信號與線性系統(tǒng)-第二章連續(xù)系統(tǒng)時域分析

第二連續(xù)系統(tǒng)的時域分2.1LTI響2.2響二、階躍響

2.32.4一、卷積代LTI微分方程的經(jīng)關(guān)于0-和0+初始零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響系統(tǒng)分析的三個步驟1、列寫方程或數(shù)學(xué)模型:根據(jù)元件約束，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束2

雙零變換域

零狀態(tài):利用卷積積分法求3、對于所求的解賦予物理解釋 微分方程的建根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束：KCL，5電 R

v(t)i(t)

p

i2R2R2C

q(t)v(t)

ic(t)

dvc(t)

vc(t)

1i(1(t) 1

電感L

i(t)

iL(t)

LvL(

vL(t) 6n階線性時不變系統(tǒng)的描一個線性系統(tǒng)，其激勵信號et)響應(yīng)

r(t間的關(guān)可以用下列形式的微分方程式來描dnr(t

dn1

r(t

dr(tC0 dt

dt

Cn1 d

Cnr(t

e(t

dm

e(t

de(t dt

dtm

Em d

Eme(t常系數(shù)的階次：方程的階次由獨(dú)立的動態(tài)元件的個數(shù)n階常系數(shù)微分方程的求解法thesolutionmethodforconstant-coefficientdifferenceequationofNth-order分析系統(tǒng)的方法：列寫方程，求解方微分方程求時域分析（經(jīng)典法

變換域（第五章 斯變換法全響應(yīng)齊次方程通解+非齊次方程特（自由響應(yīng) （受迫響應(yīng)

全響應(yīng)零輸入響應(yīng) 零狀態(tài)響（解齊次方程）（疊加積分法經(jīng)典齊次解：由特征方程→求出特征根→寫出齊次解形nk

ek

注意重根情況處理方法特解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待數(shù)的特解函數(shù)式→代入原方程，比較系數(shù)定出特解。全解：齊次解+特解，由初始條件定出齊次解A我們一般將激勵信號加入的時刻定義為t=0響應(yīng)為

t dr(0

d2r(0

dn1

r(0r(0) d

dt

dt初始條件的確定是此課程要解決的問題齊次d

d

P41表2-d齊次解滿足

dtn

r(t)

r(t)

dtr(t)Cnr(t)特征方程：CnCn1... C

特征根為，

特征根單實(shí)根m重實(shí)根 tm1et tm2etCtetC m2 一對共軛復(fù)根 etCcos(t)Dsin(t)32 32

求微分方 ydt的齊次解

7dt2y

yd

12y f

3721612

2重根

2yht

C2

2

P41表2-根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系數(shù)的特 舉激勵 F(常數(shù)

P(常數(shù)PmtmPm1tm11tP0(tm tr(Ptm tm1PtP)(有r0的特征 e

Pet(不等于特征rt

sint

tP2

j例：

d2yt

dyt

dft dt

3y fd d如果已知：1ftt2;2ftet 解(1)由于f(t)=t2ypt

2t

這里，P2P1

31

2

311212

21

P23

1t3

29

(2)當(dāng)f(tet特解為yp(t)=Pet，這里，P是待定系數(shù)。

P3于是，特解為1et3全r(t)r(t)rh(t)rp(t)Aieitrp(t)n由初始條件定出齊次解自由響 強(qiáng)迫響例描述某系統(tǒng)的微分方程y”(t)+5y’(t)+6y(t)=

