江蘇省南京市玄武區(qū)溧水高中2023屆數(shù)學(xué)高一上期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．已知正三棱錐P—ABC（頂點(diǎn)在底面的射影是底面正三角形的中心）的側(cè)面是頂角為30°腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，若過(guò)A的截面與棱PB，PC分別交于點(diǎn)D和點(diǎn)E，則截面△ADE周長(zhǎng)的最小值是（）A. B.2C. D.22．設(shè)為兩條不同的直線，為三個(gè)不重合平面，則下列結(jié)論正確的是A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則3．已知定義在R上的函數(shù)，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，），則（）A.3 B.6C.3e D.與實(shí)數(shù)m的取值有關(guān)4．王安石在《游褒禪山記》中寫道“世之奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀，常在于險(xiǎn)遠(yuǎn)，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，請(qǐng)問(wèn)“有志”是到達(dá)“奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀”的A.充要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件 D.必要不充分條件5．已知，，，則的大小關(guān)系為A B.C. D.6．已知函數(shù)，則函數(shù)（）A.有最小值 B.有最大值C有最大值 D.沒(méi)有最值7．已知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，則D.若，則8．直線l：與圓C：的位置關(guān)系是A.相切 B.相離C.相交 D.不確定9．=（）A. B.C. D.10．若函數(shù)在閉區(qū)間上有最大值5，最小值1，則的取值范圍是（）A. B.C. D.11．函數(shù)f（x）=lnx﹣1的零點(diǎn)所在的區(qū)間是A（1，2） B.（2，3）C.（3，4） D.（4，5）12．為了得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（）A.向右平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向左平移個(gè)單位二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．冪函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（4，2），則f（x）的解析式是______14．一條從西向東的小河的河寬為3.5海里，水的流速為3海里/小時(shí)，如果輪船希望用10分鐘的時(shí)間從河的南岸垂直到達(dá)北岸，輪船的速度應(yīng)為_(kāi)_____；15．已知圓，則過(guò)點(diǎn)且與圓C相切的直線方程為_(kāi)____16．已知函數(shù)若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是____三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．如圖，在長(zhǎng)方體中，，是與的交點(diǎn).求證：（1）平面；（2）平面平面.18．如圖所示，某市政府決定在以政府大樓O為中心，正北方向和正東方向的馬路為邊界的扇形地域內(nèi)建造一個(gè)圖書館.為了充分利用這塊土地，并考慮與周邊環(huán)境協(xié)調(diào)，設(shè)計(jì)要求該圖書館底面矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都要在邊界上，圖書館的正面要朝市政府大樓.設(shè)扇形的半徑OM＝R，∠MOP＝45°，OB與OM之間的夾角為θ.（1）將圖書館底面矩形ABCD的面積S表示成θ的函數(shù).（2）若R＝45m，求當(dāng)θ為何值時(shí)，矩形ABCD的面積S最大？最大面積是多少？(?。?.414)19．已知，且，（1）求，的值；（2），求的值20．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求證：(1)直線A1C1∥平面B1DE；(2)平面A1B1BA⊥平面A1C1F.21．設(shè)全集實(shí)數(shù)集,,（1）當(dāng)時(shí),求和；（2）若,求實(shí)數(shù)的取值范圍22．已知直線（1）求直線的斜率；（2）若直線m與平行，且過(guò)點(diǎn)，求m的方程.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、D【解析】可以將三棱錐側(cè)面展開(kāi),將計(jì)算周長(zhǎng)最小值轉(zhuǎn)化成計(jì)算兩點(diǎn)間距離最小值,解三角形,即可得出答案.【詳解】將三棱錐的側(cè)面展開(kāi),如圖則將求截面周長(zhǎng)的最小值,轉(zhuǎn)化成計(jì)算的最短距離,結(jié)合題意可知=,,所以,故周長(zhǎng)最小值為,故選D.【點(diǎn)睛】本道題目考查了解三角形的知識(shí),可以將空間計(jì)算周長(zhǎng)最小值轉(zhuǎn)化層平面計(jì)算兩點(diǎn)間的最小值,即可.2、B【解析】根據(jù)線面平行線面垂直面面垂直的定義及判定定理，逐一判斷正誤.【詳解】選項(xiàng)，若，，則可能平行，相交或異面：故錯(cuò)選項(xiàng)，若，，則，故正確.選項(xiàng)，若，，因?yàn)椋瑸槿齻€(gè)不重合平面，所以或，故錯(cuò)選項(xiàng)，若，，則或，故錯(cuò)故選：【點(diǎn)睛】本題考查線面平行及線面垂直的知識(shí)，注意平行關(guān)系中有一條平行即可，而垂直關(guān)系中需滿足任意性，概念辨析題.3、B【解析】可證，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，故，故，故選：B4、D【解析】根據(jù)題意“非有志者不能至也”可知到達(dá)“奇?zhèn)ァ⒐骞?，非常之觀”必是有志之士，故“有志”是到達(dá)“奇?zhèn)ァ⒐骞?