2021-2022學(xué)年湖北省武漢市江夏區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

第22頁（共22頁）2021-2022學(xué)年湖北省武漢市江夏區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）在一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0中，二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是（）A．2，5 B．2，﹣5 C．2，1 D．2，﹣12．（3分）下列四個(gè)圖形分別是四屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，其中屬于中心對(duì)稱圖形的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0時(shí)，配方得（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x﹣4）2＝1 D．（x﹣4）2＝54．（3分）在某籃球邀請(qǐng)賽中，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)，共比賽36場(chǎng)．設(shè)有x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)題意，可列方程為（）A．12x（x﹣1）＝36 B．12x（x+1）＝C．x（x﹣1）＝36 D．x（x+1）＝365．（3分）如圖，已知圓心角∠BOC＝100°，則圓周角∠BAC的大小是（）A．50° B．100° C．130° D．200°6．（3分）如圖，將△ABD繞頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°得到△CBE，且點(diǎn)C剛好落在線段AD上，若∠CBD＝32°，則∠E的度數(shù)是（）A．32° B．34° C．36° D．38°7．（3分）已知點(diǎn)A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+b的圖象上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系為（）A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y38．（3分）將二次函數(shù)y＝x2+1的圖象繞點(diǎn)（1，﹣1）旋轉(zhuǎn)180°，得到的圖象的解析式為（）A．y＝﹣（x﹣2）2﹣3 B．y＝（x﹣2）2﹣3 C．y＝﹣（x﹣3）2﹣2 D．y＝﹣（x+2）2﹣39．（3分）觀察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根據(jù)其中的規(guī)律可得，71+72+…+72020+72021的結(jié)果的個(gè)位數(shù)是（）A．0 B．1 C．7 D．810．（3分）已知拋物線y＝x2﹣（1+m）x+m與直線y＝﹣x兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x1，x2，并且x12+mx2＝2，則m的值為（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣1或2二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）11．（3分）一元二次方程x2﹣x＝0的解是．12．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（2，4）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是．13．（3分）某種植物主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的枝干，每個(gè)分支又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、枝干、小分支的總數(shù)是91，每個(gè)枝干長(zhǎng)出小分支．14．（3分）在半徑為10的⊙O中，弦AB＝12，弦CD＝16，且AB∥CD，則AB與CD之間的距離是．15．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，對(duì)稱軸為直線x＝1．下面結(jié)論：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一個(gè)根大于﹣1且小于0．其中正確的是．（只填序號(hào)）16．（3分）△ABC中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D為BC的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)D，過B作BF⊥l于F，過A作AE⊥l于E，求AE+BF的最大值為．三、解答題（共8題，共72分）17．（8分）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．18．（8分）如圖，兩個(gè)圓都以點(diǎn)O為圓心，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)．求證：AC＝BD．19．