P40例2.1-求（1）當(dāng)f(t)2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0-1時的全解（2）當(dāng)f(t)e-2t，t≥0；y(01，y’(0)=0時的全解解:(1)特征方程為λ2+5λ+6=0其特征根λ1=–2，λ2=–3。齊次解為 yh(t)=C1e–2t+C2e–3t當(dāng)f(t)2etyp(t)Pe將其代入微分方程Pe–t+5Pe–t)+6Pe–t=2e– 于是特解yp(t)e全解y(tyh(t)yp(t)C1e–2tC2e–3te–待定常數(shù)C1,C2由初始條件確定y(0)=C1+C2+1=2，y’(0)=–2C1–3C2–1=–C13，C2最后得全解y(t)=3e–2t–2e–3t+e– ,（2）齊次解同上。當(dāng)激勵f(t)=e–2t時，其指數(shù)與特征根之一相重。故其特解為yp(t)=(P1t+代入微分方程可得P1e-2t所以P1= 但P0不能求得。特解yp(t)=(t+全解y(t)=C1e–2t+C2e–3t+te–2t+=(C1+P0)e–2t+C2e–3t+將初始條件代入y(0)=(C1+P0)+C2=1，y’(0)=–2(C1+P0)C1P02,C2–1最后得微分方程y(t)=2e–2t–e–3t+ ,上式第一項的系數(shù)C1+P02，不能區(qū)分C1和P0，因而2.1LTI關(guān)于0-和0+初始二．關(guān)于0-和0+初始若輸入f(t)是在t=0時接入系統(tǒng)，則確定待定系數(shù)C時用0時刻的初始值，即()(j=0,1,2…，n-1通常，需要從已知的初始狀態(tài)y(j)(0-)設(shè)法求得y(j)(0+)例 例例1：描述某系統(tǒng)的微分y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)，求y(0+)和y’(0+)解：將輸入f(t)=ε(t)代入上述微y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2δ(t)+ 利用系數(shù)匹配法分析：上式對于t=0-也成立，在0-<t<0+區(qū)間等號兩端)項的系數(shù)應(yīng)相等。由于等號右端為2δ(t)，故y”(t)應(yīng)包含沖激函數(shù)y’(t)在t=0處將發(fā)生躍變，即y’(0+)≠y’(0-)但y’(t)不含沖激函數(shù)，否則y”(t)將含有δ’(t)y’(t)中不含)，故y(t)在t=0處是連續(xù)的。故 y(0+)=y(0-)=2對式(1)兩y''(t)dt

60由于積分在無窮小區(qū)間[0-，0+]進(jìn)行的，且y(t)在t=0連續(xù)

于是由上式[y’(0+)–y’(0-)]+3[y(0+)–y(0-y(0y(0-)=2，所y’(0+)–y’(0-)= ，y’(0+)=y’(0-)+2例2：描述某系統(tǒng)的微分y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=δ’(t)，求y(0+)和y’(0+)解：將輸入f(t)=δ’(t)代入上述微分方程y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2δ”(t)+δ’(t) 令y”(t)=aδ(t)+bδ’(t)+Cδ(t)+r1(t)r1(t)中不含沖y’(t)=aδ’(t)+bδ(t)+r2(t)，r2(t)=Cε(t)+r1(-y(t)=aδ(t)+r3(t)，r3(t)=bε(t)+r2(-將上述關(guān)系代入式（1），并整理aδ”++2aδ(t)+2r3(t)=2δ”(t)+解得：a=2，b=-5，c=11，y”(t)=2δ”(t)-5δ’(t)+y’(t)=2δ’(t)-5δ(t)+r2(t)，y(t)=2δ(t)+r3(t)，對y”(t)從0-到0+積分y’(0+)-y’(0-)=11，y’(0+)=y’(0-)+11=對y’(t)從0-到0+積分y(0+)-y(0-)=-5，y(0+)=y(0-)-5=2-5=-零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響et

rt

H[{x(0

H[e(t)]H[·{x0H[·

零輸入響 零狀態(tài)響零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響零輸入響應(yīng)：沒有外加激勵信號的作用，只由起始狀態(tài)（起始(Zero-

刻系統(tǒng)儲能）所產(chǎn)生的響應(yīng)

r(k)(0

rzi(t)Azikerzi(t)Azikektkndt

rzi(t)C1dtn1rzi(t)...Cn1dtrzi(t)Cnrzi(t)(k

d (0)[r(0),dtr(0),...,dtn1r(0因為沒有外界激勵作用，系統(tǒng)的狀態(tài)不會發(fā)生變化，即所以rzi(t)中的常數(shù)Azik可以由r(k)(0)確定。

r(k)(0)r(k)(0零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響零狀態(tài)響應(yīng)：不考慮原始時刻系統(tǒng)儲能的作用(起始狀態(tài)等于零

由系統(tǒng)的外加激勵信號產(chǎn)生的響應(yīng)Rzs滿足方程及起始狀態(tài)r(k)(0)

d d d d dt

rzs(t)C1dtn1rzs(t)...Cn1dtrzs(t)Cnrzs(t)

dt

e(t)E1dtm1e(t)...Em1dte(t)Em(k

d (0rzsrzs(t)AzikektB(tB(t)kn自由響應(yīng)的一部 強(qiáng)迫響零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響r(t)

