連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析

第三章傅立葉變換|］五時(shí)域分析：f(t)yf(t)二h(t)*f(t)個(gè)時(shí)域分析：f(t)基本信號(hào)8(t)一LTI一h(t)頻域分析：f(t)yewt=h(t)*H(E)FewtJ分解個(gè)基本信號(hào)sin①tI-LTI—H(j①)ejetej?tH(je)：系統(tǒng)的頻域響應(yīng)函數(shù)，是信號(hào)角頻率①的函數(shù)，與t無(wú)關(guān).主要內(nèi)容：一、信號(hào)的分解為正交函數(shù)。二、周期信號(hào)的頻域分析一付里葉級(jí)數(shù)(求和)，頻譜的特點(diǎn)。信號(hào)三、非周期信號(hào)的頻域分析一付里葉變換(積分)，性質(zhì)。f分析四、LTI系統(tǒng)的頻域分析：頻域響應(yīng)H(je)；y(je)=H(je)?F(je).(系統(tǒng)分析)五、抽樣定理：連續(xù)信號(hào)T離散信號(hào).§3.1信號(hào)分解為正交函數(shù)一、正交：兩個(gè)函數(shù)滿足攔；R(t)甲2(t)dt=0,稱％(t),g(t)在區(qū)間(t1,t2)正交。二、正交函數(shù)集：幾個(gè)函數(shù)J；；%(t)R(t)dt=]0當(dāng)i/j；'Ki當(dāng)i=j.三、完備正交函數(shù)集：在｛叩")..*<)｝之外，不存在w(t)滿足J；；v(t)%(t)dt=0(i=1,2,..n).例、三角函數(shù)集：｛1,cosQt,cos2Qt,..,cosmQt,..,sinQt,sin2Qt,..sin(nQt),...｝區(qū)間:(t0,t0+T),t=2n/Q為周期.TOC\o"1-5"\h\z滿足：『ecosmQtcosnQtdt=|0m/nT/2m=n/0Tm=n=0pto+Tsin(mQt)sin(nQt)dt=0m/n」to.T/2m=n/0「槌+tsin(mQt)cos(nQt)dt=0.所有的m和n.」to結(jié)論:三角函數(shù)集是完備正交集。推導(dǎo)：「+++cosmQtcosnQtdt」to=(1/2)+t+++[cos(m+n)Qt+cos(m-n)Qt]dt二(1/2)sin(m+n)Qtt口+t+(1/2)sin(m-n)Qt槌+tto10=(1/2)[sin(m+n)Q(t0+T)-sin(m+n)Qt0]+(1/2)[sin(m-n)Q(t0+T)-sin(m-n)Qt0]=0當(dāng)m/n時(shí).m=n#0,原式=(1/2)「to+t[cos(m+n)Qt+1]dt=(1/2)t槌=T/2」tom=n=0,原式=(1/2)ttt+t[1+1]dt=T.」to4、復(fù)函數(shù)的正交函數(shù)集：幾個(gè)復(fù)函數(shù)集{叩|(t)},叩](t)中「(t)dt={0i/jki=ji例：復(fù)函數(shù)集{ejnQt}(n=0,±1,±2...)區(qū)間("+T),T=2n/Q為周期。丫滿足Ttt+tejmQt(ejnQt)*dt=rtT+Tej(m-n)QtdtJtoJto{=[1/(j(m-n)Q)]ej(m-n)QtdtTt=0m/n=Ttt+t1dt=Tm=n.」to結(jié)論：{ejnQt}是完備正交集。(n=0,±1,±2...)二、信號(hào)分解為正交函數(shù)集。1、分解：二維A=cv+cy｛v，v｝二維正交矢量集1x2yxy三維A=cv+cv+cv｛v，v，v｝三維正交矢量集1x2y3zxyzn維：｛叩](t)...叩n(t)｝在(匕，t「構(gòu)成正交函數(shù)集。f(t)^cm(t)+cm(t)+...cm(t)+(t)=TTcm(t)"12■2nnj=lJj任意一個(gè)函數(shù)可以用這幾個(gè)正交函數(shù)的線性組合來(lái)近似。2、系數(shù)cj的選擇。方均誤差定義：京=[1/(t2-t1)]fTT】f(t)-1tcjmj(t)]2dt使食最小，對(duì)第i個(gè)系數(shù)ci來(lái)說，應(yīng)使'技Aci=0./.cj=[』tTf(t)mj(t)dt]/(ptt晚代)"七)二(1/K「』；：f(t)g(t)dt最佳近似條件下的方均誤差：芝c；Kj).—=[1/(t2-ti)](J'*；[f(t)]2dt-..?技N0,n個(gè)，食；;.?.nT8,京t0.貝ij|t:仃代江dt=|ic；芝c；Kj).f(t)=另CjWj(t).即函數(shù)f(t)在區(qū)間(氣，t「可分解為無(wú)窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和?！?.2付里葉級(jí)數(shù)一、付里葉級(jí)數(shù)：(三角形式)f(t)=(a0/2)?1+aiCosQt+a2cos2Qt+...+b]SinQt+b2sin2Qt+...=氣/2+齋acos(nQt)+bsin(nQt).積分區(qū)間：t0gt0+T,0eT,-T/2eT/2K=『d+t(cos(nQt))2dt=T/2.a=(2/T)f(t)cos(nQt)dtb=(2/T)』￥：f(t)sin(nQt)dt形制：a=a是偶函數(shù)bn=-bn時(shí)奇函數(shù)(其中n=0,1,2...).2、三角形式二：同頻率項(xiàng)合并。f(t)=a0/2+A1cos(Qt+%)+A2cos(2Qt+叩2)+...=a0/2+++Acos(nQt+中).A0=a0a=4舊)+店b=-arctg(b/a).由性質(zhì)可知：a0=A0a=Ancos叩b=bsin叩3、物理意義;同周期信號(hào)可分解為各次諧波之和。f(t)=a/2+Acos(Qt+叩)+Acos(2Qt+叩)+...+Acos(Qt+叩)+..01122例3.2-1f(t)為方波，分解為付里葉級(jí)數(shù)。周期：T頻率：1/T角頻率：Q=2兀/T.區(qū)間：(-T/2,T/2)f(t)=a/2+蓋acos(nQt)+齋bsin(nQt)a=(2/T)』耽f(t)cos(nQt)dt=0b=(2/T)f(t)sin(nQt)dt=.0n=2,4,6...n{.4/(n兀)n=1,3,5....??f(t)=(4/兀)[sinQt+(1/3)sin(3Qt)+...+(1/n)sin(nQt)+...]結(jié)論：方波只含有1,3,5等奇次諧波分量，無(wú)直流分量。方均誤差(有限項(xiàng)逼近)京二[[/(匕-氣)]]；；f2(t)dt-*c2jKj]二(1/T)[1dt-(T/2)會(huì)(b.)2】=1—(1/2)芝(b.)2只取基波：技=1-(1/2)(4/兀)2=0.189.取基三次諧波：京=1-(1/2)[(4/兀)2+(4/3兀)2=0.0994.基“+”3,”+”5次:技=1-(1/2)[(4/兀)2+(4/3兀)2+(4/5兀)2]=0.0669方波分解的特點(diǎn)1、它包含的基波分量越多，越接近方波，其均方誤差越小。2、當(dāng)合成波所含基波次數(shù)n^8，在間斷點(diǎn)仍有約9%偏差，在間斷點(diǎn)出尖峰下的面積非常小以致趨近于零。二、奇偶函數(shù)的付里葉系數(shù)的特點(diǎn)：1、為偶函數(shù)：f(-t)=f(t),關(guān)于縱坐標(biāo)對(duì)稱。aj(2/T)』-%"(t)cos(nQt)dt二(2/T)』-%f(t)cos(nQt)dt+(2/T)J："f(t)cos(nQt)dta=(4/T)f(t)cos(nQt)dtb=(2/T)仰f(t)sin(nQt)dt+(2/T)Wf(t)sin(nQt)dtnb=0.當(dāng)f(t)為偶函數(shù)時(shí)b/a=0arctgb/an角度為0,兀b/a=0arctgb/an角度為0,兀b=02、f(t)為奇函數(shù)。F(-t)=-f(t),波形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時(shí):An=bAn=bn^=(2m+1)兀/2.b=(4/T)』嚴(yán)f(t)sin(nQt)dt?.?奇函數(shù)只有正弦項(xiàng)?！锶我夂瘮?shù)f(t)=fod(t)+fev(t)T.fod(t)=(f(t)-f(-t))/2.f(-t)=f(-t)+f(-t)=-f(t)+f(tj1f(t)=(f(t)+f(-t))/2.odevodevev3、f(t)為奇諧函數(shù)。(半波對(duì)稱函數(shù))ff(t-T/2)f(t)=-f(t±T/2),移動(dòng)T/2后，關(guān)于橫軸對(duì)稱。ff(t-T/2)付里葉級(jí)數(shù)只含奇次諧波，不含偶次諧波。a0=a2=a4=a6=_b「b2=b4=...=0例3.2-2把鋸齒波信號(hào)展為付里葉級(jí)數(shù)。解：解：方法1：f(t)=t/T既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)，直接在［0,T］區(qū)間上求an，bn方法二：把分為奇偶兩部分。fev(t)=(1/2)[f(t)-f(-t)]=(1/2)[t/T+(-t+T)/T]=1/2.fd(t)=(1/2)[f(t)+f(-t)]=(1/2)[t/T-(-t+T)/T]=t/T-1/2=(t-T/2)/T.奇函數(shù)部分分解為：anb=(4/T)J嚴(yán)[t/TT/2]sin(nQt)dt二(4/T2)[sin(nQt)-nQcos(nQt)]/(nQ)2|(/+(2/T)[cos(nQt)]/(nQ)]l："=T/n兀.n=1,2,3…f(t)=f(t)+fd(t)=1/2+齋bsin(nQt)二1/2-(1//)[sinQt+(1/2)sin(2Qt)+(1/3)sin(3Qt)+…].鋸齒波含直流分量和各次諧波分量。三、周期信號(hào)分解為指數(shù)形付里葉級(jí)數(shù)。1、定義式：(由三角形式推導(dǎo))f(t)=A0/2+蓋Acos(nQt+^)―A/2+(A/2)[ej(nQt+wn)+e-j(nQt+@n)]of(t)=蓋FnejnQt2、確定付里葉系數(shù)FnFn=(1/2)Ae抑n+(1/2)[Acos^)+jAsin^]=(1/2)(a-jb)

