導(dǎo)學(xué)案：對應(yīng)映射和函數(shù)

1.學(xué)習(xí)目標(biāo)重點難點1．能記住映射的定義，知道什么是象，什么是原象，會根據(jù)對應(yīng)法則說出象和原象；2．會判斷給出的對應(yīng)是否是映射；3．能記住函數(shù)的定義，知道什么是函數(shù)的定義域、值域；4．能說出函數(shù)的三要素.重點：1．記住映射的定義；2．會判斷一個對應(yīng)是不是映射；3．函數(shù)的定義．難點：函數(shù)定義的理解；疑點：映射與函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系.1．映射(1)在數(shù)學(xué)里，把集合到集合的確定性的對應(yīng)說成是映射．(2)映射的定義：設(shè)A，B是兩個非空的集合．如果按照某種對應(yīng)法則f，對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有唯一元素和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫作從集合A到集合B的映射，記作f：A→B．(3)在映射f：A→B中，集合A叫作映射的定義域，與A中元素x對應(yīng)的B中的元素y叫x的象，記作y＝f(x)，x叫作y的原象．預(yù)習(xí)交流1在映射f：A→B中，A中的元素是否必須都有象？象可以不唯一嗎？提示：A中任何一個元素都必須有象，象必須是唯一的．預(yù)習(xí)交流2在映射f：A→B中，B中的元素是否必須都有原象？B中元素的原象是否是唯一的？提示：B中的元素可以沒有原象，B中元素的原象可以不是唯一的．預(yù)習(xí)交流3從A到B的映射與從B到A的映射相同嗎？提示：不同，映射具有方向性．2．函數(shù)(1)函數(shù)就是數(shù)集到數(shù)集的映射．(2)函數(shù)的定義：設(shè)A，B是兩個非空的數(shù)集．如果按照某種對應(yīng)法則f，對于集合A中的任何一個數(shù)x，在集合B中都有唯一的數(shù)y和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)f叫作定義于A取值于B的函數(shù)，記作f：A→B，或者y＝f(x)(x∈A，y∈B)．(3)在函數(shù)y＝f(x)(x∈A，y∈B)中，A叫作函數(shù)的定義域，與x∈A對應(yīng)的數(shù)y叫作x的象，記作y＝f(x)，由所有x∈A的象組成的集合叫作函數(shù)的值域．(4)函數(shù)的三要素：①對應(yīng)法則；②定義域；③值域．預(yù)習(xí)交流4映射就是函數(shù)，函數(shù)就是映射？提示：并非所有映射都是函數(shù)，只有集合A，B都是非空數(shù)集時，映射才是函數(shù)．函數(shù)是一類特殊的映射，映射是函數(shù)的推廣．預(yù)習(xí)交流5在函數(shù)y＝f(x)(x∈A，y∈B)中，B就是這個函數(shù)的值域嗎？提示：不一定．值域是A中所有元素的象的集合，而B中的有些元素可能沒有原象．因此B不一定就是值域．若值域設(shè)為C，則有C?B．一、映射的判斷判斷下列對應(yīng)關(guān)系哪些是從集合A到集合B的映射，哪些不是，為什么？(1)A＝B＝N＋，對應(yīng)關(guān)系f：x→y＝|x－3|.(2)A＝R，B＝{x|x是非負(fù)實數(shù)}，對應(yīng)關(guān)系f：y＝x2.(3)A＝R，B＝{0,1}，對應(yīng)關(guān)系f：x→y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≥0，,0，x<0.))(4)A＝Z，B＝Q，對應(yīng)關(guān)系f：x→y＝eq\f(1,x).思路分析：按照映射的定義檢驗每個對應(yīng)關(guān)系是否滿足，尤其是看A中是否每個元素都有與之對應(yīng)的元素，再就是看A中元素對應(yīng)的象是否唯一．解：(1)對于集合A中的元素3，在f的作用下得0，但0B，即3在集合B中沒有元素與之對應(yīng)，所以這種對應(yīng)不是映射．(2)對于集合A中的任何一個實數(shù)x，x2≥0是非負(fù)實數(shù)，在B中都有唯一的元素與之對應(yīng)，所以這個對應(yīng)是從A到B的映射．