（8分）如圖，有一矩形的硬紙板，長(zhǎng)為30cm，寬為20cm，在其四個(gè)角各剪去一個(gè)相同的小正方形，然后把四周的矩形折起，可做成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體盒子，當(dāng)剪去的正方形的邊長(zhǎng)為何值時(shí)，所得長(zhǎng)方體盒子的底面積為264cm2？20．（8分）如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示，按步驟完成下列問題：（1）將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出對(duì)應(yīng)線段AE；（2）過點(diǎn)E畫一條直線把平行四邊形ABCD分成面積相等的兩部分；（3）過點(diǎn)D畫格點(diǎn)線段DP，使得DP⊥BC于點(diǎn)M，垂足為M；（4）過點(diǎn)M畫線段MN，使得MN∥AB，MN＝AB．21．（8分）如圖，AB為⊙O直徑，C為AB上一點(diǎn)，DC⊥AB于C，交⊙O于D，D為AE中點(diǎn)，AE交DC于點(diǎn)F．（1）求證：AE＝2DC；（2）若AC＝2，AE＝8，求⊙O半徑R和CF長(zhǎng)．22．（10分）某商店經(jīng)銷一種銷售成本為30元/kg的水產(chǎn)品，據(jù)市場(chǎng)分析：若按50元/kg銷售，一個(gè)月能售出300kg，銷售單價(jià)每漲1元，月銷售量就減少10kg．設(shè)售價(jià)為x元/kg（x＞50），月銷售量為ykg；（1）求月銷售量y與售價(jià)x之間的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)售價(jià)定為多少時(shí)，月銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？（3）商店想在月銷售成本不超過6000元的情況下，使得月銷售利潤(rùn)不少于4000元，銷售單價(jià)應(yīng)定在什么范圍？請(qǐng)直接寫出售價(jià)x的取值范圍．23．（10分）等邊△ABC中，D、E分別是邊AC、BC邊上的點(diǎn)，CD＝CE，以CE、CD為鄰邊作菱形CDFE，連BF，P為BF中點(diǎn)，連AP、EP．（1）作出△PEF關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱的△PQB，并證明：AP⊥EP；（2）將菱形CDFE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)：①如圖2，確定線段AP與線段EP的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．②若AC＝3，DC＝1，菱形CDFE在旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出線段AP的最大值是，最小值是．24．（12分）如圖，拋物線y＝ax2﹣2ax+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和B兩點(diǎn)，點(diǎn)C（6，4）在拋物線上．（1）求拋物線解析式；（2）如圖1，D為y軸左側(cè)拋物線上一點(diǎn)，且∠DCA＝2∠CAB，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，直線y＝mx+n與拋物線交于點(diǎn)E、F，連接CE、CF分別交y軸于點(diǎn)M、N，若OM?ON＝3．求證：直線EF經(jīng)過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．

2021-2022學(xué)年湖北省武漢市江夏區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）在一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0中，二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是（）A．2，5 B．2，﹣5 C．2，1 D．2，﹣1【解答】解：一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0的二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是2和﹣1，故選：D．2．（3分）下列四個(gè)圖形分別是四屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，其中屬于中心對(duì)稱圖形的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：第一個(gè)圖形是中心對(duì)稱圖形，第二個(gè)圖形不是中心對(duì)稱圖形，第三個(gè)圖形是中心對(duì)稱圖形，第四個(gè)圖形不是中心對(duì)稱圖形，故選：B．3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0時(shí)，配方得（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x﹣4）2＝1 D．（x﹣4）2＝5【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x＝1，∴x2﹣4x+4＝5，∴（x﹣2）2＝5．故選：B．4．（3分）在某籃球邀請(qǐng)賽中，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)，共比賽36場(chǎng)．