nnnnnnn二(1/2)(2/T)即：f(t)cos(nQt)dt-j(1/2)(2/T)f(t)sin(nQt)dt二(1/T)f(t)[cos(nQt)-jsin(nQt)]dt?.?Fn=(1/T)R々f(t)e-jnQtdt.n=0,±1,±2...3、物理意義：周期信號(hào)可分解為許多不同頻率(質(zhì))的虛指數(shù)信號(hào)(wqt)之和。每個(gè)分量的大小用Fn來(lái)表示，分為幅度和相位?！锔魅呛瘮?shù)型和指數(shù)型付里葉級(jí)數(shù)及其系數(shù)，以及各系數(shù)間的關(guān)系見表4-1。§3.3周期信號(hào)的頻譜一、頻譜的概念：頻譜分為砂幅度頻譜：以頻率3(或角頻率0)為橫坐標(biāo)，An/IFnI為縱坐標(biāo)。砂相位頻譜：以頻率3(或角頻率0)為橫坐標(biāo)，R為縱坐標(biāo)。f(t)=A0/2+蓋Acos(nQt+甲)A0為直流分量幅度；An為n次諧波的振幅；r為n次諧波的初相角。周期信號(hào)的頻譜是離散的。結(jié)論：正如波形是信號(hào)在時(shí)域的表示一樣，頻譜則是信號(hào)在頻域的表示。描述了一個(gè)信號(hào)的頻譜就等于描述了這個(gè)信號(hào)。信號(hào)分解：從已知信號(hào)繪制其頻譜圖。合成：根據(jù)其頻譜圖反過來(lái)和成原有的信號(hào)。波形f(t)淄學(xué)頻譜合成Fn與An比較：An：每條譜線代表一個(gè)完整的諧波分量的幅度，物理意義明確。Fn：從數(shù)學(xué)上將cosnQt分成e/1和e-/1,有負(fù)頻率，沒有物理意義。變化趨勢(shì)一致都可進(jìn)行信號(hào)的頻譜分析。|Fn|二(1/2)An.3、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)：離散性；諧波性(是基波頻率的整數(shù)倍)。二、周期矩形脈沖的頻譜。f(t)幅度為1，脈沖寬度為匚；周期為T.1、求頻譜:f(t)=若8京nemtFn=(1/T)f(t)e-jnQtdt=(1/T)【簽e-jnQtdt=G/T)[sin(nQT)/(nQ)]=(T/T)[sin(nQT/2)/(nQT/2)]=(T/T)Sa(nQT/2)或Q=2兀/T.*n=(T/T)[sin(n2兀T/2T)/(n2兀t/2T)]二(T/T)Sa(nm/2).N=0,±1,±2...(1)

