橋梁地震反應(yīng)分析反應(yīng)譜147

第四章橋梁地震反應(yīng)分析本章教學內(nèi)容

反應(yīng)譜分析方法動力時程分析方法(線性/非線性)

靜力彈塑性分析方法(Pushover)反應(yīng)譜分析方法1SDOF體系在地震作用下動力方程絕對位移相對位移地震位移時程地震加速度時程（已知）地震輸入（已知）結(jié)構(gòu)響應(yīng)（待求）外荷載：01SDOF體系在地震作用下動力方程恢復(fù)力阻尼力慣性力應(yīng)用D’Alembert原理1SDOF體系在地震作用下動力方程2SDOF體系地震反應(yīng)數(shù)值計算方法Duhamel積分方法線性加速度法中心差分法

Newmark-β法

Wilson-θ法2.1Duhamel積分求解瞬時沖量引起的自由振動瞬時沖量S=P.dt作用在靜止物體上初速度v0=S/m初位移x0=0根據(jù)有阻尼自由振動通解，有2.1Duhamel積分求解任一動力荷載加載過程可以看作由一系列的瞬時沖量組成，根據(jù)線性微分方程的特性，可以運用疊加原理，把各個瞬時沖量單獨作用下的動力反應(yīng)求出，然后再疊加求得總的動力反應(yīng)微沖量由于地面運動加速度是極不規(guī)則的，上式一般無閉合解，需要借助數(shù)值積分方法求解，如Simpson法則（參見《結(jié)構(gòu)動力學》（R.W.Clough&J.Penzien））2.1Duhamel積分求解假設(shè)加加速度度在[t,t+Δt]內(nèi)線性性變化化2.2線性加加速度度法求求解上式寫寫為其中2.2線性加加速度度法求求解2.3線性加加速度度法的的數(shù)值值穩(wěn)定定性穩(wěn)定性性的含含義，，當滿滿足穩(wěn)穩(wěn)定性性條件件時，，計算算值u為有限限值；；當不不滿足足穩(wěn)定定性條條件時時，隨隨著t→∞，u→∞。穩(wěn)定性性條件件2.3Newmark-β法求解解2.4Newmark-β法求解解2.5Newmark-β法的求求解步步驟2.6Newmark-β法的數(shù)數(shù)值穩(wěn)穩(wěn)定性性2.7編程算算例(Newmark-β)計算算算例——SDOF系統(tǒng)在在ElCentro地震作作用下下的反反應(yīng)分分析結(jié)果圖圖形輸輸出計算結(jié)結(jié)果2.8Wilson-θ法2.8Wilson-θ法2.8Wilson-θ法2.9Wilson-θ法的求求解步步驟2.9Wilson-θ法的數(shù)數(shù)值穩(wěn)穩(wěn)定性性3.1反應(yīng)譜譜的概概念地震地地面運運動具具有隨隨機性性、不不規(guī)則則性，，對于于工程程抗震震設(shè)計計而言言，更更關(guān)心心結(jié)構(gòu)反反應(yīng)的的最大大值。。質(zhì)點絕絕對加加速度度質(zhì)點最最大地地震作作用3.1反應(yīng)譜譜的概概念具有不不同周周期（（Ti，頻率率為ωi）、阻阻尼比比為ζ的一組組SDOF體系,在給定定的地地震動動過程程x’’’g(t)的作用用下,各質(zhì)點點體系系的最大絕絕對加加速度度反應(yīng)記記為Sa,以周期期T為橫坐坐標、、Sa為縱坐坐標，，畫出出的曲曲線就就是阻阻尼比比ζ的SDOF體系在在為x’’’g(t)作用下下的加速度度反應(yīng)應(yīng)譜。。周期TT1T2Ti3.1反應(yīng)譜譜的概概念加速度度反應(yīng)應(yīng)譜速度反反應(yīng)譜譜位移反反應(yīng)譜譜3.1反應(yīng)譜譜的概概念SDOF系統(tǒng)地地震反反應(yīng)Duhamel積分解解3.1反應(yīng)譜譜的概概念當ζ<<13.1反應(yīng)譜譜的概概念當ζ<<13.1反應(yīng)譜譜的概概念3.1反應(yīng)譜譜的概概念若令偽偽速度度反應(yīng)應(yīng)譜為為則有與一般相相差不不大3.2反應(yīng)譜譜的特特性1、絕對對剛性性結(jié)構(gòu)構(gòu)物(T0)2、無限限柔性性結(jié)構(gòu)構(gòu)物(T∞)3、高頻頻段取取決于于地震震動最最大加加速度度PGA,中頻段段取決決于地地震動動最大大速度度PGV,低頻段段取決決于地地震動動最大大位移移PGA。4、阻尼尼比對對反應(yīng)應(yīng)譜的的影響響3.3規(guī)范反反應(yīng)譜譜由于地地震記記錄具具有很強的的隨機機性，受多多種因因素影影響，，如場地條條件、、震中中距、、震源源深度度、震震級、、震源源機制制、傳傳播路路徑等，使使得不不同的的地震震記錄錄得到到反應(yīng)應(yīng)譜也也具有有很強強的隨隨機性性，由由大量地地震記記錄輸入得得到的的反應(yīng)應(yīng)譜曲曲線經(jīng)經(jīng)平均、、光滑滑、擬擬合后，可可得到到工程程設(shè)計計使用用的規(guī)范反反應(yīng)譜譜曲線線。