設(shè)有x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)題意，可列方程為（）A．12x（x﹣1）＝36 B．12x（x+1）＝C．x（x﹣1）＝36 D．x（x+1）＝36【解答】解：設(shè)有x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)題意，可列方程為：12x（x﹣1）＝36故選：A．5．（3分）如圖，已知圓心角∠BOC＝100°，則圓周角∠BAC的大小是（）A．50° B．100° C．130° D．200°【解答】解：根據(jù)圓周角定理，可得：∠A=12∠BOC＝故選：A．6．（3分）如圖，將△ABD繞頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°得到△CBE，且點(diǎn)C剛好落在線段AD上，若∠CBD＝32°，則∠E的度數(shù)是（）A．32° B．34° C．36° D．38°【解答】解：∵將△ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°得到△CBE，∴CB＝AB，∠ABC＝40°，∠D＝∠E，∴∠A＝∠ACB=12（180°﹣40°）＝∵∠CBD＝32°，∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝40°+32°＝72°，∴∠D＝∠E＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣70°﹣72°＝38°．故選：D．7．（3分）已知點(diǎn)A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+b的圖象上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系為（）A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+b，∴函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+b的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，開口向下，當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y隨x的增大而減小，∵﹣1﹣（﹣3）＝2，﹣1﹣（﹣1）＝0，2﹣（﹣1）＝3，∴y3＜y1＜y2，故選：B．8．（3分）將二次函數(shù)y＝x2+1的圖象繞點(diǎn)（1，﹣1）旋轉(zhuǎn)180°，得到的圖象的解析式為（）A．y＝﹣（x﹣2）2﹣3 B．y＝（x﹣2）2﹣3 C．y＝﹣（x﹣3）2﹣2 D．y＝﹣（x+2）2﹣3【解答】解：∵拋物線y＝x2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），∴繞點(diǎn)（1，﹣1）旋轉(zhuǎn)180°后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣3），∴所得到的圖象的解析式為y＝﹣（x﹣2）2﹣3，故選：A．9．（3分）觀察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根據(jù)其中的規(guī)律可得，71+72+…+72020+72021的結(jié)果的個(gè)位數(shù)是（）A．0 B．1 C．7 D．8【解答】解：由71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，可得：個(gè)位數(shù)4個(gè)數(shù)一循環(huán)，且4個(gè)數(shù)一循環(huán)的個(gè)位數(shù)字之和為7+9+3+1＝20，∵2021÷4＝505…1，∴71+72+…+72021＝505×0+7＝7，故選：C．10．（3分）已知拋物線y＝x2﹣（1+m）x+m與直線y＝﹣x兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x1，x2，并且x12+mx2＝2，則m的值為（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣1或2【解答】解：令x2﹣（1+m）x+m＝﹣x，∴x2﹣mx+m＝0，∴m2﹣4m＞0，∴m＜0或m＞4，x1+x2＝m，∵x1∴x1∴x＝mx1﹣m+mx2，＝m（x1+x2）﹣m，＝m2﹣m，∴m2﹣m＝2，∴m1＝2（舍去），m2＝﹣1，故選：A．二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）11．（3分）一元二次方程x2﹣x＝0的解是x1＝0，x2＝1．【解答】解：x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，∴x＝0或x﹣1＝0，∴x1＝0，x2＝1，故答案為：x1＝0，x2＝1．12．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（2，4）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2，﹣4）．【解答】解：點(diǎn)P（2，4）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2，﹣4），故答案為：（﹣2，﹣4）13．