f（t）二著=（T/T）Sa（nm/2）e」g是指數(shù)形式的付里葉級(jí)數(shù)展開式。由（1）式畫出矩形脈沖信號(hào)頻譜圖。設(shè)T=4tFn=（i/4T）Sa（n兀T/4i）=（1/4）［sin（n兀i/4）/（n兀/4）］=sin（n兀）/（n兀）n=0,±1,±2...n=0F0=1/4=0.25[VSa（x）=1,當(dāng)xT0時(shí)]..?-//TSaif）r\血sn.rT-i--泌1.Oilan3514^'Fnn=1Fjsin（兀/4）/兀=0.225.Fnn=2F2=sin（兀/2）/2兀=0.16n=3F=3sin（3兀/4）/3兀=0.075.n=4F4=sin（兀）/4兀=0.n=5F=5sin（5兀/4）/5兀=-0.045.n=6F6=sin（3兀/2）/6兀=-0.053.n=7F=7sin（7兀/4）/7兀=-0.032.n=8F8=sin（2兀）/8兀=0.特點(diǎn):：1、是離散的，僅含有①=nQ的各分量。（n取整數(shù)）。2、譜線間隔為Q（Q=2兀/T）T個(gè)間隔小，密\間隔大，疏3、第一零點(diǎn)在2兀/t處，與t有關(guān)T個(gè)主瓣寬T$主瓣窄。*1V12、脈沖寬度與頻譜的關(guān)系：t$f直流分量F=t/T$（頻帶寬度aF=1/tT?.?保持第一零點(diǎn)內(nèi)能量不變。