3.3規(guī)范反反應(yīng)譜譜（1）動力力放大大系數(shù)數(shù)反應(yīng)應(yīng)譜（（鐵路路工程程抗震震設(shè)計計規(guī)范范）（2）地震震影響響系數(shù)數(shù)反應(yīng)應(yīng)譜（（建筑筑抗震震設(shè)計計規(guī)范范）動力放放大系系數(shù)地震影影響系系數(shù)地震系系數(shù)3.3.1公路橋橋梁抗抗震設(shè)設(shè)計細細則（（JTG_TB02-01-2008）反應(yīng)應(yīng)譜水平設(shè)設(shè)計加加速反反應(yīng)譜譜（阻阻尼比比為0.05）3.3.1公路橋橋梁抗抗震設(shè)設(shè)計細細則（（JTG_TB02-01-2008）反應(yīng)應(yīng)譜Ci-抗震重重要性性系數(shù)數(shù)Cs-場地系系數(shù)Cd-阻尼比比調(diào)整整系數(shù)數(shù)A－水平平向設(shè)設(shè)計基基本地地震動動峰值值3.3.2加速度度反應(yīng)應(yīng)譜特特征周周期Tg3.3.3抗震重重要性性系數(shù)數(shù)Ci3.3.4場地系系數(shù)Cs3.3.5阻尼調(diào)調(diào)整系系數(shù)Cd3.3.6豎向設(shè)設(shè)計加加速度度反應(yīng)應(yīng)譜3.6鐵路工工程抗抗震設(shè)設(shè)計規(guī)規(guī)范（（GB50111-2006）反應(yīng)應(yīng)譜3.6鐵路工工程抗抗震設(shè)設(shè)計規(guī)規(guī)范（（GB50111-2006）反應(yīng)應(yīng)譜4多自由由度體體系（（MDOF）的地地震反反應(yīng)運動方方程自振特特性（（自振振周期期、自自振振振型））振型正正交性性振型分分解（（疊加加）法法振型分分解反反應(yīng)譜譜法4.1MDOF體系的的運動動方程程牛頓第第二定定律；；直接平平衡法法(d’’Alember)；虛位移移原理理；Hamilton方程；；運動的的Lagrange方程4.1.1直接平平衡法法N個自由由度體系離離散成成N個質(zhì)點點—彈簧模模型。。4.1.1直接平平衡法法應(yīng)用d’Alember原理fIi—慣性力力；fDi—阻尼力力；fsi—彈性恢復(fù)力力；pi—外力。共有N個方程，上上式也可以以寫成矩陣陣形式。4.1.1直接平衡法法結(jié)構(gòu)體系的的運動方程程可以用矩矩陣的形式式表示為：：[M]—質(zhì)量矩陣；；[C]—阻尼矩陣；；[K]—剛度矩陣；；{p(t)}—外荷載向量量。4.1.2水平地震作作用下MDOF體系運動方方程m1m2m3k1k2k3m1m2m3miu1u2u3ugfIifSifDi4.2多自由度體體系的自振振振型和自自振頻率振型就是結(jié)構(gòu)體體系在無外外荷載作用用時的自由由振動時的的位移形態(tài)態(tài);N個自由度體體系有N個不同的振振型。當結(jié)構(gòu)按某某一振型振振動時，自自振頻率是是與之相對對應(yīng)的常量量。因此對對N個自由度體體系，一般般情況下有有個N個自振頻率率。結(jié)構(gòu)的振型型和自振頻頻率是結(jié)構(gòu)構(gòu)的固有特特性，和單單自由度一一樣是反映映結(jié)構(gòu)動力力特性的主主要量。因因此在講到到結(jié)構(gòu)動力力特性時，，首先想到到的就是結(jié)結(jié)構(gòu)的自振振振型和頻頻率。4.2多自由度體體系的自振振振型和自自振頻率結(jié)構(gòu)的自振振振型和頻頻率，可通通過分析結(jié)結(jié)構(gòu)的無阻阻尼自由振振動方程獲獲得。多自由度體體系無阻尼尼自由振動動的方程為為：其中[M]、[K]為N×N階的質(zhì)量和和剛度矩陣陣，{u}和{ü}是N階位移和加加速度（或或廣義坐標標）向量，，{0}是N階零向量。。上式是體系系作自由振振動時必須須滿足的控控制方程，，下面分析析當位移向向量{u}是什么形式式時可以滿滿足此式要要求。4.2多自由度體體系的自振振振型和自自振頻率根據(jù)單自由由度體系自自由振動的的經(jīng)驗，設(shè)設(shè)多自由度度體系在進進行自由振振動時也是是在作簡諧諧振動，多多自由度體體系的振動動形式可寫寫為：{φ}—表示體系位位移形狀向向量，它僅僅與坐標位位置有關(guān)，，不隨時間變變化，稱為為振型。ω—簡諧振動的的頻率，θ—相位角。上式對時間間求兩次導導數(shù)可得4.2多自由度體體系的自振振振型和自自振頻率將位移向量量{u}和加速度向向量{ü}代入無阻尼尼自由振動動方程：因為sin(ωωt+θ)為任意的，，可以消去去，因此：：上式是關(guān)于于{φ}的N階齊次線性性方程組，，表征了振型型和自振頻頻率的關(guān)系系，稱為運動方程的的特征方程程。由特征方程程可解得ω和{φ}。4.2多自由度體體系的自振振振型和自自振頻率特征方程存存在非零解解的充分必必要條件是是系數(shù)行列列式等于零零：是一關(guān)于ω的多項式，，稱為頻率方程。將剛度陣和和質(zhì)量陣代代入得頻率率方程的具具體形式：：4.2多自由度體體系的自振振振型和自自振頻率對于穩(wěn)定結(jié)結(jié)構(gòu)體系，，其質(zhì)量陣陣與剛度陣陣具有實對稱性和正定性，所以相應(yīng)應(yīng)的頻率方方程的根都都是正實根根。對于N個自由度的的體系，頻頻率方程是是關(guān)于ω2的N次方程，由此可以解解得N個根（ω12<ω22<ω32…<ωN2）。ωn（n=1,2,…,N）即為體系系的自振頻率。其中量值值最小的頻頻率ω1叫基本頻率（相應(yīng)的周周期T1=2π/ω1叫基本周期）。從以上分析析可知，多多自由度體體系只能按按一些特定定的頻率即即按自振頻頻率做自由由振動。按按某一自振振頻率振動動時，結(jié)構(gòu)構(gòu)將保持一一固定的形形狀，稱為為自振振型型，或簡稱稱振型。4.2多自由度體體系的自振振振型和自自振頻率把相應(yīng)的自自振頻率ωn代入運動方方程的特征征方程得到到振型{φ}n={φ1n，φ2n，…，φNn}T—體系的n階振型。?！