第六章二次型與對稱矩陣第一講課件

(1)的左邊是一個二次齊次多項式,從代數(shù)學(xué)的觀點看，化標(biāo)準(zhǔn)型的過程就是通過變量的線性變換化簡一個二次齊次多項式，使它只有平方項。這樣的問題，在許多理論問題或是實際問題中常會遇到?，F(xiàn)在我們把這類問題一般化，討論n個變量的二次齊次多項式的化簡問題。

4.1二次型概念定義1.1

含有n個變量x1,x2,…xn的二次齊次函數(shù)其中（1）(1)的左邊是一個二次齊次多項式,從代數(shù)學(xué)的觀1

1、二次型的矩陣形式1、二次型的矩陣形式2其中

1）稱A為二次型f的矩陣，顯然

A=AT;2）A=(aij),若aij

為復(fù)數(shù)，稱

f為復(fù)二次型；

3）A=(aij),若aij

為實數(shù)，稱

f為實二次型；

4）稱為R(A)為二次型f

的秩。（2）其中1）稱A為二次型f的矩陣，顯然3例1.把下面的二次型寫成矩陣形式：例1.把下面的二次型寫成矩陣形式：4

2、線性變換定義1.2

把變量x1,x2,…,xn化為變量y1,y2,…,yn的一組線性關(guān)系式叫做由變量x1,x2,…,xn化為變量y1,y2,…,yn的一個線性變換。若記則線性變換可表示為x=Py。（3）2、線性變換定義1.25上式中的矩陣P稱為該變換的系數(shù)矩陣。當(dāng)P可逆時，（3）稱為可逆的線性變換；當(dāng)P不可逆時，（3）稱為不可逆的線性變換。當(dāng)線性變換（3）可逆時，線性變換y=P-1x(4)

稱為（3）式的逆變換。設(shè)x=Py是可逆的線性變換將二次型化為f=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y。令B=PTAP，則B是對稱矩陣，yTBy是新變量y1,y2,…,yn的一個二次型。變換前后兩個二次型矩陣A、B間的這種關(guān)系稱為合同關(guān)系。定義1.3

對于n階矩陣A、B,如果有n階可逆矩陣P使得PTAP=B則稱矩陣A、B是合同（或相合），記為A

B。對方陣A進(jìn)行的運算PTAP稱為對A的合同變換，P稱為合同因子。上式中的矩陣P稱為該變換的系數(shù)矩陣。當(dāng)P可逆時，（3）y=P6顯然，合同矩陣具有如下性質(zhì)：

2）對稱性：若A

B，則B

A；

1）反身性：若A

A

；

3）傳遞性：若A

B，B

C,則A

C;

4）若A

B，則R(A)=R(B);

5）若A

B，且A為對稱矩陣，則B亦為對稱矩陣。

※合同與相似是兩個互相獨立的概念。合同的矩陣未必相似，相似的矩陣也未必合同。但是，對于實對稱矩陣A，當(dāng)合同因子P是正交矩陣時，由于P-1=PT，所以對A的合同變換與相似變換是一致的。顯然，如果二次型xTAx經(jīng)可逆的線性變換

x=Py化為二次型

yTBy，則必有A

B，即f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)=yTPTAPy=yTBy。綜上所述，二次型f(x)=xTAx能用可逆的線性變換x=Py化為yTBy的充分必要條件是有可逆矩陣P，使PTAP=B。顯然，合同矩陣具有如下性質(zhì)：2）7

§2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形定義2.1

稱只含有平方項的二次型為二次型的標(biāo)準(zhǔn)型（或法式）。顯然，一個二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的充分必要條件是它的矩陣為對角矩陣。（5）§2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形定義2.18所謂一般二次型的化簡問題，就是尋找一個可逆的線性變換：定理2.1設(shè)A為n階對稱矩陣，二次型f(x)=xTAx能用可逆線性變換x=Py化為標(biāo)準(zhǔn)形（5）的充分必要條件是存在

n階可逆矩陣P使PTAP=B=ding(λ1,λ2,…，λn).定理2.1告訴我們，二次型經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形的問題與對稱矩陣化為對角矩陣的問題實質(zhì)上是同一問題。所謂一般二次型的化簡問題，就是尋找一個可逆的線9顯然，經(jīng)可逆變換x=Cy