脈沖寬度(t)頻譜幅度(F=t/T)0第一零點(diǎn)△F=1/tt=T/4F=1/402兀/t=8兀/T4/Tt=T/8F=1/802兀/t=16兀/T8/Tt=T/16F=1/162兀/t=32兀/T16/T03、周期與頻譜的關(guān)系。譜線間隔保持第一零點(diǎn)內(nèi)能量不變F=t/4Q=2兀/T0T=4tF=1/4Q=2兀/4t0T=8tF=1/8Q=2兀/8t0T=16tF=1/16Q=2兀/16t0TT8，頻譜趨于一個(gè)脈沖。三、周期信號(hào)的功率p=(1/T)噤f2(t)dt=(1/T)』￥打A0/2+焉A^cos(nQt+0)】2dt=(A0/2)2+j^|(A)2/2.P=(1/T)饋f2(t)dt二IF0I2+2齋IFnI2二君IFI2+IFI2+齋IFI2=IFI2-n0nn例3.3-1T=1,t=0.2解：p=(1/T)既f(wàn)2(t)dt=--*.；(1)2dt=0.2Fn=(T/T)Sa(nm/T)=0.2-Sa(0.2兀t)n=0,1,2,3,4,5.確定第一個(gè)零點(diǎn)：2兀/t=2兀/0.2=10兀，Q=2兀/T=2兀，n=10兀/2兀=5.P]。兀二(0.2)2+2(0.2)2[Sa2(0.2兀)+Sa2(0.4兀)+Sa2(0.6兀)+Sa2(0.8k)+Sa2(兀)]=0.1806。P/p=0.1806/0.2=90.3%.10丸4、賃二H(jnQ)*n=(1/血+(口片)-)Sa(0.2nK)e-jarctgo.5ny(t)二若8賃ejnd二若仁[Sa(0.2nK)/ji+(口.5)■]e-jarctg0.5n.輸出波形與時(shí)域分析相同?！?.4非周期信號(hào)的頻譜—付里葉變換信號(hào)分析；砂周期信號(hào)：可展開為付里葉級(jí)數(shù)，頻譜#n是離散的，求和形式，滿足狄里赫利條件。砂非周期信號(hào)：存在付里葉變換，頻譜密度F(j①)是連續(xù)的，積分形式，If(t)Idt<8一、付里葉變換。由周期信號(hào)蘭W非周期信號(hào)，推導(dǎo)出付里葉變換的定義。1、頻譜密度函數(shù)定義：F(j①)二技技n/(1/T)二技技n?T稱為頻譜密度函數(shù)。端/f表示單位頻率的頻譜，類似于單位體積的質(zhì)量，定義為物體的密度。即為非周期。即為非周期。2、付里葉變換的定義:周期信號(hào)*n周期信號(hào)*n?T二f(t)e-jnQtdtf(t)二聲8*n?T?ejnQt?(1/T)二聲e]』-%：f(t)e-jnQtdt]?ejnQt?Q/2兀.(2)非周期信號(hào):F(j①)=T±*n?TdefJ_Zf(t)e-j?tdtf(t)=￡[[二f(t)e-jstdt]egtd①/2兀def=(1/2兀)』一二f(j①)egtd①F(j①)二伊[f(t)]f(t)二伊[F(j①)]f(t)?F(j①)F(j①)與*n一樣，也是一復(fù)函數(shù)，討論時(shí)可分開寫為：F(j①)=IF(j①)Iejp(?)=R(①)+jX(①)=IF(j①)Icos[血①)]+jIF(j①)Isin[q(①)].3、復(fù)里葉變換的物理意義三角形式:f(t)=(1/2兀)』罵F(j①)ej&①=(1/2兀)[二IF(j①)Iej[?t+P(?)idw二(1/2兀)gIF(j①)Icos[①t+血①t)]d①+j(1/2兀)gIF(j①)Isin[①t+q(①t)]d①二(1/兀)峭IF(j①)Icos[①t+血①t)]d①定義:非周期信號(hào)可看作是由不同頻率的各余弦“分量”組成，它包含了頻率從零到無(wú)限大的一切頻率“分量”。三要素：1、它包含了頻率從零到無(wú)限大的一切頻率“分量”，且是連續(xù)的。2、各分量的振幅為：(1/兀)IF(jo)Id①它是無(wú)窮小量。3、相位為？(①)。4、付里葉變換的條件：充分條件：f(t)在無(wú)限區(qū)間內(nèi)絕對(duì)可積，即喘f(t)e-熱dt<8，但這并非必要條件。在引入S(t)函數(shù)后，可將條件放寬，使許多不滿足絕對(duì)可積條件的函數(shù)也能進(jìn)行付里葉變換。例3.4-3：雙邊指數(shù)函數(shù)(a>0，衰減)e-a111?(2a)/(a2+?)實(shí)函數(shù)。例3.4-4：f2(t)={-e-att<0e-att>0(a>0)滿足絕對(duì)可積條件。F2(j①)=-』_%eat?e-j?tdt^Te-at?e-wtdt=-1/(a-j①)+1/(a+j①)=-j2①/(。2+①2)。F2(j①)二叩①)+jX2(①)5、典型常用信號(hào)的付里葉變換。①門函數(shù)gT(t)，幅度為1,寬度為T.F(jra)F(j①)二置f(t)e-j，tdt二』%1egdt=(e-js/-e-j④拔)/(-j①F(jra)F(j①)二置f(t)e-j，tdt二』%1egdt=(e-js/-e-j④拔)/(-j①)=2[sin(①t/2)]/①=t.Sa(①t)/2零點(diǎn)幅值：F(0)=t第一零點(diǎn)位置在①t/2=兀，o=2k/t處。信號(hào)的寬度△F=1/t,NAFT②單邊指數(shù)函數(shù)f(t)=e-at?s(t),(a>0),滿足絕對(duì)可積條件。F(j①)=gf(t)e-j?tdt^Te-at?egdt=[-1/(a+j①)]?e-(a+j?)tIT=[0-1]/[-(a+j①)]=1/(a+j①).a>0.復(fù)函數(shù)'|F(j中)|=1/血碩偶函數(shù)q(①)=-arctg(①/a).奇函數(shù)F(j①)=￡f(t)e-j^tdt=I■二f(t)cos(①t)dt-j￡f(t)sin(①t)dt.特點(diǎn)：若f(t)是t的偶函數(shù)TF(j①)是的實(shí)函數(shù)若f(t)是t的奇函數(shù)-F(j①)是的虛函數(shù)。若f(t)非奇非偶-F(j①)為復(fù)函數(shù)，用幅度和相位才能表示。二、奇異函數(shù)的付里葉變換。1、S(t)的頻譜由定義伊［8(t)］二』二5(t)e-j?tdt=1其頻譜密度在-8〈①<8區(qū)間處處相等。由極限概念伊［(1/T)g^(t)］=(1/t)-T-Sa(oT/2)伊［8(t)］二盡Sa(①t/2)=1.2、單位直流信號(hào)的頻譜：f(t)=1,-8<t<8不滿足絕對(duì)可積條件，不能用定義。只有極限概念得到：引入8()函數(shù)后，條件放寬。雙邊指數(shù)：fQ)=e"la—0f］(t)=1.00F(j①)=2a/(a2+①2)a—0云32a/(a2+①2)二,0①壬01'2/ao=0是一個(gè)以①為位自變量的沖激函數(shù)，強(qiáng)度有沖激函數(shù)定義求出。強(qiáng)度：云S￡2a/(a2+①2)d①二哉L?2a/[1+(o/a)2]d(o/a)二云32arctg(①/a)|aa-03=2[arctg(8)-arctg(-8二云32arctg(①/a)|aa-03了[1]=2疝(①).

3、符號(hào)函數(shù)TOC\o"1-5"\h\zsgn(t)=-1t<00t=01t>0不滿足決度可積條件，不能用定義。用極限f2(t)=-e-att<0aT0f2(t)=-e-att<0aT0Sgn(t)=-1t<0eatt>01t>0F2(j①)=-2j①/(a2+①2)云3-2j①/(a2+①2)二-2j/①=2/j①①壬0F2(j①)是的奇函數(shù)，在0=0處時(shí)值為0.4、4、"t)的頻譜v(t)不滿足絕對(duì)可積條件，不能用定義求.v(t)=1/2+(1/2)Sgn(t).［I伊［8(t)］=(1/2)伊［1］+(1/2)切［Sgn(t)］=疝(①)+1/jo.5、S(t)的頻譜切［&(t)］二置&(t)egdt=j①.同理：伊[&n)(t)]=(j①)(n).§3.5付里葉變換的性質(zhì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)有兩種描述方法：^時(shí)域描述f(t)b頻域描述F(j①)一、線性af(t)+af(t)=aF(j①)+aF(j①)11221122利用該性質(zhì)，可將所求信號(hào)表示成已知頻譜信號(hào)的線性組合，用間接方式求出頻譜函數(shù)。二、奇偶性大前提，f(t)是實(shí)函數(shù)；f(t)與F(jo)奇偶虛實(shí)關(guān)系：推導(dǎo)：F(j①)=gf(t)e-jstdt二E,f(t)cos①tdt-jE,f(t)sin①tdtF(j①)=R(o)+jX(o)=|F(jo)|ejP(?)|F(j①)I二寸k?)+e),q(①)=arctg[X(①)]/[R(①)].1、實(shí)部是偶函數(shù)R(①)=R(-①)，虛部是奇函數(shù)X(①)=-X(-①).模是偶函數(shù)，|F(j①)|=|F(-j①)I,相角是奇函數(shù)q(①)=-?(-①)。2、若f(t)是偶函數(shù)f(t)=f(-t),則X(①)=0,F(j①)=R(①)是實(shí)函數(shù)，也是偶函數(shù)若f(t)是奇函數(shù)f(t)=-f(-t),則R(①)=0,F(j①)=jX(①)是虛函數(shù)，也是奇函數(shù)偶：?.?f(t)sin①t是的奇函數(shù)，虛部積分為0，...只有實(shí)部。奇：?.?f(t)cos①t是的奇函數(shù)，實(shí)部積分為0，...只有虛部。