粲捎谔卣鞣椒匠痰凝R次次性（線性性方程組是是線性相關(guān)關(guān)的），振振型向量是是不定的，，只有人為為給定向量量中的某一一值，例如如令φ1n=1，才能確定定其余的值值。◆實際求解時時就是令振振型向量中中的某一分分量取定值值后才能求求解。雖然然令不同的的分量等于于不同的量量，得到的的振型在量量值上會不不一樣，但但其比例關(guān)系是是不變的?！羲^振型就就是結(jié)構(gòu)不不同點（自自由度）變變化時的比比例關(guān)系。。4.2多自由度體體系的自振振振型和自自振頻率在結(jié)構(gòu)動力力分析中，，有時需要要按某一標標準將振型型歸一化，或稱標準化，給出標準準振型或歸歸一化振型型，通常有有三種方法法：(1)特定坐標的的歸一化方方法。指定定振型向量量中的某一一坐標值為為1，其它元素素值按比例例確定。(2)最大位移值值的歸一化化方法，將將振型向量量中各元素素除以最大大值。(3)正交歸一化化。以后講到振振型正交性性時可以發(fā)發(fā)現(xiàn)按(3)定義的振型型滿足關(guān)于于質(zhì)量矩陣陣[M]的內(nèi)積為1的條件。4.2多自由度體體系的自振振振型和自自振頻率以上分析方方法就是代代數(shù)方程中中的特征值分析析，自振頻率相應(yīng)于特征值，而振型即是特征向量。得到體系的的N個自振頻率率和振型后后，可以把把振型和自自振頻率分分別寫成矩矩陣的形式式，其中，ωn—n階自振頻率率，{φ}n—n階振型。[Φ]和[Ω]也分別稱為為振型矩陣和譜矩陣。4.2多自由度體體系的自振振振型和自自振頻率算例1如圖(a)所示三層框框架結(jié)構(gòu)，，各樓層的的質(zhì)量和層層間剛度示示于圖中，，確定結(jié)構(gòu)構(gòu)的自振頻頻率和振型型（Clough書中的例題題，為英制制，以下計計算中不寫寫單位，但但均滿足統(tǒng)統(tǒng)一的單位位；同時將將自由度ui按樓層的序序號排）結(jié)構(gòu)模型及及各剛度元元素：4.2多自由度體體系的自振振振型和自自振頻率算例1結(jié)構(gòu)的質(zhì)量量陣、剛度度陣：4.2多自由度體體系的自振振振型和自自振頻率算例1運動方程的的特征方程程：頻率方程：：4.2多自由度體體系的自振振振型和自自振頻率算例1由頻率方程程得到三個根根：利用關(guān)系式式可得結(jié)構(gòu)的的三個自振振頻率：4.2多自由度體體系的自振振振型和自自振頻率算例1根據(jù)運動方方程的特征征方程求振振型：設(shè)φ3n=1，則則振型方程程為：4.2多自由度體體系的自振振振型和自自振頻率算例1振型方程：：以上三個代代數(shù)方程中中僅有兩個個是獨立的的，可以采采用任意兩兩個方程求求得φ1n和φ2n，通過觀察察發(fā)現(xiàn)，用用第一個方方程和第三三個方程求求解將避免免求聯(lián)立方方程組。由第三個方方程：由第一個方方程：一階振型：：將B1=0.3515(ω1=14.522rad/s)代入上式得得4.2多自由度體體系的自振振振型和自自振頻率算例1二階振型：：B2=1.6066(ω2=31.048rad/s)三階振型：：B3=3.5420(ω3=46.10rad/s)4.2多自由度體體系的自振振振型和自自振頻率算例14.2多自由度體體系的自振振振型和自自振頻率算例1從以上給出出的振型圖圖看，對層層間模型，，振型特點點為：一階階振型不變變符號，二二階振型變變一次符號號，三階振振型變二次次符號。以上給出的的振型的求求解公式是是解耦的，，不用求聯(lián)聯(lián)立方程組組，這只有有當結(jié)構(gòu)是是層間模型型時，即特特征方程的的系數(shù)矩陣陣是三對角角陣時才可可以實現(xiàn)，，一般情況況下，當特特征方程的的系數(shù)矩陣陣不為三對對角陣時，，必須解聯(lián)聯(lián)立方程組組才可獲得得結(jié)構(gòu)的振振型。4.2多自由度體體系的自振振振型和自自振頻率算例2確定由兩個個梁單元構(gòu)構(gòu)成的結(jié)構(gòu)構(gòu)的自振頻頻率和自振振周期，梁梁的彎曲剛剛度均為EI。忽略軸向向變形，采采用集中質(zhì)質(zhì)量法，梁梁的質(zhì)量集集中到梁端端，而梁成成為無質(zhì)量量梁。結(jié)構(gòu)模型及及自由度：：4.2多自由度體體系的自振振振型和自自振頻率算例2質(zhì)量陣：剛度陣：特征方程：：4.2多自由度體體系的自振振振型和自自振頻率算例2頻率方程：：頻率方程的的兩個根為為：自振頻率為為：4.2多自由度體體系的自振振振型和自自振頻率算例2令φ1=1，由特征方方程的第一一式得：將ω1(λ1=0.5695)代入上式，，得到φ2=2.097將ω2(λ2=4.0972)代入上式，，得到φ2=-1.431結(jié)構(gòu)的兩階階振型為：：4.2多自由度體體系的自振振振型和自自振頻率算例2結(jié)構(gòu)振型圖圖：4.2多自由度體體系的自振振振型和自自振頻率求解結(jié)構(gòu)體體系的自振振頻率和振振型也稱為為結(jié)構(gòu)的模態(tài)態(tài)分析。在兩個例題題中采用的的求多自由由度體系自自振頻率和和振型的方方法，是一一種嚴格的的理論分析析方法，當當體系自由由度較低時時是可行的的。對工程問題題，可涉及及成百上千千，甚至幾幾萬個自由由度，此時時采用矩陣陣行列式方方法很難實實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的的模態(tài)分析析。