把f化成yTC

TACy，C

TAC

仍為對稱矩陣，且二次型的秩不變。

2.1用正交變換化實二次型為標(biāo)準(zhǔn)形定理2.2

對于任意的n元二次型f(x)=xTAx，必有正交變換x=Py，使f化為標(biāo)準(zhǔn)形其中λ1,λ2,…，λn恰是A的全部特征值。證明由于A為n階對稱矩陣。由第五章定理5.3知有n階正交矩陣P，使得PTAP=P-1AP=ding(λ1,λ2,…，λn)，其中λ1,λ2,…，λn恰是A的全部特征值。由定理2.1便知定理成立。應(yīng)用定理2.2求實二次型f(x)=xTAx標(biāo)準(zhǔn)型問題，其實質(zhì)上就是用正交變換化實對稱矩陣A為對角矩陣的問題。顯然，經(jīng)可逆變換x=Cy把f化成10

經(jīng)過上面的討論，總結(jié)用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的一般步驟：

1、將二次型寫成矩陣形式；2、由|A-λE|=0，求出A的全部特征值；

4．把求出的n個兩兩正交的單位向量，拼成正交矩陣P,作正交變換x=Py;經(jīng)過上面的討論，總結(jié)用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)11

5、用x=Py，把f化成標(biāo)準(zhǔn)型解

1）二次型的矩陣為例2.求一個正交變換x=Py，把二次型5、用x=Py，把f化成標(biāo)準(zhǔn)型12第六章二次型與對稱矩陣第一講課件13得A的特征值為λ1=-3，λ2=λ3=λ4=1，由(A-λE)x=0,求A的全部特征向量，當(dāng)λ1=-3時，解方程(A-3E)x=0.得A的特征值為λ1=-3，λ2=λ3=λ4=1，14得基礎(chǔ)解系單位化，得得基礎(chǔ)解系單位化，得15k2,k3,k4不同時為零.k2,k3,k4不同時為零.16取單位化，得取單位化，得17（4）令P=(p1,p2,p3,p4),于是得正交變換x=Py,即5）用正交變換x=Py將f化成標(biāo)準(zhǔn)形（4）令P=(p1,p2,p3,p4),于是得正交變換x=P18

2.2用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

解由于

f中含有的平方項，故把含有x1

的項歸為一類，配方得：2.2用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形19所用的線性變換為則該變換把f化成標(biāo)準(zhǔn)形為例2

用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)型，并求出所用的可逆的線性變換.解在f中不含有平方項，由于含有x1,x2的乘積項，故令所用的線性變換為則該變換把f化成標(biāo)準(zhǔn)形為20代入可得代入可得21所用的線性變換為則該變換把f化成標(biāo)準(zhǔn)形所用的線性變換為則該變換把f化成標(biāo)準(zhǔn)形22第六章二次型與對稱矩陣第一講課件23

(1)的左邊是一個二次齊次多項式,從代數(shù)學(xué)的觀點看，化標(biāo)準(zhǔn)型的過程就是通過變量的線性變換化簡一個二次齊次多項式，使它只有平方項。這樣的問題，在許多理論問題或是實際問題中常會遇到?，F(xiàn)在我們把這類問題一般化，討論n個變量的二次齊次多項式的化簡問題。

4.1二次型概念定義1.1

含有n個變量x1,x2,…xn的二次齊次函數(shù)其中（1）(1)的左邊是一個二次齊次多項式,從代數(shù)學(xué)的觀24

1、二次型的矩陣形式1、二次型的矩陣形式25其中

1）稱A為二次型f的矩陣，顯然

A=AT;2）A=(aij),若aij

為復(fù)數(shù)，稱

f為復(fù)二次型；

3）A=(aij),若aij

為實數(shù)，稱

f為實二次型；

4）稱為R(A)為二次型f

的秩。（2）其中1）稱A為二次型f的矩陣，顯然26例1.把下面的二次型寫成矩陣形式：例1.把下面的二次型寫成矩陣形式：27

2、線性變換定義1.2

把變量x1,x2,…,xn化為變量y1,y2,…,yn的一組線性關(guān)系式叫做由變量x1,x2,…,xn化為變量y1,y2,…,yn的一個線性變換。若記則線性變換可表示為x=Py。（3）2、線性變換定義1.228上式中的矩陣P稱為該變換的系數(shù)矩陣。當(dāng)P可逆時，（3）稱為可逆的線性變換；當(dāng)P不可逆時，（3）稱為不可逆的線性變換。當(dāng)線性變換（3）可逆時，線性變換y=P-1x(4)