3、f(-t).F(-jo)=F*(如)。推導(dǎo)：伊［f(-t)］=Ef(t)e-3tdtT=-tgf(T)ejgd(-T)=E,f(T)e-j(wd(砂二F(-加).F(-jo)=R(-o)+jX(-o)=R(o)-jX(o)=F*(jo).三、對(duì)稱性若f(t)—F(jo)則F(jt)“2兀f(-o)當(dāng)f(t)為偶函數(shù)時(shí)：f(t)—R(o),R(t)—2兀f(o).推出：F(jo)=gf(t)e-jotdtf(t)=(1/2兀)J_二F(jo)ej°tdo令t=-t,f(-t)=(1/2兀)［二F(jo)e-j°tdo令t=o/o=t,f(-o)=(1/2兀)gF(jt)e-j°tdt—(2兀)f(-o)=￡F(jt)e-j°tdt.定義：時(shí)間函數(shù)F(jt)［與F(jo)形式相同］的付里葉變換是(2兀)f(o).例：S(t)—11—(2k)5(o)利用對(duì)稱性，可以很方便地求出一些函數(shù)的付里葉變換。例：4.5TSa(t)=sint/t.門函數(shù)gT(t)—tSa(oT/2)令t/2=1.則t=2.?..(1/2)?g(t)—2-(1/2)?Sa(o)=Sa(o).由對(duì)稱性知：Sa(t)—2兀?(1/2)?g2(①)=兀g2(①)—03例：f(t)=t*.*&(t)Ij—03例：f(t)=t*.*&(t)Ij①.".2兀?&(-①)=-2兀?&(①)?.?ti+j2.?&(①).例：f(t)=1/t.已知：sgn(t)i2/j①則2/(jt)i2兀sgn(①).1/tij兀sgn(-o)=-jKSgn(o).四、尺度變換(時(shí)域展縮)若f(t)IF(j①)則f(at)I(1/Ia|)F(j①/a)已知f(t)=結(jié)論：信號(hào)的等效脈沖寬度與占有的等效寬度成反比。若言壓縮信號(hào)的持續(xù)時(shí)間，則不得不以占寬頻帶作代價(jià)。在通信中,「通信速度與占用頻帶寬度是一對(duì)矛盾。通信系統(tǒng)的設(shè)計(jì)便是尋找矛盾的合理解決方案。已知f(t)=五、時(shí)移特性若f(t)?F(j①)則f(t土t0)?e±jw)F(j①)=|F(j①)|ej[p(?)±j?t0]即時(shí)域中信號(hào)延時(shí)t0"頻域中所有頻率“分量”相應(yīng)落后一相位①t。，而幅度不變。既有時(shí)移又有尺度變換若f(t)?F(j①)則f(at+b)?(1/Ia|)e-j"④F(j①/a).b=0尺度變換a=1，時(shí)移。例3.5-3g(t),F(j①)="tSa(①t/2)=2Sa(①)=zsin①/①.解：(1)f2(t)=f1(t+1)+f1(t-1)F2(jo)=ej?F1(jo)-e-j?F1(jo)=(ej?-e-j?)2sin?/?=4j-sin2?/?.(2)f3(t)=f2(2t)F3(j?)=(1/2)F2(j?/2)=(1/2)4j-sin2(?/2)/(?/2)=j4-sin2(?/2)/?.例3.5-5已知f(t)?F(j?)求f(3-2t)?ej4t的付里葉變換。解：f(t)?F(j?)時(shí)移：f(t+3).ej3?F(j?)尺度變換a=-2,f(-2t+3).(1/1-2I)ej3?/(-2)F(j?/(-2))=(1/2)e-j(3/2)?F(-j?/2)頻移特性：ej4tf(3-2t).(1/2)e-j(3/2)(?-4)F(-j(?-4)/2).六、頻移特性(調(diào)制特性)若f(t)?F(j?)?0為常數(shù)f(t)e±j?0t?F[j(?干?0)].證：伊[f(t)ej?0t]=gf(t)ej?0t?e-j?tdt=gf(t)?e-j(?-?0)tdt=F[j(?-?0)].應(yīng)用：頻域搬移技術(shù)在通信系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用，諸調(diào)頻、同步解調(diào)、變頻等過程都是在頻譜搬移的基礎(chǔ)上完成的。頻譜搬移的實(shí)現(xiàn)原理是將信號(hào)乘以載頻信號(hào)cos?0t或sin?0t。應(yīng)用例子：y(t)=g^(t)cos?0ty(t)=(1/2)g^(t)-e-j?0t+(1/2)g^(t)-ej?0tY(j?)=(T/2)Sa[(?+?0)T/2)+(i/2)Sa[?-?°)t/2].

表示：已調(diào)信號(hào)的頻譜是將原頻譜一分為二，分別向左和向右搬移①,0在搬移中幅度譜的形狀并未改變。在搬移應(yīng)用：收音機(jī)，分成各個(gè)波段，將聲音調(diào)制在不同的頻段上。七、卷積定理1、時(shí)域卷積定理：fQ)*f2(t)^F1(j①)F2(j①)證：伊[fQ)*f2(t)]=￡[￡fi(T)f2(t-T)dT]-e-j?tdt二gfi(t)K,f2(t-t)?e-j—tdt]dT二亡，fi(t)-e-j?tF2(j①)dT=F2(j①)￡fi(i)-e-j?tdT=F2(j①)FQ①)2、頻域卷積定理:f](t)f2(t)“(1/2兀)FQ①)*F2(j①)二(1/2兀)￡Fi(j^)F2(jo-j^)d^.例：3.5-7r(t)=tv(t)的頻譜函數(shù)解：i、t的頻譜fj2兀?&(①)2、s(t)的頻譜s(t)。?兀?&(①)+i/(j①)3、由頻域卷積定理T[ts(t)]=(i/2兀)[j2兀8(^)]*[兀?&(①)+i/(j①)]=j兀?&(①)*8(①)+&(①)*(i/①)=j兀?&(①)+8(①)*(i/①)，=j兀?&(①)+j兀?&(①)T/①2ts(t)“j兀?8,(①)T/①2