(3)對于集合A中任意一個非負(fù)數(shù)B中都有唯一元素1與之對應(yīng)，對于A中任意一個負(fù)數(shù)B中都有唯一元素0與之對應(yīng)，所以這種對應(yīng)是映射．(4)集合A中的數(shù)0在集合B中沒有元素與之對應(yīng)，故不是映射．判斷下列對應(yīng)是否是從集合A到集合B的映射？(1)A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6,7,8,9}，對應(yīng)關(guān)系f：y＝2x＋1；(2)A＝{平面內(nèi)的圓}，B＝{平面內(nèi)的矩形}，對應(yīng)法則f：A中的元素對應(yīng)它的內(nèi)接矩形；(3)A＝{x|x≥0}，B＝R，對應(yīng)關(guān)系f：A中元素對應(yīng)它的平方根．(4)A＝{0,1,2,9}，B＝{0,1,4,9,64}，對應(yīng)關(guān)系f：a→b＝(a－1)2.解：(1)A中每一個元素在B中都有唯一的元素與之對應(yīng)，是映射；(2)不是從集合A到集合B的映射．因為一個圓有無窮多個內(nèi)接矩形，即集合A中任何一個元素在集合B中都有無窮多個元素與之對應(yīng)．(3)不是映射．因為任何正數(shù)的平方根都有兩個值，即集合A中除0以外的任何元素，在集合B中都有兩個元素與之對應(yīng)．(4)在f的作用下，集合A中的0,1,2,9分別對應(yīng)到集合B中的1,0,1,64，所以是映射．集合A到集合B的映射所滿足的條件是：(1)對應(yīng)關(guān)系有“方向性”，是從集合A到集合B；(2)A中無多余元素，即B中可以有剩余元素；(3)A到B的對應(yīng)可以是多對一或一對一，但不能一對多．二、映射的象與原象已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，對應(yīng)關(guān)系f：x→y＝x2＋2x.(1)求A中元素－1和3的象；(2)求B中元素0和3的原象；(3)B中的哪一些元素沒有原象？思路分析：(1)可令x＝－1或3代入y＝x2＋2x求y的值即為象；(2)可令x2＋2x＝0或3解得x的值即為原象；(3)可求出y＝x2＋2x的取值范圍，不在此范圍內(nèi)的元素沒有原象．解：(1)令x＝－1得y＝(－1)2＋2×(－1)＝－1，令x＝3得y＝32＋2×3＝15，所以－1的象是－1,3的象是15.(2)令x2＋2x＝0，解得x＝0或－2，所以0的原象是0或－2.令x2＋2x＝3.解得x＝1或－3，所以3的原象是1或－3.(3)由于y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1≥－1，所以只有當(dāng)y≥－1時，它在A中才有原象，而當(dāng)y＜－1時，它在A中就沒有原象，即集合B中小于－1的元素沒有原象．1．映射f：A→B，A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，對于任意a∈A，在集合B中和它對應(yīng)的元素是|a|，則集合B中元素的最少個數(shù)是()．A．7B．6C．5D．4答案：D解析：由映射定義知，B中至少有元素1,2,3,4，即B中至少有4個元素，選D．2．設(shè)A＝{x|x是銳角}，B＝(0,1)，從A到B的映射是“求正弦”，與A中元素60°相對應(yīng)的B中的元素是__________，與B中元素eq\f(\r(2),2)相對應(yīng)的A中的元素是__________．答案：eq\f(\r(3),2)45°解析：60°角的正弦等于eq\f(\r(3),2)，45°角的正弦等于eq\f(\r(2),2)，所以60°的象是eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(2),2)的原象是45°.1．解答此類問題的關(guān)鍵是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的對應(yīng)法則；2．對A中元素，求象只需將原象代入對應(yīng)法則即可，對于B中元素求原象，可先設(shè)出它的原象，然后利用對應(yīng)法則列出方程(組)求解．三、映射的個數(shù)問題已知A＝{x，y}，B＝{a，b，c}，集合A到集合B的所有不同的映射有多少個？