（3分）某種植物主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的枝干，每個(gè)分支又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、枝干、小分支的總數(shù)是91，每個(gè)枝干長(zhǎng)出9小分支．【解答】解：設(shè)每個(gè)枝干長(zhǎng)出x個(gè)小分支，則主干上長(zhǎng)出了x個(gè)枝干，根據(jù)題意得：x2+x+1＝91．整理，得（x+10）（x﹣9）＝0，解得x1＝﹣10（舍去），x2＝9．即每個(gè)枝干長(zhǎng)出9小分支．故答案是：9．14．（3分）在半徑為10的⊙O中，弦AB＝12，弦CD＝16，且AB∥CD，則AB與CD之間的距離是2或14．【解答】解：過O作OE⊥CD于E，直線OE交AB于F，連接OC，OA，∵AB∥CD，OE⊥CD，∴OF⊥AB，∵AB＝12，CD＝16，OE過圓心O，∴CE＝DE＝8，AF＝BF＝6，有兩種情況：①如圖1，由勾股定理得：OE=OCOF=OA∴EF＝OF﹣OE＝8﹣6＝2；②如圖2，EF＝OE+OF＝6+8＝14，所以AB與CD之間的距離是2或14，故答案為：2或14．15．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，對(duì)稱軸為直線x＝1．下面結(jié)論：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一個(gè)根大于﹣1且小于0．其中正確的是①②④．（只填序號(hào)）【解答】解：由圖象可得，a＜0，b＞0，c＞0，則abc＜0，故①正確；∵-b2∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②正確；∵函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點(diǎn)在點(diǎn)（2，0）和（3，0）之間，對(duì)稱軸是直線x＝1，∴函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）和點(diǎn)（﹣1，0）之間，故④正確；∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0，∴y＝a+2a+c＜0，∴3a+c＜0，故③錯(cuò)誤；故答案為：①②④．16．（3分）△ABC中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D為BC的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)D，過B作BF⊥l于F，過A作AE⊥l于E，求AE+BF的最大值為26．【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CK⊥l于點(diǎn)K，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝4，∴BH＝2，AH＝23，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AH＝CH＝23，∴AC=AH2+∵點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，∴BD＝CD，在△BFD與△CKD中，∠BFD∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延長(zhǎng)AE，過點(diǎn)C作CN⊥AE于點(diǎn)N，得矩形ENCK，∴CK＝EN，∴AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，當(dāng)直線l⊥AC時(shí)，最大值為26，綜上所述，AE+BF的最大值為26．故答案為26．三、解答題（共8題，共72分）17．（8分）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．【解答】解：移項(xiàng)得：x2﹣4x＝7，配方得：x2﹣4x+4＝7+4，即（x﹣2）2＝11，開方得：x﹣2＝±11，∴原方程的解是：x1＝2+11，x2＝2-18．（8分）如圖，兩個(gè)圓都以點(diǎn)O為圓心，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)．求證：AC＝BD．【解答】證明：過點(diǎn)O作OE⊥AB，∵OA＝OB，∴AE＝BE，又∵在⊙O中，∴CE＝DE，∴AC＝BD19．（8分）如圖，有一矩形的硬紙板，長(zhǎng)為30cm，寬為20cm，在其四個(gè)角各剪去一個(gè)相同的小正方形，然后把四周的矩形折起，可做成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體盒子，當(dāng)剪去的正方形的邊長(zhǎng)為何值時(shí)，所得長(zhǎng)方體盒子的底面積為264cm2？【解答】解：設(shè)剪掉的正方形紙片的邊長(zhǎng)為xcm．由題意，得（30﹣2x）（20﹣2x）＝264．整理，得x2﹣25x+84＝0．解方程，得x1＝4，x2＝21（不符合題意，舍去）．答：剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為4cm．20．（8分）如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示，按步驟完成下列問題：（1）將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出對(duì)應(yīng)線段AE；（2）過點(diǎn)E畫一條直線把平行四邊形ABCD分成面積相等的兩部分；（3）過點(diǎn)D畫格點(diǎn)線段DP，使得DP⊥BC于點(diǎn)M，垂足為M；（4）過點(diǎn)M畫線段MN，使得MN∥AB，MN＝AB．