可推出：It|.-2/?八、時(shí)域微積分1、微分：f(t)?F(j①)f'(t)cf'(t)cj①F(j①).f(n)(t)C(j①)nF(j①)證：f，(t)=f(t)*&(t)伊［f，(t)］二伊［f(t)］?伊［&(t)］=F(j①)j①.2、積分：f(-i)(t).兀F(0)?5(o)+(1/jo)F(j①)f(-i)(t)c(1/j①)F(jo)當(dāng)F(0)=［二f2(t)dt=0時(shí)證：f(-i)(t)=f(-i)(t)*S(t)=f(t)*S(-i)(t)=f(t)*s(t).伊［f(-i)(t)］二伊［f(t)］?切［s(t)］=兀F(0).8(①)+(i/jo)=兀F(jo).8(o)+(i/jo)F(jo)=兀F(0).8(o)+(i/jo)F(jo)如果F(0)=0即F(0)=嘻f2(t)dt=0則f(-i)(t)c(i/jo)F(jo)例：3.5-8仍求fA(t)的頻譜函數(shù)。解：fA(t)r『A(t)Tf〃A(t).沖激函數(shù)變換F(jo)fA(t)=f(-2)(t)為雙重積分。F頊)T_~2f(t)=(2/t)5(t+i/2)-(4/t)5(t)+(2/t)5(t-i/2)F(jo)=(2/i)ej°T/2-(4/t)+(2/t)e-j°T/2=(4/t)［cos(OT/2)-1］=-8sin2(ot/4)/t.要用積分公式限判斷F(0)二嘖fA(t)dt=0,因?yàn)殡p重積分，判斷F(0)二嘖fA(t)dt=0,F(0)二嘖f?(t)dt=0.FA(jo)=(1/j0)2F(jo)=8sin2(ot/4)/(ot)2=(2/i)Sa2(ot/4).九、頻域微積分1、微分：f(t)sF(jo)-jtf(t)SF'(jo).(-jt)nf(t)SF(n)(jo)2、積分：Kf(0)-5(t)-(1/jt)f(t)sF(-1)(jo)「.-(1/jt)f(t)sF(-1)(jo)當(dāng)f(0)=0時(shí).例：3.5-10.求恍(t)的付氏變換。解：s(t)s兀-5(o)+1/(jo)-jts(t)sd[兀-5(o)+1/(jo)]/do=兀-5，(o)T/(jo2).ts(t)sj兀-5'(o)+1/02例：3.5-11求Sa(t)=sint/t的付氏變換。f(t)=sint=(1/2j)(ejt-e-jt)s(1/2j)[2兀5(oT)-5(o+1)]=j^[5(o+1)-5(o-1)]=F(jo)Vf(0)=0sint/(-jt)sF(-1)(jo)=j兀仁[5(^+1)-5(^-1)]d^=j兀[s(o+1)-s(o-1)]sint/ts兀[s(o+1)-s(o-1)]=兀g2(o)。十、能量譜和功率譜：1、能量譜信號(hào)的能量：E二置f2(t)dt=J_二f(t)-[(1/2兀)置F(jo)-ej°tdo]dt二(1/2兀)gIF(jo)12do.能量譜：g(①)=|F(jo)12單位頻率的信號(hào)能量，能量密度函數(shù)。E=gf2(t)dt=(1/2兀)1一二g(①)do.2、功率譜信號(hào)的功率：P=(1/T)』-黑f2(t)dt二(1/2兀)置在我(|F(jo)|2)/T]do.功率譜：血o)=t嗓(|F(jo)L)/T單位頻率的信號(hào)能量，功率密度函數(shù)。P=(1/2兀)[二里(o)do.§3.6周期信號(hào)的付里葉變換信號(hào)分析；砂周期信號(hào)：可展開為付里葉級(jí)數(shù)(求和)，頻譜Fn是離散的，滿足狄里赫利條件。砂非周期信號(hào)：存在付里葉變換(積分)，頻譜密度F(jo)是連續(xù)的，￡If(t)Idt<8,可放寬。目的：統(tǒng)一分析方法。一、正余弦函數(shù)的付里葉變換(典型的周期信號(hào))1.2兀8(o)ejo0t.2兀8(o-o0)e-jo0t.2兀8(o+o)0cosoot=(1/2)(ejo0t+e-jo0t)o?兀[8(o—o「+8(o+o。)]sinoot=(1/2j)(ej°ot-e-j°0t).k[8(o+o0)—8(o—o']二、一般周期函數(shù)的付里葉變換：fT(t),周期為T.方1、先求Fn，再求F(jo)=伊[fT(t)]