思路分析：解答本題應(yīng)先弄清映射的定義，明確A到B的映射是A與B中元素的對應(yīng)，這種對應(yīng)可以是“一對一”“多對一”，但不能是“一對多”．A中元素不能“閑”著，而B中元素可以“閑”著，然后利用畫圖形的辦法，分成兩類考慮，一類是A中的元素對應(yīng)B中同一個元素，另一類是A中的元素對應(yīng)B中不同的元素，最后將兩類情況的結(jié)果合起來即可．解：分兩類考慮：(1)集合A中的兩個元素都對應(yīng)B中相同元素的映射有3個．(2)集合A中的兩個元素對應(yīng)B中不同元素的映射有6個．∴A到B的映射共有9個．1．在活動與探究3中，從集合B到集合A可以建立多少個不同的映射？解：可以建立以下8個不同的映射：2．已知集合A＝{a，b}，B＝{2,0，－2}，f是從A到B的映射，且f(a)＋f(b)＝0，求這樣的映射f的個數(shù)．解：符合要求的映射f有以下3個：1．若集合A有n個元素，集合B有m個元素，則A到B的映射有mn個，從B到A的映射有nm個．2．對于給出A到B的映射需要滿足某些特殊要求時，求映射的個數(shù)的問題，其關(guān)鍵是將映射具體化、形象化(如用列表法、圖示法、數(shù)形結(jié)合法等)．四、函數(shù)的概念下列對應(yīng)或關(guān)系式中是A到B的函數(shù)的是()．A．x2＋y2＝1，x∈A，y∈BB．A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,1}，對應(yīng)法則如圖所示C．A＝R，B＝R，f：x→y＝eq\f(1,x－1)D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝eq\r(2x－1)思路分析：要判斷y是x的函數(shù)，應(yīng)從兩方面考慮：①x必須在某一范圍內(nèi)存在；②對x的每一個值，相應(yīng)的y值必須唯一．答案：B解析：選項A中由x2＋y2＝1，得y＝±eq\r(1－x2)，對于x任意值，y不唯一；選項B中，對于任意x∈A，都有唯一y∈B；選項C中，x＝1時，通過法則f，y值不存在；選項D中，取x＝2∈A，但是通過f，對應(yīng)y值為eq\r(2×2－1)＝eq\r(3)B，即y值不存在，由函數(shù)定義知，答案為B．下列各圖中，可表示函數(shù)y＝f(x)圖象的只可能是()．答案：D解析：由函數(shù)定義知，對于x的每一個值應(yīng)有唯一的y的值與之對應(yīng)，只有D項正確．判斷由一個式子是否確定y是x的函數(shù)的一般程序是：(1)將原式等價轉(zhuǎn)化為用x表示的形式；(2)看x的取值集合是否為，若是，則不是函數(shù)，若不是，再看x與y的對應(yīng)關(guān)系；(3)判斷對于原式有意義的每一個x值，是否都有唯一的y值與之對應(yīng)．若是，則確定y是x的函數(shù)，若不是，則不能確定y是x的函數(shù)．另外還要注意若題目是圖象的形式，就要觀察圖象中是否有一個自變量對應(yīng)多個函數(shù)值的形式，若有這種情況則構(gòu)不成函數(shù)．1．給出下列四個對應(yīng)法則，是映射的是()．A．③④B．①②C．②③D．①④答案：C解析：①中c沒有與之對應(yīng)的元素，不是映射；④中a有兩個與之對應(yīng)的元素，不是映射，所以選C．2．對于集合A到集合B的映射，下列理解不正確的選項是()．A．A中的元素在B中一定有象B．B中的元素在A中可能沒有原象C．集合A中的元素與B中的元素一一對應(yīng)D．設(shè)A＝B＝R，那么y＝x2是A到B的一個映射答案：C解析：在A到B的映射中，A中的元素與B中元素不一定是一一對應(yīng)，可以多對一，選C．3．點(x，y)在映射f下的對應(yīng)元素為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)x＋y,2)，\f(－x＋\r(3)y,2)))，則點(2,0)在f作用下的對應(yīng)元素為()．A．(0,2)B．(2,0)C．(eq\r(3)，－1)D．(eq\r(3)，1)答案：C解析：x＝2，y＝0時，eq\f(\r(3)x＋y,2)＝eq\r(3)，eq\f(－x＋\r(3)y,2)＝－1，∴(2,0)在f作用下對應(yīng)元素為(eq\r(3)，－1)．4．下列各式中，能確定y是x的函數(shù)的是()．A．x＋