目前借借助于計算算機，已發(fā)發(fā)展了多種種行之有效效的矩陣迭迭代法，有有現(xiàn)成的軟軟件，關(guān)于于這部分的的內(nèi)容可以以自學，在在教學部分分不詳細介介紹。4.2多自由度體體系的自振振振型和自自振頻率在多自由度度體系自由由振動分析析中發(fā)現(xiàn)，，與單自由由度結(jié)構(gòu)體體系相比，，兩者之間間相同的是是都存在自自振頻率，，但多自由由度體系有有多個自振振頻率，N個自由度，，則一般存存在N個自振頻率率，新的內(nèi)內(nèi)容是出現(xiàn)現(xiàn)了振型的的概念。所謂振型就就是結(jié)構(gòu)按按某一階自自振頻率振振動時，結(jié)結(jié)構(gòu)各自由由度變化的的比例關(guān)系系，多自由由度體系的的振型和頻頻率一樣，，是結(jié)構(gòu)的的重要特性性。自振頻率及及共振當結(jié)構(gòu)按某某一自振頻頻率振動時時，與單自自由度結(jié)構(gòu)構(gòu)完全一樣樣，結(jié)構(gòu)體體系的慣性性力和彈性性恢復(fù)力在在振動的任任意時刻相相平衡。如如果有外力力作用（作作用頻率等等于結(jié)構(gòu)自自振頻率）），無阻尼尼時，結(jié)構(gòu)構(gòu)反應(yīng)會變變得無窮大大；有阻尼尼時，僅靠靠阻尼力平平衡外力，，由于阻尼尼力都很小小，結(jié)構(gòu)的的振動幅值值會比不按按自振頻率率振動時的的結(jié)果大得得多。例如如，對一個個地震動輸輸入，當結(jié)結(jié)構(gòu)的自振振頻率接近近地震動卓卓越頻率時時，結(jié)構(gòu)動動力反應(yīng)大大，而避開開此卓越頻頻率時，結(jié)結(jié)構(gòu)動力反反應(yīng)小。結(jié)構(gòu)的振型型結(jié)構(gòu)的振型型是結(jié)構(gòu)振振動反應(yīng)中中最容易發(fā)發(fā)生的變形形形態(tài)，而而一階振型型又是所有有振型中最最易于出現(xiàn)現(xiàn)的。因而人們對對振型的形形態(tài)進行研研究，確定定其變化規(guī)規(guī)律，用簡簡單的、最最接近振型型的形狀函函數(shù)來描述述動力反應(yīng)應(yīng)時的振動動形態(tài)。例例如基于Rayleigh法等對結(jié)構(gòu)構(gòu)進行簡化化分析。4.3振型的正交交性在線彈性反反應(yīng)分析中中，振型的的重要作用用是提供了了一種結(jié)構(gòu)構(gòu)動力反應(yīng)應(yīng)分析方法法的基礎(chǔ)。。即提供了了振型疊加加（分解））法的基礎(chǔ)礎(chǔ)。以振型型為一種坐坐標基，提提供了一種種坐標變換換，將多自自由度體系系問題分解解成一系列列單自由度度問題求解解，大為簡簡化了分析析。這主要要是由于振振型所具有有的特性：：正交性。。振型的正交交性是指不不同振型向向量滿足以以下條件：：即振型關(guān)于于質(zhì)量陣[M]和剛度陣[K]正交，也稱稱為加權(quán)正正交。4.3振型的正交交性振型正交性性的證明在在Clough書中應(yīng)用的的是Betti互易定理，，就像d’Alember原理一樣考考慮了慣性性力，是運運動學中功功的互等定定理。實際振型正正交性的證證明可以直直接從運動動方程的特特征方程，，即從導出出自振頻率率和振型的的公式中直直接得到。。4.3振型的正交交性對于兩個頻頻率ωm和ωn，及其振型型分別滿足足：(1)(2)式(1)兩邊同時前前乘{φ}mT式(2)兩邊同時前前乘{φ}nT得對上式等式式兩邊同時時取轉(zhuǎn)置得得：[M]和[K]均為對稱稱矩陣4.3振型的正正交性以上兩式式相減得得：當ωm≠ωn時（即m≠n）：4.3振型正交交性的物物理意義義AnilK.Chopra,DynamicsofStructures1、第n階振型的的慣性力力在第r階振型位位移上做做功為零零4.3振型正交性的的物理意義AnilK.Chopra,DynamicsofStructures2、第n階振型的恢復(fù)復(fù)力在第r階振型位移上上做功為零4.3振型的正交性性例題1振型正交性的的檢驗結(jié)構(gòu)的質(zhì)量陣陣和剛度陣分分別為：而振型為：4.3振型的正交性性關(guān)于質(zhì)量陣的的正交性：4.3振型的正交性性關(guān)于剛度陣的的正交性：4.3振型的正交性性對于其它振型型之間的正交交性同理可以以檢驗例如：4.3振型的正交性性例題2振型正交性的的檢驗結(jié)構(gòu)的質(zhì)量陣陣和剛度陣分分別為：而振型為：4.3振型的正交性性例題2振型正交性的的檢驗關(guān)于質(zhì)量陣的的正交性：關(guān)于剛度陣的的正交性：4.3振型的正交性性當進行結(jié)構(gòu)振振型和自振頻頻率求解時，，檢驗計算結(jié)結(jié)果是否正確確的方法之一一是檢驗是否否滿足正交性性。4.3振型的正交性性如果把振型和和自振頻率滿滿足的方程兩邊同時前乘乘{φ}nT，則有：其中：可以得到表達達式：這與單自由度度體系自振頻頻率的計算公公式一樣。有時稱Mn和Kn為振型質(zhì)量和振型剛度。4.3振型的正交性性在振型的歸一一化方法中，，有時要求歸歸一化以后的的振型滿足（（其中“―”代表是歸一化化的以后的振振型）：如果求得的振振型{φ}n不滿足以上歸歸一化條件，，則可令：其中為為歸一化振振型，α為一待定常數(shù)數(shù)。可以寫成上式式的原因是同同一振型的不不同表達僅相相差一常數(shù)。。