ji=-8Fne川。tji=-8Fne川。tTTF(jco)="F[f(t)]=伊Tji=-mFnejnQt]-(2兀)mFnS(co-n￡"2)含義：有無(wú)窮多個(gè)沖擊函數(shù)組成，位置在nQ處，強(qiáng)度2iiFn.例3.6-1Pr(t)QszanailFn=(1/T)J-t/2f(t)ejnQtdt解：先求Fn=(t/T)F(jco)="F[f(t)]=伊Tji=-mFnejnQt]-(2兀)mFnS(co-n￡"2)含義：有無(wú)窮多個(gè)沖擊函數(shù)組成，位置在nQ處，強(qiáng)度2iiFn.例3.6-1Pr(t)QszanailFn是虛指數(shù)分量的幅度和相位；F(jco)是頻譜密度。例3.6-2寸■■-T°~—h―3求8(t)=^S(t-nT)的付里葉變換T解：先求Fn=(l/T)J-t/28(t)ejnQtdt二(1/T)5(t)e-jnQtdt=l/TT再求F(jco)二手[5(t)]=(2ti)^?Fn5(co-nQ)=(2ji/T)^^5(co-nQ)T=Q(co-nQ)=Q5(co)5(t)。Q5(co).TOC\o"1-5"\h\zTQ方2、先求第-周期函數(shù)f°(t)“F°(j"再求F(jco).先求第一周期函數(shù)f(t)oF(jco),00f(t)=f(t)*聲=8(t-nT)=f(t)*8(t)T00T再求F(jco)=T[f(t)]=伊[f(t)]T[8(t)]TOT=F(jcd)Q5(co)=QF(jco)5(co-nQ)oQo二Q若8F(jnQ)S(co-nQ)0例3.6-3P(t)=g(t)的付里葉變換.0T耳(t)解：先求T[P(t)]=TSa(coT/2)0再求："T[P(t)]=Q聲-cSa(nQc/2)5(co-nQ)T二(2兀)聲^(t/T)Sa(rQt/2)5(co~nQ)三、付里葉系數(shù)與付里葉變換比較伊[f(t)]=(2兀)聲"Fn5(co-nQ)(TI￥[f(t)]=(2ji/T)聲=F(jnQ)S(co-nQ).T0關(guān)系：Fn=(1/T)F°(jnQ)=(1/T)F°(j①)匡或表明：付里葉變換中的許多性質(zhì)，定理也可用于付里葉級(jí)數(shù)，并提供一種求Fn的方法。例3.6-4：將fT(t)展開成指數(shù)形式付里葉級(jí)數(shù)。解：?.?二代).F](j①)=(T/2)S2a(①T/4)fo(t)iF1(j①)e-j(T/g=(T/2)S2a(①T/4)e-j(T/2)④二F°(j①)

?.?Fn=(1/T)F°(j①)"或二(1/2)S2a(nQT/4)e-j(T/2)n。=(1/2)S2a(n兀/2)e-jn兀fT(t)二若(1/2)S2a(n兀/2)e-jn兀e-jnd§3.7LTI系統(tǒng)的頻域分析一、頻域響應(yīng)：f(t)rLTI系統(tǒng)—y(t)=yf(t)ej?ttLTI系統(tǒng)tH(j①)ej?tf(t)二(1/2兀)】-8F(jw)ej3td3TLTI系統(tǒng)Ty(t)=(1/2兀)】-8H(jw)F(jw)ej?tdw1、頻域響應(yīng)的定義;當(dāng)輸入為f(t)=ej?t時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)=h(t)*f(t)二h(t)*ej>t二Ig)ej?(t-T)dT=gh(T)e-j?TdTej?t=H(j&)ej?t定義：H(j①)=嘖h(T)e-3tdT為頻域響應(yīng)函數(shù)/系統(tǒng)函數(shù);關(guān)系:h(t)iH(j①)用來(lái)描述系統(tǒng)的特性；表示H(j①)=|H(j①)匕哽

h(t)描述時(shí)域特性；H(jco)描述頻域特性；2、頻域分析的基礎(chǔ)方法：當(dāng)激勵(lì)為任意信號(hào)f(t)時(shí)f(t)oF(jco)系統(tǒng)函數(shù)h(t)oH(jco)y(t)QY(jco)=H(jo)F(j(D)時(shí)域分析f(t)*h(t)=y(t)}III頻域分析的關(guān)系：H(jo)F(jco)=Y(jo)非周期信號(hào)激勵(lì)的系統(tǒng)響應(yīng)：Y(jco)=H(jco)F(jco)y(t)=￥[Y(jco)]周期信號(hào)激勵(lì)的系統(tǒng)響應(yīng)：Y(jco)=H(jco)F(jco)=H(jco)聲=(2兀)Fn8(co-nQ)=(2ji)聲『FnH(jnQ)5(co~nQ)y(t)="T[Y(jco)]二伊[(2ji)聲H(jnQ)FnS(co-nQ)]=言/nH(jnQ)emt二聲=YnejnQty=H(jnQ)Fny(t)=聲ejnQtnn例3.7-1：已知H(jco)，f(t)=2+4cos(5t)+4cos(lOt)求y(t).解：f(t)是周期信號(hào)，基波Q=5rad/s(1)用付里葉級(jí)數(shù)法y=H(jnQ)Fn=F(jco)I?=nQFn.nf(t)=2+4cos(Qt)+4cos(2Qt)=2+2ejQt+2e-jQt+2ej2Qt+2e-j2Qt=2ejnQtH(j①)=H(j①)=IH(j①)Iej中(?)H(jnQ)二IH(jnQ)Iej中餌yn=H(jnQ)Fny2=H(j2Q)Fyn=H(jnQ)Fny2=H(j2Q)F「0y-2=H(-j2Q)F2=0y1=H(jQ)Fj(1/2).e-j(兀/2).2二e-j(兀my1=H(-jQ)Fj(1/2)?ej(兀/2).2二ej(兀/公y(t)二聲-yejnQt=ye-jnQt+y+yejnQt二e-j(5t-兀/2)+2+ej(5t-兀/2)-101=2+2cos(5t+90。).(2)用付里葉變換法F(j①)=4疝(①)+4兀[5(o+Q)+5(①-Q)]+4兀[5(o+2Q)+5(①-2Q)]=4兀Mw5(①-nQ).22Y(j①)=H(j①)4兀Mz5(①-nQ)=4兀H(jnQ)5(①-nQ)=4兀[0.5e嚴(yán)。5(①+Q)+5(①)+0.5e-嚴(yán)％(①-Q)].y(t)二丁[Y(j①)]二e-j(nQ-'°)+2+ej(nQ-'o°)=2+2cos(Qt-900).例：3.7-4已知f(t)=[sin(2t)]/t,s(t)=cos(3t),<3系統(tǒng)H(jo)=>3,求y(t).f(t)x(t)H(j<3>3,求y(t).f(t)x(t)H(j①)ty(t)調(diào)制信號(hào)5(t)載波信號(hào)已調(diào)信號(hào)傳輸解：從頻域角度考慮系統(tǒng)在傳輸過程中的影響。求X(jco).x(t)=f(t)-s(t)X(jco)二(1/2ji)F(jco)*S(jco)Vf(t)=2Sa(2t)oF(jco)二兀g(co)