【解答】解：（1）如圖，線段AE即為所求．（2）如圖，直線OE即為所求．（3）如圖，線段DP即為所求．（4）如圖，線段MN即為所求．21．（8分）如圖，AB為⊙O直徑，C為AB上一點(diǎn)，DC⊥AB于C，交⊙O于D，D為AE中點(diǎn)，AE交DC于點(diǎn)F．（1）求證：AE＝2DC；（2）若AC＝2，AE＝8，求⊙O半徑R和CF長(zhǎng)．【解答】（1）證明：如圖，延長(zhǎng)DC交⊙O于N，∵DC⊥AB，AB是直徑，∴AD=AN，DC＝CN=∵D為AE中點(diǎn)，∴AD=∴AD=∴AE=∴AE＝DN，∴AE＝2CD；（2）解：連接OD，∵AC＝2，AE＝8，∴CD＝4，CO＝R﹣2，∵OD2＝CO2+DC2，∴R2＝（R﹣2）2+16，∴R＝5，∴CO＝3，∵D為AE中點(diǎn)，∴OD⊥AE，∴∠A+∠AOD＝90°＝∠AOD+∠D，∴∠A＝∠D，又∵∠ACF＝∠DCO，∴△ACF∽△DCO，∴ACDC∴24∴CF=322．（10分）某商店經(jīng)銷一種銷售成本為30元/kg的水產(chǎn)品，據(jù)市場(chǎng)分析：若按50元/kg銷售，一個(gè)月能售出300kg，銷售單價(jià)每漲1元，月銷售量就減少10kg．設(shè)售價(jià)為x元/kg（x＞50），月銷售量為ykg；（1）求月銷售量y與售價(jià)x之間的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)售價(jià)定為多少時(shí)，月銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？（3）商店想在月銷售成本不超過6000元的情況下，使得月銷售利潤(rùn)不少于4000元，銷售單價(jià)應(yīng)定在什么范圍？請(qǐng)直接寫出售價(jià)x的取值范圍．【解答】解：（1）由題意可得，y＝300﹣（x﹣50）×10＝﹣10x+800，即月銷售量y與售價(jià)x之間的函數(shù)解析式是y＝﹣10x+800；（2）設(shè)利潤(rùn)為w元，由題意可得w＝（x﹣30）（﹣10x+800）＝﹣10（x﹣55）2+6250，∴當(dāng)x＝55時(shí)，w取得最大值，此時(shí)w＝6250，答：當(dāng)售價(jià)定為55元時(shí)，月銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是6250元；（3）∵月銷售成本不超過6000元，月銷售利潤(rùn)不少于4000元，∴30(-解得60≤x≤70，即x的取值范圍是60≤x≤70．23．（10分）等邊△ABC中，D、E分別是邊AC、BC邊上的點(diǎn)，CD＝CE，以CE、CD為鄰邊作菱形CDFE，連BF，P為BF中點(diǎn)，連AP、EP．（1）作出△PEF關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱的△PQB，并證明：AP⊥EP；（2）將菱形CDFE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)：①如圖2，確定線段AP與線段EP的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．②若AC＝3，DC＝1，菱形CDFE在旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出線段AP的最大值是23，最小值是3．【解答】（1）證明：如圖1，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，由對(duì)稱的性質(zhì)得：PQ＝PE，∵P為BF的中點(diǎn)，∴PB＝PF，又∵∠BPQ＝∠FPE，∴△BPQ≌△FPE（SAS），∴BQ＝FE，∠BQP＝∠FEP，∴BQ∥FE，∵四邊形CDFE是菱形，∴CD∥FE，CD＝CE＝FE，∴BQ∥CD，BQ＝CE，∴∠QBC+∠ACB＝180°，即∠ABQ+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABQ＝60°，∴∠ABQ＝∠ACE，∴△ABQ≌△ACE（SAS），∴AQ＝AE，∵PQ＝PE，∴AP⊥EP；（2）解：①AP⊥EP，AP=3EP作△PEF關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱的△PQB，連接AQ、AE，如圖2所示：同（1）得：△BPQ≌△FPE（SAS），∴QB＝EF，PQ＝PE，∠QBP＝∠EFP，∴QB∥EF，∵四邊形CDFE是菱形，∴CD∥FE，CE＝FE，∴BQ∥CD，BQ＝CE，∴∠QBC+∠BCD＝180°，即∠ABQ+∠ABC+∠ACB+∠ACD＝180°，∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ABQ+∠ACD＝60°，∵∠ACE+∠ACD＝∠ECD＝60°，∴∠ABQ＝∠ACE，∵BQ＝CE，AB＝AC，∴△ABQ≌△ACE（SAS），∴AQ＝AE，∠QAB＝∠EAC，∵∠BAE+∠EAC＝60°，∴∠QAB+∠BAE＝60°，即∠QAE＝60°，∴△AEQ是等邊三角形，∵PQ＝PE，∴AP⊥EP，∠EAP＝∠QAP=12∠QAE＝∴tan30°=PE∴AP=PEtan②由①得：AP⊥EP，△AEQ是等邊三角形，∴∠AEP＝60°，∴sin60°=AP∴AP=32∴當(dāng)AE最大時(shí)，AP最大，當(dāng)AE最