4.3振型的正交性性由振型質(zhì)量公公式，則歸一化方法法為：即是前面介紹紹的3種振型歸一化化方法中的第第3種方法。4.4位移的振型展展開和振型（（正規(guī)）坐標標對于任意N個自由度的問問題，任意N個獨立的向量量都可以用來來描述任何其其它的N階向量。上一一節(jié)已證明N個自由度結(jié)構(gòu)構(gòu)體系的N個振型是正交交的，因而N個振型是相互互獨立的，結(jié)結(jié)構(gòu)在任一時時刻的位移向向量就可以用用結(jié)構(gòu)的N個振型來表示示，即位移可可以用振型來來展開：其中，分別為位移向向量和振型，，qn(t),n=1,2,……,N,為廣義坐標，，是時間的函函數(shù)。4.4位移的振型展展開和振型（（正規(guī)）坐標標位移用振型展展開：是N維狀態(tài)空間中中的坐標變換換法，把物理理空間中的N個位移（分））量變換N個廣義坐標qn(t)空間，而振型型{φ}n，n=1,2,……N是坐標變換的的坐標基，可可以證明對于于保守系統(tǒng)（（無能量交換換），N個獨立的振型型是完備的，，即任何結(jié)構(gòu)構(gòu)振動位移的的形態(tài)都可以以用其N個振型線性表表示。4.4位移的振型展展開和振型坐坐標上面表達式表表示了位移可可以用振型展展開。廣義坐標qn(t)，n=1,2,……N,也稱為正規(guī)坐標，常稱為振型坐標。對于任意一個個位移向量{u}，當用振型來來展開時，可可以利用振型型的正交性來來獲得振型坐坐標的值。例例如對位移{u}的振型展開式式兩邊同時左左乘{φ}nT[M]，得到根據(jù)振型的正正交性，上式式右端N項公式中，只只有第n項不等于零，，則：將n從1取到N，則得到N個振型坐標qn(t)，n=1,2,……N的值4.4位移的振型展展開和振型坐坐標例1—續(xù)利用振型展開開公式將位移移向量{u}={111}T用振型展開解結(jié)構(gòu)的質(zhì)量陣陣和三階振型型分別為：振型展開公式式為：振型坐標為：：4.4位移的振型展展開和振型坐坐標例1—續(xù)1階振型坐標為：：2階振型坐標為：：4.4位移的振型展展開和振型坐坐標例1—續(xù)3階振型坐標為：：驗證：4.4位移的振型展展開和振型坐坐標從以上分析看看到，結(jié)構(gòu)任一位移反應(yīng)應(yīng)（狀態(tài)）都可可以用振型展開。這樣，求解多自由體系系的位移反應(yīng)問題，可以轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為求振型坐標問題。從上面求振型型坐標的公式式，可以發(fā)現(xiàn)現(xiàn)利用振型的的正交性，可可使求振型坐標問題題解耦，計算公式各各自獨立，即即將耦聯(lián)的N個自由度問題題化為N個獨立的單自自由度問題。。4.5無阻尼體系的的振型分解（（疊加）法體系的運動方方程：其中位移向量量和外荷載向向量分別為：：設(shè)體系的振型型和自振頻率率已預(yù)先求得得，將位移向向量用振型展展開：4.5無阻尼體系的的振型分解（（疊加）法位移和加速度度代入運動方方程式得，左乘{φ}nT（實際上應(yīng)該該用{φ}mT更明確，但為為前后一致，，以{φ}n代表任一向量量），利用振振型正交性得得：4.5無阻尼體系的的振型分解（（疊加）法其中：分別稱為n階振型的廣義義（振型）質(zhì)質(zhì)量、廣義（（振型）剛度度和廣義（振振型）荷載。。從上面的正交交性證明中已已給出，Mn和Kn的關(guān)系：ωn—體系第n階自振頻率。。4.5無阻尼體系的的振型分解（（疊加）法振型坐標表示示的運動方程程兩邊同除Mn得：這是N個單自由度體體系的強迫振振動方程，可可以用單自由由度受任意荷荷載時的分析析方法求解。。例如用Duhamel積分、Fourier變換等。若用Duhamel積分，可得：：4.5無阻尼體系的的振型分解（（疊加）法求得qn(t)后，利用式將N個振型反應(yīng)疊疊加可以得到到多自由度體體系在任一時時刻的位移{u(t)}。如果外力是簡簡諧荷載和周周期性荷載，，則可以用前前面講的有關(guān)關(guān)公式得到解解（包括動力力放大系數(shù)Rd等）。以上分析方法法叫振型疊加法，有時也稱為為振型分解法。4.5無阻尼體系的的振型分解（（疊加）法用Duhamel積分得到的解解是滿足零初初始條件時的的特解，當有有非零初始條條件時，需計計算初始條件件引起的通解解，即體系的的自由振動。。此時可以把把初始條件也也用振型展開開，即直接利利用公式：得到用振型坐坐標表示的初初始位移條件件，和初始速度條條件，4.5無阻尼體系的的振型分解（（疊加）法左乘{φ}nT[M]，n=1,2,……N，并利用振型型的正交性，，得得到以振型坐坐標表示的初初始條件后，，可直接根據(jù)據(jù)單自由度體體系自由振動動的解式，得得到由初始條條件引起的各各廣義坐標的的自由振動qn0(t)為：由初始條件引引起的體系的的自由振動{u0(t)}為：4.5無阻阻尼尼體體系系的的振振型型分分解解（（疊疊加加））法法將強強迫迫振振動動引引起起的的解解和和初初始始條條件件引引起起的的解解疊疊加加，，得得到到結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)反反應(yīng)應(yīng)完完整整的的解解{ut(t)}，4.6有阻阻尼尼體體系系的的振振型型分分解解（（疊疊加加））法法當考考慮慮結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)中中的的阻阻尼尼，，采采用用振振型型疊疊加加法法分分析析時時，，能能否否將將聯(lián)聯(lián)立立的的運運動動方方程程化化為為解解耦耦的的（（非非耦耦合合的的））一一系系列列單單自自由由度度運運動動方方程程，，將將取取決決于于阻阻尼尼矩矩陣陣的的性性質(zhì)質(zhì)，，即即結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)的的振振型型是是否否關(guān)關(guān)于于阻阻尼尼陣陣滿滿足足正正交交條條件件。。