4s(t)=cos(3t)oS(jco)=7i[5(co+3)+5(co-3)].*.X(jco)=(l/27i)ng(co)[5(co+3)+5(co-3)]=(k/2)[g(co+3)+g(co-3)].444系統(tǒng)H(jco)=g(co)6Y(jco)=X(jco)-H(jco)=(7i/2)[g(co+2)+g(co-2)]22=(1/2ji)-kg(co)7i[5(co+2)+5(co-2)]2y(t)=Sa(t)-cos(2t)=(sint/1)-cos2t.分析：傳輸中有失真。3、求頻域響應(yīng)的方法:由定義：H(jco)=L?h(t)ej?tdtTOC\o"1-5"\h\z由微分方程：yn(t)+ay'(t)+ay(t)=f(t)10兩邊取付氏變換：(jco)2Y(jco)+a(jco)Y(jco)+aY(jco)=F(jco)10H(jco)=Y(jco)/X(jco)=l/[(jco)2+a(jco)+a].10向量法(簡(jiǎn)單電路)由電路分析可知，電路在正弦穩(wěn)態(tài)作用下可應(yīng)用向量法分析，此時(shí)電路有阻抗特征或?qū)Ъ{特征，且其阻抗和導(dǎo)納均為的復(fù)函數(shù)。H(jco)=Y(jco)/X(jco)=-輸出電壓(電流)向星

H(jco)=Y(jco)/X(jco)=-輸出電壓(電流)向星

輸入電壓(電流)向星例3.7-2已知：y，(t)+2y(t)=f(t),f(t)=e-tg(t).求y(t).解：方程取付氏變換：j①Y(j①)+2Y(j①)=F(jo).H(j①)=Y(jo)/F(jo)=1/(j①+2).f(t)=e-tg(t).1/(j①+1)=F(jo).Y(jo)=H(j①)F(jo)=1/[(j①+2)(j①+1)]=1/(jo+1)-1/(j①+2).「?y(t)二了[Y(jo)]=e-ts(t)-e-2ts(t).例：3.7-3已知RC電路.us(t)=s(t).求uc(t).解：向量法：H(jo)=Uc(jo)/Us(j①)=(1/joc)/[R+(1/joc)]=[1/(RC)]/[j①+(1/RC)]=a/(a+jo).激勵(lì)：u(t)=g(t).Us(jo)=兀8(①)+1/(jo).Uc(jo)=H(j①)Us(jo)=[a/(a+jo)][兀8(①)+1/(jo)]=[a兀/(a+jo)]8(o)+a/[(a+j①)(jo)].=兀8(o)+1/(jo)-1/(a+jo).u(t)=￥[Uc(jo)]=1/2+(1/2)Sgn(t)-e-ats(t)=(1-e-at)&(t).二、無(wú)失真?zhèn)鬏斠鹦盘?hào)失真的根本原因是系統(tǒng)函數(shù)。包括兩個(gè)方面：幅度失真：|H(jo)I對(duì)信號(hào)頻率分量加權(quán)不同，使信號(hào)幅度產(chǎn)生相應(yīng)變化。相位：q(o)對(duì)信號(hào)頻率分量附加了不同相移，而是合成波形也產(chǎn)生了變化。1、定義:y(t)=Kf(t-t).d2、頻域條件：H(jo)應(yīng)滿足的條件

Y(j①)=Ke-3tdF(j①)H(j①)=Ke-3tdH(j①)|二K全部頻帶內(nèi)，幅頻特性為一常數(shù)；讀不同頻譜分量，加權(quán)相同。"①)=-①td向頻特性為原點(diǎn)的直線，是線性的，斜率為-匕。3、時(shí)域條件:h(t)二切"田(如)]二切"[Ke-j?td]=K5(t-td).應(yīng)為沖激函數(shù)的K倍，延時(shí)匕。(以上為理想條件。)三、理想低通濾波器1、定義：|H(j①)|=_1|①|(zhì)<^I0|①|(zhì)>①cQ(①)=-①td系統(tǒng)函數(shù)：H(j①)二e-jE|①|(zhì)<①{0|①|(zhì)>①c=e-jEg(&(①).寬度為2?c，幅度為1的門函數(shù)。2、沖激響應(yīng)h(t)二予[e-j-tdg卻(①)]=(①/兀)Sa[①(t-七)]=(①/兀)(sin[①(t-t)]/①(t-td))特點(diǎn)：中心：td峰值：①/兀零點(diǎn)間隔兀/①。t<0時(shí)，h(t)壬0,為非因果系統(tǒng)。3、階躍響應(yīng)g(t)“G(j①).G(j①)=H(j①)伊[v(t)]=.[兀8(①)+(1/j①)]e-jmd|①|(zhì)<①{0|①|(zhì)>①cg(t)=(1/2兀)￡G(j①)ejmd①=(1/2兀)餐[兀8(①)+(1/j①)]egdej^td①=1/2+(1/2兀)[蚩e-js(t-td)/(j①)d①=1/2+(1/兀)Si[①(t-t)].其中Si(x)二』3(sin^)/ndn階躍響應(yīng)的斜率：dg(t)/dth=%=h(t)I仁為二①/兀。信號(hào)的上升時(shí)間tr,定義為t=td處斜率的倒數(shù)。Tr=兀/①二兀/2兀f=0.5/f=0.5/8.通帶愈寬，上升時(shí)間愈短，波形愈陡直，上升時(shí)間與通帶寬度成反比。基波斯現(xiàn)象：間斷點(diǎn)處過沖。第一個(gè)極大值發(fā)生在t=td+兀/①處gmax=1/2+(1/兀)Si[oc(t-td)]=1/2+(1/兀)Si(兀)=1.0895.幅度為9%.結(jié)論：與①無(wú)關(guān)，不可能通過增大通帶寬度來(lái)改變。c四、實(shí)際低通濾波器：1、傳輸函數(shù)H(j①)H(j①)=UR(j①)/US(j①)=1/[1-①2LC+j①(L/R)]=1/[1-(①/①)z+jjz(①/①)]①二反，R=J!T充幅度特性：H(j①)=1/辰詼T7

相頻特性；成①)=-arctg(屈(①/?)/[1-(①/吐)2】).H(±①)=1/屈712『阻帶成帶q(±①)=H(±①)=1/屈712『