nkn

ekt

B(t)自由響 強(qiáng)迫響nnk

Azikekt

Azskektnkn

B(t)零輸入響 零狀態(tài)響零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)舉例：描述某系統(tǒng)的微y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)。求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。解：（1）零輸入響應(yīng)yzi(t)激勵為0，故yzi(t)滿yzi”(t)+3yzi’(t)+2yzi(t)=yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-yzi’(0+)=yzi’(0-)=y’(0-該齊次方程的特征根為–1，–2，yzi(t)=Czi1e–t+Czi2e代入初始值并解得系數(shù)為Czi1=4Czi22，代入yzi(t)=4e–t–2e ,t>（2）零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)滿yzs”(t)3yzs’(t)2yzs(t)2δ(t)6ε(t)并yzs(0-)=yzs’(0-)=由于上式等號右端含有δ(t)，故yzs”(t)含有δ(t)，從yzs’(t)躍變，即yzs’(0+)≠yzs’(0-)，而yzs(t)在t0連續(xù)，yzs(0+)yzs(00，積分[yzs’(0+)-yzs’(0-)]+3[yzs(0+)-yzs(0-因此，yzs’(02yzs’(0-

0yzs(t)d

260(t)d對t>0時yzs”(t)3yzs’(t)2yzs(t)不難求得其齊次解為Czs1e-t+Czs2e-2t，其特解為常數(shù)3， yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+3代入初始值求 yzs(t)=–4e-t+e-2t+3Zizsresponse.m,n全響nr(t

c

eit

(tiiiincxini

ei

cnin

iefie

(trzi(t)零輸入響

rzs(t)零狀態(tài)響iin式iin

ei

cxinin

ei

c

inefineii

兩種分解方式的區(qū)別1、自由響應(yīng)與零輸入響應(yīng)的系數(shù)各不相cici 不相cici由初始狀態(tài)和激勵共同確xc由初始狀態(tài)確xi2、自由響應(yīng)包含了零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)中的齊次對于系統(tǒng)響應(yīng)還有一種分解方式，即瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。所謂瞬態(tài)響應(yīng)t時，響應(yīng)趨于零的那部分響應(yīng)分量；而穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時，響應(yīng)不為零的那部分響應(yīng)分量

t§2.2一.定義：當(dāng)激勵為單位沖激函

(t

時，系的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，用h(t)表示。h(th(t)0t(t)

h(t)沖激響應(yīng)的數(shù)學(xué)模dny(t)

y(t)

dy(t)dtbdmb

f

dt

f

d a0y(t)df dtm

d

d

b0f

hn(t)an1hn1(t)a1h1(t)bmm(t)bm1m1(t)b11(t)b0h(t)由于(t)及其導(dǎo)數(shù)在t≥0+時都為零，因而方程式右端的自由等于零，這樣原系統(tǒng)的沖激響應(yīng)形式與齊次解 th(t)②與n,m

Ci

i 當(dāng)n

m時，ht不含t及其各階導(dǎo)數(shù)；當(dāng)n

m時，ht中應(yīng)包含t當(dāng)n

m時，ht應(yīng)包含t及其各階導(dǎo)數(shù)d2y(t)

d

df

dt

3y(t)dt

沖激2

t d2h(t)

dh(t

d(tdt

3h(t)d d

2(t

2

30

n2,

ht中不

C2e3t)帶三種求待定系數(shù)方法求0+ ?奇異函數(shù)項相平衡帶法一：求0+d2ht

dt

設(shè)dht設(shè)

atrt d

h01 h'0代入h(t)，確定系數(shù)C1,C2h(t)

12

(t)法二：用奇異函數(shù)項相平衡法求待定系

h(t)C1etC2e3t(t)C1et3C2e3thtC1C2tC13C2t將h(th(th(t)

C22

C1

3C1C2

C2h(t)

三．齊次解法求沖激響應(yīng)令方程左端系數(shù)為1，右端只有一項(t)時，沖激響應(yīng)為dn

?(t

dn1

?(t dt

dt

a0h(t

(th(n1)(0

1,h(0)

h(0)

h(0

h(n2)(0)定初始條方程兩端在 積分0?tdt00?0h(t)dt0含(t)小區(qū)間積分為

(t)d

ht的線性組ht解法

d2r(t)

dr(t) de(t)

， dt

3r(td d

2e(t

?(t

Aet

1 1

3A2

ht

A1A2

?(t

12

e3tu(t

d?(t

h(t)