如果果滿滿足足阻阻尼尼陣陣的的正正交交條條件件，，即即：：{φ}nT[C]{φ}m=0，m≠n則采采用用振振型型疊疊加加法法分分析析時時，，就就可可以以把把多多自自由由度度體體系系的的動動力力反反應(yīng)應(yīng)問問題題化化為為一一系系列列單單自自由由度度問問題題求求解解；；如如果果不不滿滿足足阻阻尼尼陣陣的的正正交交條條件件，，則則對對位位移移向向量量用用振振型型展展開開后后，，關(guān)關(guān)于于振振型型坐坐標標的的運運動動方方程程成成為為耦耦聯(lián)聯(lián)的的，，必必須須聯(lián)聯(lián)立立求求解解，，與與解解耦耦方方程程相相比比，，增增加加了了難難度度和和計計算算量量。。下下面面分分別別針針對對滿滿足足和和不不滿滿足足阻阻尼尼正正交交條條件件分分別別討討論論多多自自由由度度體體系系的的振振型型疊疊加加法法。。4.6有阻阻尼尼體體系系的的振振型型分分解解（（疊疊加加））法法1、滿滿足足阻阻尼尼陣陣正正交交條條件件多自自由由度度體體系系有有阻阻尼尼運運動動的的方方程程為為：：將位位移移向向量量用用振振型型展展開開，，則則速速度度向向量量也也同同樣樣可可表表示示為為振振型型的的疊疊加加。。將將第第n階振振型型{φ}nT左乘乘展展開開后后的的運運動動方方程程，，即即：：由于于振振型型關(guān)關(guān)于于質(zhì)質(zhì)量量陣陣[M]、阻阻尼尼陣陣[C]和剛剛度度陣陣[K]均滿滿足足正正交交條條件件：：4.6有阻阻尼尼體體系系的的振振型型分分解解（（疊疊加加））法法1、滿滿足足阻阻尼尼陣陣正正交交條條件件運動動方方程程化化為為n個解解耦耦的的關(guān)關(guān)于于振振型型坐坐標標的的運運動動方方程程：：其中中：：稱Cn為振振型型阻阻尼尼系系數(shù)數(shù)。。4.6有阻阻尼尼體體系系的的振振型型分分解解（（疊疊加加））法法1、滿滿足足阻阻尼尼陣陣正正交交條條件件定義義振振型型阻阻尼尼比比：而ωn2=Kn/Mn有阻阻尼尼體體系系振振型型坐坐標標的的運運動動方方程程可可寫寫為為如如下下形形式式：：上式式即即為為有有阻阻尼尼單單自自由由度度體體系系在在外外荷荷載載作作用用下下的的標標準準運運動動方方程程，，可可以以采采用用在在單單自自由由度度動動力力問問題題反反應(yīng)應(yīng)分分析析中中的的有有關(guān)關(guān)方方法法進進行行計計算算。。4.6有阻阻尼尼體體系系的的振振型型分分解解（（疊疊加加））法法1、滿滿足足阻阻尼尼陣陣正正交交條條件件采用用Duhamel積分分求求解解而，，分別別為為第第n階有有阻阻尼尼自自振振頻頻率率和和單單位位脈脈沖沖反反應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)。。4.6有阻阻尼尼體體系系的的振振型型分分解解（（疊疊加加））法法1、滿滿足足阻阻尼尼陣陣正正交交條條件件若考考慮慮非非零零初初始始條條件件{u(0)}和，，則則可可確確定定qn(0)和，，由非非零零初初始始條條件件引引起起的的自自由由振振動動解解為為：：問題題的的全全解解為為：：4.6有阻阻尼尼體體系系的的振振型型分分解解（（疊疊加加））法法1、滿滿足足阻阻尼尼陣陣正正交交條條件件采用用頻頻域域分分析析方方法法求求解解振型型荷荷載載的的Fourier譜為復(fù)復(fù)頻頻反反應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)如果果存存在在非非零零初初始始條條件件，，則則采采用用與與上上面面類類似似的的方方法法可可以以得得到到由由初初始始條條件件引引起起的的各各廣廣義義坐坐標標表表示示的的自自由由振振動動，，再再利利用用振振型型疊疊加加公公式式，，可可以以得得到到位位移移的的時時域域解解。。5有阻阻尼尼體體系系的的振振型型疊疊加加法法1、滿滿足足阻阻尼尼陣陣正正交交條條件件外荷荷載載向向量量{p(t)}為簡簡諧諧荷荷載載例如如，，其中中{p0}為常常向向量量，，即即簡簡諧諧外外力力的的幅幅值值向向量量。。振型型坐坐標標運運動動方方程程為為:5有阻阻尼尼體體系系的的振振型型疊疊加加法法1、滿滿足足阻阻尼尼陣陣正正交交條條件件振型型反反應(yīng)應(yīng)為為：：振型型坐坐標標運運動動方方程程為為:Rdn—相應(yīng)應(yīng)于于n階自自振振頻頻率率的的動動力力放放大大系系數(shù)數(shù)，，或或稱稱振振型型反反應(yīng)應(yīng)的的動動力力放放大大系系數(shù)數(shù)更更合合適適。。5有阻阻尼尼體體系系的的振振型型疊疊加加法法1、滿滿足足阻阻尼尼陣陣正正交交條條件件從以以上上分分析析可可以以看看出出，，對對于于滿滿足足阻阻尼尼正正交交條條件件的的結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)體體系系,當采采用用振振型型疊疊加加法法分分析析時時，，多多自自由由度度體體系系的的動動力力反反應(yīng)應(yīng)問問題題即即轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為一一系系列列單單自自由由度度體體系系的的反反應(yīng)應(yīng)問問題題，，并并可可以以考考慮慮初初始始條條件件的的影影響響。。