稱為（3）式的逆變換。設(shè)x=Py是可逆的線性變換將二次型化為f=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y。令B=PTAP，則B是對稱矩陣，yTBy是新變量y1,y2,…,yn的一個二次型。變換前后兩個二次型矩陣A、B間的這種關(guān)系稱為合同關(guān)系。定義1.3

對于n階矩陣A、B,如果有n階可逆矩陣P使得PTAP=B則稱矩陣A、B是合同（或相合），記為A

B。對方陣A進(jìn)行的運算PTAP稱為對A的合同變換，P稱為合同因子。上式中的矩陣P稱為該變換的系數(shù)矩陣。當(dāng)P可逆時，（3）y=P29顯然，合同矩陣具有如下性質(zhì)：

2）對稱性：若A

B，則B

A；

1）反身性：若A

A

；

3）傳遞性：若A

B，B

C,則A

C;

4）若A

B，則R(A)=R(B);

5）若A

B，且A為對稱矩陣，則B亦為對稱矩陣。

※合同與相似是兩個互相獨立的概念。合同的矩陣未必相似，相似的矩陣也未必合同。但是，對于實對稱矩陣A，當(dāng)合同因子P是正交矩陣時，由于P-1=PT，所以對A的合同變換與相似變換是一致的。顯然，如果二次型xTAx經(jīng)可逆的線性變換

x=Py化為二次型

yTBy，則必有A

B，即f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)=yTPTAPy=yTBy。綜上所述，二次型f(x)=xTAx能用可逆的線性變換x=Py化為yTBy的充分必要條件是有可逆矩陣P，使PTAP=B。顯然，合同矩陣具有如下性質(zhì)：2）30

§2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形定義2.1

稱只含有平方項的二次型為二次型的標(biāo)準(zhǔn)型（或法式）。顯然，一個二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的充分必要條件是它的矩陣為對角矩陣。（5）§2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形定義2.131所謂一般二次型的化簡問題，就是尋找一個可逆的線性變換：定理2.1設(shè)A為n階對稱矩陣，二次型f(x)=xTAx能用可逆線性變換x=Py化為標(biāo)準(zhǔn)形（5）的充分必要條件是存在

n階可逆矩陣P使PTAP=B=ding(λ1,λ2,…，λn).定理2.1告訴我們，二次型經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形的問題與對稱矩陣化為對角矩陣的問題實質(zhì)上是同一問題。所謂一般二次型的化簡問題，就是尋找一個可逆的線32顯然，經(jīng)可逆變換x=Cy

把f化成yTC

TACy，C

TAC

仍為對稱矩陣，且二次型的秩不變。

2.1用正交變換化實二次型為標(biāo)準(zhǔn)形定理2.2

對于任意的n元二次型f(x)=xTAx，必有正交變換x=Py，使f化為標(biāo)準(zhǔn)形其中λ1,λ2,…，λn恰是A的全部特征值。證明由于A為n階對稱矩陣。由第五章定理5.3知有n階正交矩陣P，使得PTAP=P-1AP=ding(λ1,λ2,…，λn)，其中λ1,λ2,…，λn恰是A的全部特征值。由定理2.1便知定理成立。應(yīng)用定理2.2求實二次型f(x)=xTAx標(biāo)準(zhǔn)型問題，其實質(zhì)上就是用正交變換化實對稱矩陣A為對角矩陣的問題。顯然，經(jīng)可逆變換x=Cy把f化成33

經(jīng)過上面的討論，總結(jié)用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的一般步驟：

1、將二次型寫成矩陣形式；2、由|A-λE|=0，求出A的全部特征值；

4．把求出的n個兩兩正交的單位向量，拼成正交矩陣P,作正交變換x=Py;經(jīng)過上面的討論，總結(jié)用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)34

5、用x=Py，把f化成標(biāo)準(zhǔn)型解

1）二次型的矩陣為