2h(ththt

3t

3t eeu(t)ee(eeu(t)ee(t)eu(t2

e3tu(t例描述某系統(tǒng)的微分方程y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f”(t)+2f’(t)+求其沖激響應(yīng)h(t)根據(jù)h(t)的定h”(t)+5h’(t)+6h(t)=δ”(t)+ h’(0-)=h(0-)=由方程可知h(t)中含δ(t)h”(t)aδ”(tbδ’(tcδ(th’(t)=aδ’(t)+bδ(t)+h(t)=aδ(t)+代入式(1)，aδ”(t)+bδ’(t)+cδ(t)+r0(t)+5[aδ’(t)+bδ(t)+r1(t)+6[aδ(t)+r2(t)]=δ”(t)+整理aδ”(t)+(b+5a)δ’(t)+(c+5b+6a)δ(t)+(r0(t)+5r1(t)+6r2(t)=δ”(t)+2δ’(t)+利用δ(t)系數(shù)匹配a=1，b3，c所以h(t)=δ(t)+r2(t)h’(t)=δ’(t)-3δ(t)+r1(t)h”(t)=δ”(t)-3δ’(t)+12δ(t)+ （3）從0-到0+求積分h(0+h(0對（4）從0-到0+求積分h’(0+)h’(0 h(0+)=–3，h’(0+)對t>0時h”(t)6h’(t)5h(t微分方程的特征根為23。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)=C1e–2t+C2e–3tt>0代入初始條h(0+)=–3，h’(0+)求得C1=3，C26,所h(t)=3e–2t– ,t>結(jié)合式(2)h(t)=δ(t)+(3e–2t–求沖激響應(yīng)的幾種方方法1：沖激函數(shù)匹配法求出

~

方法3:齊次解法求沖激響應(yīng)?？傁录油瑯拥募顃，看響應(yīng)h(t)，h(t)不同，說明二．階躍響g(t)=T[ε(t)tt(t)

(t)dg(t)

,h(t)

dg(t)t dtt階躍響應(yīng)是沖激響應(yīng)的積分，注ttt

,.r"(t)6r'(t)

e(t),試求該系解：g(t)g"(t)6g'(t)8g(t)(t) g'(0) g(0)

故g(t

e2t

e4t

1)(t 1由0初始值始值代入上1g(0

C28

1 1

4

,C2g'(0)

4C2 g(t)

1e2t4

1e4t8

1)(t)求下圖所示LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和11∑x(t)∑f 32∫∫解：x’’(t)+3x’(t)+2x(t)= y(t)=-x’(t)y’’(t)+3y’(t)+2y(t)=-f’(t) g1(t)g1’’(t)+3g1’(t)+2g1(t)=ε(t),g1(t)=C1e–t+C2e–2t+0.5，根據(jù)初始條件解得C1=-1C2g1(t)=(-e–t+0.5e–2tg’(t)=(-e–t+0.5e–2t+0.5)δ(t)+(e–t-2e–2t)1=(e–t-2e–2t)g(t)=-g1’(t)+2g1(t)=(-3e–t+2e–2t+1)h(t)=g’(t)=(-3e–t-4e–2t)§2.3卷利用卷積積分求系統(tǒng)的零狀態(tài)卷積圖解說卷積積分的幾點(diǎn)認(rèn)一．卷積設(shè)有兩個函f1(t)和f2(t),積分ft

f

f

d12稱為f1(t)和f2(t)的卷積積分，簡稱卷記12ft

ft

ft

f(t)

ft

ft1212利用卷積可以求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)1212二．利用卷積求系統(tǒng)的零狀態(tài)響et

d若把它作用于r(t)

H

d

d

etht

e(t)矩形窄脈e(t)

)u(t

從

到e(t)可表示為許多窄脈沖疊

e(

)u(t

u(t)u(t

令

u(t)u(t

沖沖激函數(shù)的和

d

所以e(t)

)d例：f(tet,（-∞<t<∞)，h(t6e-2t1)ε(t)，求yzs(t)。yzs(t)=f(t)*h(t)

[6e2(t

)dt當(dāng)tτ，即τ>t時，ε(tτ)tyzs

(t)

e[6e2(t)

(6e2te3

)dte2tt

(6

)d

tede2t2

e e

2e2t

et三．卷積的方法借助于階躍函數(shù)u(t)確定積分卷積圖解卷積的圖解ft

f

f

d12f1(tf1(積分變量改為12f2(t)

f2

22相乘：f1f222

乘積的積分

f1().f2(t

)df1的圖形不f2f2,f2f1(t)

tt

f2(t)

(0

例2-3-

t

1

t

1 12ft232O

tt

f23222 2ttt

fO

32 X浮動坐tt f2(t-t f2(t-

13121

ft221tt f2(t- 從到對應(yīng)

下 上2f2

t- t-

- t-f2f2t 3tO1t

f

2gt2

f1t

f2t2f2

-1t向右向右f2t11tOt1t時兩波形有公共部分，積分開始不為t積分下限-1，上限t，t為移動時間ttg(t)t

f()