此時時在在單單自自由由度度體體系系分分析析中中采采用用的的各各種種分分析析方方法法都都可可以以用用于于計計算算分分析析多多自自由由體體系系的的動動力力反反應(yīng)應(yīng)問問題題，，使使問問題題的的分分析析得得到到極極大大簡簡化化，，因因為為求解解N個獨獨立立的的方方程程比比求求解解一一個個N階聯(lián)聯(lián)立立的的方方程程組組要要簡簡便便得得多。。5有阻阻尼尼體體系系的的振振型型疊疊加加法法1、滿滿足足阻阻尼尼陣陣正正交交條條件件對于于自自由由度度很很多多的的結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)，，例例如如具具有有上上萬萬個個自自由由度度的的大大型型結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)體體系系，，計計算算全全部部的的特特征征值值（（自自振振頻頻率率））和和特特征征向向量量（（振振型型））是是不不需需要要或或說說是是不不可可能能的的，，即即便便是是求求解解幾幾萬萬個個獨獨立立運運動動方方程程所所需需的的時時間間也也顯顯得得太太多多，，因因為為每每個個方方程程的的解解都都對對應(yīng)應(yīng)一一條條時時間間函函數(shù)數(shù)。。計算算中中發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)，，對對多多自自由由度度體體系系的的動動力力反反應(yīng)應(yīng)問問題題，，一一般般情情況況下下,高階階振振型型起起的的作作用用小小，，而而低低階階振振型型起起的的作作用用大大。。在在振振型型疊疊加加法法分分析析中中，，實實際際并并不不需需要要采采用用所所有有的的振振型型進進行行計計算算，，因因高高階階振振型型的的影影響響極極小小，，僅僅取取前前有有限限項項振振型型即即可可以以取取得得精精度度良良好好的的計計算算結(jié)結(jié)果果。。例例如如對對于于4萬個自自由度度超高高層結(jié)結(jié)構(gòu)的的地震震反應(yīng)應(yīng)，僅僅取前前30階振型型就可可以達達到所所需的的精度度?？拐鹨?guī)規(guī)范規(guī)規(guī)定，，一般般情況況下，，僅保保證在在一個個振動動方向向上有有前三三階振振型就就可以以。因因此振振型疊疊加法法大大大加快快了計計算速速度，，但對對于一一些大大型特特殊的的結(jié)構(gòu)構(gòu)，例例如懸懸索橋橋，可可能需需要使使用上上百個個振型型才可可以取取得滿滿意的的計算算結(jié)果果。5有阻尼尼體系系的振振型疊疊加法法1、滿足足阻尼尼陣正正交條條件雖然振振型疊疊加法法有計計算速速度快快、節(jié)節(jié)省時時間這這些突突出的的優(yōu)點點，但但存在在局限限性。。主要局局限是是由于于采用用了疊疊加原原理，，因而而原則則上僅僅適用用于分分析線線彈性性問題題，限限制了了使用用范圍圍；第二個個局限限是由由于要要求阻阻尼正正交，，對實實際工工程中中存在在的大大量不不滿足足阻尼尼正交交條件件的問問題，，迫使使采用用額外外的處處理方方法，，近似似處理理方法法包括括采用用正交交阻尼尼代替替非正正交阻阻尼，，或采采用復(fù)復(fù)模態(tài)態(tài)方法法，但但復(fù)模模態(tài)分分析將將使問問題維維數(shù)擴擴大一一倍。。5有阻尼尼體系系的振振型疊疊加法法1、滿足足阻尼尼陣正正交條條件新成果果：1、關(guān)于線線性彈彈性限限制目前已已把振振型疊疊加方方法推推廣用用于處處理非非線性性問題題，例例如用用SAP2000，但計計算中中要采采用足足夠多多的振振型。。2、關(guān)于非非正交交阻尼尼限制制除對阻阻尼進進行近近似處處理（（正交交化））或復(fù)復(fù)模態(tài)態(tài)方法法外，，還發(fā)發(fā)展了了迭代代算法法。6結(jié)構(gòu)中中的阻阻尼和和阻尼尼矩陣陣的構(gòu)構(gòu)造阻尼不不但對對結(jié)構(gòu)構(gòu)的動動力反反應(yīng)有有重要要的影影響，，而且且對計計算方方法也也產(chǎn)生生影響響。因因而結(jié)結(jié)構(gòu)動動力學學中阻阻尼是是一個個重要要的研研究課課題，，發(fā)展展了很很多阻阻尼理理論和和構(gòu)造造結(jié)構(gòu)構(gòu)阻尼尼矩陣陣的方方法。。由于試試圖通通過從從結(jié)構(gòu)構(gòu)的尺尺度、、結(jié)構(gòu)構(gòu)構(gòu)件件尺寸寸、結(jié)結(jié)構(gòu)材材料阻阻尼的的性質(zhì)質(zhì)來像像形成成結(jié)構(gòu)構(gòu)剛度度陣或或質(zhì)量量陣那那樣直直接構(gòu)構(gòu)造阻阻尼矩矩陣是是不現(xiàn)現(xiàn)實的的（雖雖然前前面給給出了了從材材料阻阻尼系系數(shù)開開始計計算阻阻尼陣陣的公公式）），對對連續(xù)續(xù)介質(zhì)質(zhì)尚可可以考考慮，，但對對建筑筑結(jié)構(gòu)構(gòu)問題題較大大。。結(jié)構(gòu)阻尼除除材料本身身外，構(gòu)件件間摩擦是是阻尼的重重要來源，，對此很難難用理論方方法確定。。