高中數(shù)學 第三章 推理與證明 高考中的類比推理拓展資料素材 北師大版選修1-2

高中類推大數(shù)學家波利亞說過比是種類型的相似性，是一種更確定的和更概念性的相似用類比的關(guān)鍵就在于如何把關(guān)于對象在某些方面一致性說清楚。類比是提出新問題和作出新發(fā)現(xiàn)的一個重要源泉，是一種較高層次的信息遷移。例2006湖）半徑為圓的面積

r

2

，周長

C(r)

，若將r看作

(0,

上的變量，則

2

)'

，①，式可用語言敘述為：的面積函數(shù)的導數(shù)等于圓的周長函數(shù)。對于半徑為的球若將R作看作

(0,

上的變量，請你寫出類似于①的式子：，，②式可用語言敘述___________.解：由提供的形式找出球的兩個常用量體積、表面積公式，類似寫出恰好成立，()

43

,Sr)

.答案：①

(

43

R)'

R2

②球的體積函數(shù)的導數(shù)等于球的表面積函數(shù)。點評：主要考查類比意識考查學生分散思維，注意將圓的面積與周長與球的體積與表面積進行類比例年海高考第等差數(shù)aa=0則有等式a＋a＋??＋=a＋＋??＋a（＜19∈N）立。類比上述性質(zhì)，相應地：在等比數(shù)列b｝中，若=1，則有等式

成立。分：這是由一類事物（等差數(shù)列到與其相似的一類事物（等比數(shù)列）間的類比。在等差數(shù)列a｝19項中，中間一項a=0，則a＋=＋a=??=a＋=a＋=2a=0，所以a＋a＋??a??a=0，即a??＋=－－－?a，又∵=－a，aa，?a，∴a＋＋??a－－－?=a＋＋?。似地，在等數(shù)列b的前17項，為中間項，則可得bb?bbb?（＜，∈例年國高考新課程卷文科第題在面幾何里有股定理eq\o\ac(△,設(shè))的兩邊AB、AC互垂直，則＋AC=BC展空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系以到的正確結(jié)論是棱錐—BCD的個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互垂直，則________________

分：這是由低維（平面）到高維空間）之間的類比。三角形中的許多結(jié)論都可以類比到三棱錐中（當然必須經(jīng)過論證其正確性角三角形中的勾股定理類比到三側(cè)面兩兩垂直的三棱錐中，則有＋＋。需要指出的是，勾股定理的證明也eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)可進行類比。如在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，作⊥BC于，則由AB=BH·BC，·BC相加得＋AC=BC；在三側(cè)面兩兩直的三中過A作AH⊥面BCD于H，類似地由S

=S·，·，·相即得＋＋=S。eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)例上函數(shù)

yx

ax

有如下性質(zhì)常a>o該數(shù)在

]上是減函數(shù)，在

[a

上是增函數(shù)。（）如果函數(shù)

y

bx

(

的值域為

[

，求b的；（）研究函數(shù)

yx

cx

（常數(shù)

c0)

在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；（）對函數(shù)

yx

a和yx（數(shù)cxx

作出推廣使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例，研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結(jié)論，不必證明解）函數(shù)

y

bx

(

在(0,2

]

上是減函數(shù)，在[2

,

上是增函數(shù)，所以該函數(shù)在

x

b

處取得最小值

b

.

令

2

b

，得

b9.（）

tx20

，顯然函數(shù)

y

ct

在

]

上是減函數(shù)，在

[

上是增函數(shù)，令

x

2

c得

cx

c，x

2

c得x

cxc又因為t2在

(

上是減函數(shù)

[0,

上是增函數(shù)是用復合函數(shù)單調(diào)性知，函數(shù)

yx

cx

在

]

上是減函數(shù)，在

[,0)

上是增函數(shù)，在

c]

上是減函數(shù)，

[4c

上是增函數(shù)。（）廣結(jié)論：當n是正數(shù)，函數(shù)

yx

ax

（常數(shù)

是奇函數(shù)，故在(

a]

上是增函數(shù)，在

[

a,0)

是減函數(shù)，在

2n

a]

上是減函數(shù)，在

[

2

a,

上是增函數(shù)。

而當n為偶數(shù)時，函數(shù)

yx

ax

（常數(shù)

是偶函數(shù)，在

]

上是減函數(shù)，