)，根軌KgK2有關(guān)，極點(diǎn)-p2K2有關(guān)。K2從零變化到無(wú)窮大時(shí)-p2從

1Go(s)即 112 KKK12 1 1 s(T2s1K2)(T3s

(4- 1s(T2s1)(T3s1)K2s(T3s1)K1K3sT

1 1 K1K3Ks sTT1T2 3 13 1 1

ssTsT 2 3K(sz1)(sz2) (4-gs(sp)(sp 式中，KK2 p1 p1。而z，z由方TTT TTT s21K1K3sK1K3 (4- 求得。與原系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程是相當(dāng)?shù)?。?-43)稱為多回路系統(tǒng)的等效系統(tǒng)的根軌跡方程。由式4-43)可繪制Kg從零變化到無(wú)窮大時(shí)的等效系統(tǒng)的根軌跡，即為多回路系統(tǒng)參數(shù)2/T2的參量根軌跡。當(dāng)2確定時(shí)，在參量根軌跡上可得多回路系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。已經(jīng)知道，負(fù)反饋是自動(dòng)控制系統(tǒng)的一個(gè)重要特點(diǎn)。但在復(fù)雜的控制系統(tǒng)中可能會(huì)出現(xiàn)局部正反饋的結(jié)構(gòu)，如圖4-24所示。這種局部正反饋的結(jié)構(gòu)可能是控制對(duì)象本身的特性，也可能是為滿足系統(tǒng)的某種性能要求在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)加進(jìn)的。因此，在利用根軌跡法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析或綜合時(shí)，有時(shí)需繪制正反饋系統(tǒng)的根軌跡。G1G1Go(s)

G(s)H Go(s)G(s)H(s)

(4-圖4-24局部正反饋系 Go(s)和

(4-Go(s)180 (k0,1,2 (4-與負(fù)反饋系統(tǒng)的幅值方程4-8)和幅角方程4-9)比較可知，幅值條件相同，而幅角條件是不相同的。負(fù)反饋系統(tǒng)的幅角條件是180等幅角條件，正反饋系統(tǒng)則是0等幅角條件。所以，通常稱負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡為常規(guī)根軌跡或180根軌跡，稱正反饋系統(tǒng)的根軌跡為零度根軌跡。根軌跡漸近線的計(jì)算：漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)的計(jì)算與常規(guī)根軌跡相同。傾斜角依零度根軌跡計(jì)算，公式為180n

k0,1, (4-實(shí)軸上的根軌跡的確定：實(shí)驗(yàn)點(diǎn)所在的實(shí)驗(yàn)段右方實(shí)軸上的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)數(shù)總和為偶數(shù)，則該實(shí)驗(yàn)段為根軌跡。 skjsj ljis j

其他性質(zhì)，例如根軌跡的對(duì)稱性、閉環(huán)極點(diǎn)之和與閉環(huán)極點(diǎn)之積的性質(zhì)均同常規(guī)根軌跡。[例4-11]設(shè)單位正反饋系統(tǒng)G(s) 解

s(s1)(sjsjs0趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處的根軌跡的漸近線與實(shí)軸相交于-2，傾斜角由(4-51)計(jì)算，結(jié)果為0，]N(s)D(s)s36s25sN(s)0D(s)3s312sN(s)D(s)N(s)D(s)

圖4-25例4-11正反饋根軌即3s312s5解s3.52,由于-0.48不在根軌跡上，所以根軌跡分離點(diǎn)為352，分離角為90。系統(tǒng)的零度根軌跡如圖4-25所示。