6結(jié)構(gòu)中的阻阻尼和阻尼尼矩陣的構(gòu)構(gòu)造結(jié)構(gòu)的阻尼尼一般都是是通過實測測得到的，，通過統(tǒng)計計分析得到到不同類型型結(jié)構(gòu)阻尼尼值。由實實測得到的的阻尼值一一般都是振振型阻尼比比。振型阻尼比比：modaldampingratios，記為ζn，為對應(yīng)于于n階振型反應(yīng)應(yīng)的阻尼比比。從模擬擬精度來講講，用振型型阻尼比來來描述結(jié)構(gòu)構(gòu)線彈性反反應(yīng)中的阻阻尼性質(zhì)是是足夠的。。下面先通過過一個實際際例子介紹紹一下結(jié)構(gòu)構(gòu)的阻尼，，從中可以以發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)構(gòu)阻尼比的的大小并不不是固定值值，而是與與結(jié)構(gòu)振動動的幅值有有關(guān)。然后后介紹阻尼尼矩陣的構(gòu)構(gòu)造，主要要是Rayleigh阻尼，最后后介紹經(jīng)典典阻尼和非非經(jīng)典阻尼尼的概念。。6結(jié)構(gòu)中的阻阻尼和阻尼尼矩陣的構(gòu)構(gòu)造1、阻尼實測測的例子加州理工學學院的Millika圖書館，為九層鋼筋筋混凝土結(jié)結(jié)構(gòu)，建于1966－1967年，21m×23m×44m高。建筑進行了了起振機簡簡諧振動試試驗（采用半功功率點法））。經(jīng)歷了：LytleCreek地震（1970.12），M=5.4,震中距Δ=64km。舊金山地震震（1971.9），M=6.4，震中距Δ=30km。6結(jié)構(gòu)中的阻阻尼和阻尼尼矩陣的構(gòu)構(gòu)造1、阻尼實測測的例子由起振機振振動試驗和和兩次實際際地震得到到的結(jié)構(gòu)的的阻尼比6結(jié)構(gòu)中的阻阻尼和阻尼尼矩陣的構(gòu)構(gòu)造1、阻尼實測測的例子從以上實測測結(jié)果可以以發(fā)現(xiàn)：結(jié)構(gòu)的自振振周期和振振型阻尼比比隨振幅的的不同而變變化，隨振振動強度的的增大：自自振周期變變長，振型型阻尼比變變大。但自自振周期的的變化小于于振型阻尼尼比的變化化。微振時，阻阻尼比較小小，為1％—2％；微、小振（（震）時，，阻尼比達達3％；小、中振（（震）時，，阻尼比可可達5—7％。一般當我們們做結(jié)構(gòu)的的振動反應(yīng)應(yīng)分析時，，除在機器器基礎(chǔ)等設(shè)設(shè)計時涉及及到微振外外，大部分分都涉及小小、中振（（震）分析析，因此一一般取鋼筋筋混凝土阻阻尼比為5％是一個平平均值。6結(jié)構(gòu)中的阻阻尼和阻尼尼矩陣的構(gòu)構(gòu)造1、阻尼實測測的例子從以上結(jié)果果也看到，，不同振型阻阻尼比是有差別的。。右表給出一般情況況下工程中鋼筋混凝凝土結(jié)構(gòu)和木結(jié)構(gòu)阻阻尼比的推薦值。6結(jié)構(gòu)中的阻阻尼和阻尼尼矩陣的構(gòu)構(gòu)造2、Rayleigh阻尼Rayleigh阻尼是最簡簡單、方便便，結(jié)構(gòu)動動力分析中中得到廣泛泛應(yīng)用的一一種阻尼形形式。Rayleigh阻尼假設(shè)結(jié)結(jié)構(gòu)的阻尼尼矩陣是質(zhì)質(zhì)量矩陣和和剛度矩陣陣的組合，，即：其中a0和a1是兩個比例例常數(shù)（比比例系數(shù)）），分別具具有s-1和s的量綱。以上表達式式是LordRayleigh首先建議使使用的，稱稱為Rayleigh阻尼。6結(jié)構(gòu)中的阻阻尼和阻尼尼矩陣的構(gòu)構(gòu)造2、Rayleigh阻尼在前一節(jié)內(nèi)內(nèi)容中已講講，結(jié)構(gòu)的的振型是關(guān)關(guān)于質(zhì)量陣陣和剛度陣陣正交的，，很容易想想到，質(zhì)量量矩陣和剛剛度矩陣的的線性組合合必定滿足足正交條件件，因此Rayleigh阻尼是一種種正交阻尼尼。滿足振型型正交條件件的阻尼也也稱為經(jīng)典阻尼。Rayleigh阻尼公式中中，a0和a1是待定的兩兩個常數(shù)，，可以用實實際測量得得到的結(jié)構(gòu)構(gòu)阻尼比來來確定，或或通過給定定的兩個振振型阻尼比比的值來確確定，為此此要把Rayleigh阻尼公式化化成由阻尼尼比表示的的形式。6結(jié)構(gòu)中的阻阻尼和阻尼尼矩陣的構(gòu)構(gòu)造2、Rayleigh阻尼將Rayleigh阻尼公式分分別左乘振振型的轉(zhuǎn)置置{φ}nT和右乘振型型{φ}n得:其中Cn、Mn、Kn分別是第n階振型阻尼尼比、振型型質(zhì)量和剛剛度:利用公式:得到：6結(jié)構(gòu)中的阻阻尼和阻尼尼矩陣的構(gòu)構(gòu)造2、Rayleigh阻尼假設(shè)ζi和ζj給定，可寫寫出計算a0和a1的矩陣形式式可解得：當振型阻尼尼比ζi=ζj=ζ時，上式簡簡化為：6結(jié)構(gòu)中的阻阻尼和阻尼尼矩陣的構(gòu)構(gòu)造2、Rayleigh阻尼采用公式經(jīng)過簡單的的運算就可可以得到進進行結(jié)構(gòu)動動力反應(yīng)計計算所需的的阻尼矩陣陣為保證構(gòu)造造的阻尼矩矩陣合理、、可靠，在在確定Rayleigh阻尼的常數(shù)數(shù)a0和a1時，必須遵遵循一定的的原則，否否則構(gòu)造的的阻尼陣可可能導致計計算結(jié)果的的嚴重