(t)d

d 2

t

11

4

1tff2t11tOt3

即1tt1t11g(t)1

1t

d2t f1f2tOt3tt31t31 即2t1t31g(t

t

1(t

)d

t4

t2t11f2tO1tt-

即t

gt卷積結(jié)

32O32f32O32t

t

f1t1 f1t1 1g(t2 124tg(t) t

1t

2t

其他積分上下限和卷積結(jié)果區(qū)間的確2由f1ft0的范圍（區(qū)間）確定2上 下

-

f1tf2tgt

f1 f2t gt 當(dāng)f1

f2t連續(xù)函數(shù)時，卷積需分段，積分限分段例借助于階躍函數(shù)u(t)確定積分已知e(te2u(t)已知e(te2u(t)，求i(t)的零狀態(tài)響應(yīng)t

ditLd

Rit

et

R

h(t)etu(t

L1Hi(t)e()

)di(te2)i(te2)

(t )d )det

e2u(

et

e2

it

et

e2

et

e2

u(t)特點(diǎn)

0tt0 tt0

2)

)

20

2tt2 tt2

i(t)

e2du

e2d

2e

2e

e(t

htht1etu(tOt e u(t)

分段表示：it

i(t)

et

0tt2e(tt

et

t

te2u(t)

etu(t)1O21O21ht-ht-1Otτ11O2三．卷積的hht-1t21ht-1ht-Ot21O2t例2-3-5下式計算是否正確？u(t1)

2)

1)[u(t

u(tt2

1)u(tt

1)u(t

d1

1

2

3

2)u(t

1)[u(t

u(t

1)u(t

1)u(t

t1

du(t2

tdu(t31

(正確的解法

總

完全解=零狀態(tài)ht§2.4的性微分積分性與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷一．代數(shù)性交換f1(t)

f2(t)

f2(t)

f1(t)分配f1(t)

f2(t)

f3(t)]

f1(t)

f2(t)

f1(t)

f3(t)結(jié)合1f(t)f1

f2(t)

f(t)[

f1(t)

f2系統(tǒng)并f1(t)

f2(t)

f3(t)]

f1(t)

f2(t)

f1(t)

f3(t)h(tf(tff(tf(th2(t

g(tf(t)g(tf(t)h1(t)f(t)h2(tf(t)h(tf(t)

(t)f(t

g(t

ht

ht

hth(th(t12系統(tǒng)級f(t)h1(t)h2(t)

f(t)[h1(t)h2(t)]

f(t)h(th2(thh2(th1(t f(t)h1(t

g(tf(t)h1(t)h2(tf(t

g(t

ht

h1(t)

(t)二.與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷ftt

f

d

ftf(t)

t0)

f

t0)f

t1)

t2)

f

t1tf(t)(t)t

f'(t)f(t)u(t)

f()df(t)

k(t)

fk(t)f(t)

k

t0)

fk

t0)nn nn

f1

f2 dt

f1(t)

f2(t)

dt

*f2(t)

f1(t)

ndtn證：上式δ(n)(t)*[f1(t)*tt=[δ(n)(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(n)(t)*ttt2.[t

)*

f2(

f2(t)

f1(t)

證：上式=ε(t*[f1(t)*=[ε(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(–1)(t)*3.在f10或f(–1)0的前提下22f1(t)*f2(t)=f1’(t)*2

g(t)

f(t)h(t)

f(t)h(t

g(1)(

f(t)h(1)(t)

f(1)(t)g(n)(t)

f(t)h(n)(t)

f(n)(t)g(nm)

f(n)(t)h(m)(t)

f(m)(t)h(n)(t)m=n微分次數(shù)g(t)

f(n)(t)h(n)(t)

f1例：f1(t)如圖f2(t)e–tε(t)，求f1(t)*f1f1(t)*f2(t)f1’(t)*f1’(t)=δ(t)–δ(t f(1)(t)

t

()d

ted

t

(1et)

f1(t)*f2(t)=(1-e–t)ε(t)–[1-e–(t-2)]ε(t-tt

(t

f1(t)

f2(t)

f1(t)

f(1)(t)2sn2sgn(tsgn(t

(1)(1)(t1f(t

(

2sgn2sgn(t)(1)tsgn(t1Ot(sgn(t1Ot(tOt

(tu(t)

2u(t錯誤原因：tt

sgn(t

(t)(t，求g(t

f(t)*h(t)f(f(t1Ot h(t1O