Go(s)m

(szjjn(spii

(szjjn(spii

(4-與負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡方程(46)比較可知，正反饋系統(tǒng)的根軌跡，就是開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)相同的負(fù)反饋系統(tǒng)當(dāng)g從0變化到時(shí)的根軌跡。因此，可將負(fù)反饋系統(tǒng)和正反饋系統(tǒng)的根軌跡合并。得<g<+整個(gè)區(qū)間的根軌跡如圖426所示。(a)負(fù)反饋 (b)正反饋 (c)負(fù)反饋+正反饋圖4-26正反饋根軌跡與負(fù)反饋根軌跡由圖4-26可以注意到，正反饋根軌跡與負(fù)反饋根軌跡是有許多“互補(bǔ)”特性的，如，分布，對(duì)稱等。因此對(duì)于正反饋根軌跡作圖，可以不使用前面的修改法則與計(jì)算，而由負(fù)反饋根軌跡以“互補(bǔ)”原則作出。(a)負(fù)反饋根軌 (a)正反饋根軌圖4-27負(fù)反饋根軌跡圖和正反饋根軌跡圖的比在應(yīng)用中，除了上述正反饋時(shí)用到零度根軌跡之外，對(duì)于在s平面右半平面有開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的系統(tǒng)作圖時(shí)，也要用到零度根軌跡。[例4-12]單位負(fù)反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖4-28(a)所示，試作根軌跡圖，并確定系統(tǒng)+s(1+s(1

s平s平 5圖4-28例4—12系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與零度根軌G(s)K(10.2s)0.2K(s5)Kg(s s(1 s(s s(s式中Kg0.2K0.5,取值為0時(shí)，則需作零度根軌跡圖如圖4-28(b)

0KK0K+e-圖4-29帶延遲環(huán)節(jié)的系m(szi NGo1(s)Kg (4-

(spjj

G(s)

(szin en

(4-o

(spjj (spj)Kg(szi)es (4- 由于e-s是復(fù)變量s的函數(shù)，故延遲系統(tǒng)的特征方程是方程。前面已經(jīng)，當(dāng)很小時(shí)，延遲環(huán)節(jié)可近似為一個(gè)時(shí)間常數(shù)為的慣性環(huán)節(jié)。延遲系統(tǒng)的根軌跡可按前面介紹的方法近似地繪制。如果較大，則需研究延遲系統(tǒng)根軌跡的繪制方法。以s=+j表示，延遲環(huán)節(jié)ese(j)earg[ (4-其幅值和幅角分別與復(fù)平面上點(diǎn)s的實(shí)部和虛部有關(guān)。由函數(shù)的多值性可知，延遲環(huán)節(jié)es有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)和無(wú)窮多個(gè)極點(diǎn)。

m(szim

Kg esn(snn

(4-m

Kg(szj n(spiin

(spime1,或Kg m(szjj

e (4-arg[szi]arg[spj]180(2k1)57.3 (k0,1,2, j

(4-180，它是kk=0 (szi)(spj)18057.3 (4-im

n(szi)(spj)54057.3 (4-i 顯然，當(dāng)k0，1，2，…變到時(shí)，幅角條件公式(4-59)的右邊也有無(wú)窮多個(gè)數(shù)值。G(s)Kges o

s

(s1)18057.3(es)(s1)es(s1)即

es(s1)ess11 s平

4-30延遲系統(tǒng)的根軌180(2k

k0,1,

3

5180

k0,1, 2

4

6其它點(diǎn)。當(dāng)k=0時(shí)，根軌跡與虛軸的交點(diǎn)可由式(4-60)求得arctan18057.3結(jié)果=2.03。并由式(4-58)求得此時(shí)的臨界根軌跡增益為Kgp=2.26 2Kp1g4- - 4-31帶延遲環(huán)節(jié)系統(tǒng)的根軌跡§4- 控制系統(tǒng)的根軌跡法(3)條件穩(wěn)定系統(tǒng)的分析[4-14]G(s)

K(s22ss(s4)(s6)(s21.4s(過(guò)程從略)K0變化到時(shí)系統(tǒng)的根軌跡如圖4-32所示。由圖可見(jiàn)，當(dāng)0<K<14及64<K<195時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但當(dāng)14<K<64及K>195時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 24-32條件穩(wěn)定系統(tǒng)的根軌跡G(s) K(ss(s1)(s24s瞬態(tài)性能分析和開(kāi)環(huán)系統(tǒng)參數(shù)的確定4-33參量根軌

ssnn-100 4-34Mp和的關(guān)系曲

(度G(s)

s(s2n1s1,2jn1