，非常之觀”的必要條件，故選D.5、A【解析】利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)，比較a,b的大小，將b,c與1進(jìn)行比較，即可得出答案【詳解】令,結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì),單調(diào)遞減,，，.【點(diǎn)睛】本道題考查了對(duì)數(shù)、指數(shù)比較大小問(wèn)題，結(jié)合相應(yīng)性質(zhì)，即可得出答案6、B【解析】換元法后用基本不等式進(jìn)行求解.【詳解】令，則，因?yàn)?，，故，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故函數(shù)有最大值，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)，即有最小值.故選：B7、B【解析】利用不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，，則，故，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，，則，所以，，故，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，則，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，所以，，D錯(cuò).故選：B.8、C【解析】利用點(diǎn)到直線的距離公式求出直線和圓的距離，即可作出判斷.【詳解】圓C：的圓心坐標(biāo)為：，則圓心到直線的距離，所以圓心在直線l上，故直線與圓相交故選C【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用9、B【解析】利用誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值直接計(jì)算作答.【詳解】.故選：B10、D【解析】數(shù)形結(jié)合：根據(jù)所給函數(shù)作出其草圖，借助圖象即可求得答案【詳解】，令，即，解得或，，作出函數(shù)圖象如下圖所示：因?yàn)楹瘮?shù)在閉區(qū)間上有最大值5，最小值1，所以由圖象可知，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想，深刻理解“三個(gè)二次”間的關(guān)系是解決該類問(wèn)題的關(guān)鍵11、B【解析】∵，在遞增，而，∴函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是，故選B.12、A【解析】根據(jù)函數(shù)平移變換的方法，由即，只需向右平移個(gè)單位即可.【詳解】根據(jù)函數(shù)平移變換,由變換為,只需將的圖象向右平移個(gè)單位，即可得到的圖像，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換，解題關(guān)鍵是看自變量上的變化量，屬于中檔題.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、【解析】根據(jù)冪函數(shù)的概念設(shè)f（x）=xα，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求得α值，從而求得函數(shù)解析式【詳解】設(shè)f（x）=xα，∵冪函數(shù)y=f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（4，2），∴4α=2∴α=這個(gè)函數(shù)解析式為故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求冪函數(shù)解析式、指數(shù)方程解法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題14、15海里/小時(shí)【解析】先求出船的實(shí)際速度，再利用勾股定理得到輪船的速度.【詳解】設(shè)船的實(shí)際速度為，船速，水的流速，則海里/小時(shí)，∴海里/小時(shí).故答案為：15海里/小時(shí)15、【解析】先判斷點(diǎn)在圓上，再根據(jù)過(guò)圓上的點(diǎn)的切線方程的方法求出切線方程.【詳解】由，則點(diǎn)在圓上，，所以切線斜率為，因此切線方程，整理得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了過(guò)圓上的點(diǎn)的求圓的切線方程，屬于容易題.16、；【解析】作圖可知:點(diǎn)睛：利用函數(shù)零點(diǎn)情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.【解析】⑴連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，推導(dǎo)出，又因?yàn)槠矫妫纱俗C明平面⑵推導(dǎo)出，，從而平面，由此證明平面平面解析：（1）連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，∵，∴.∴.又∵平面，平面，∴平面.（2）∵平面.∴.∵,∴∵與相交，∴平面∵平面.∴平面平面.點(diǎn)睛：本題考查了立體幾何中的線面平行及面面垂直，在證明的過(guò)程中依據(jù)其判定定理證得結(jié)果，在證明平行中需要做輔助線，構(gòu)造平行四邊形或者三角形中位線證得線線平行，從而證得線面平行18、（1）S＝R2sin－R2，θ∈；（2）當(dāng)θ＝時(shí)，矩形ABCD面積S最大，最大面積為838.35m2.【解析】（1）設(shè)OM與BC的交點(diǎn)為F，用表示出，，，從而可得面積的表達(dá)式；（2）結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求得最大值【詳解】解：（1）由題意，可知點(diǎn)M為PQ的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥AD.設(shè)OM與BC的交點(diǎn)為F，則BC＝2Rsinθ，OF＝Rcosθ，所以AB＝OF－AD＝Rcosθ－Rsinθ.所以S＝AB·BC＝2Rsinθ(Rcosθ－Rsinθ)＝R2(2sinθcosθ－2sin2θ)＝R2(sin2θ－1＋cos2θ)＝R2sin－R2，θ∈.（2）因?yàn)棣取?，所?θ＋∈，所以當(dāng)2θ＋，即θ＝時(shí)，S有最大值.Smax＝(－1)R2＝(－1)×452＝0.414×2025＝838.35(m2).故當(dāng)θ＝時(shí)，矩形ABCD的面積S最大，最大面積為838.35m2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用表示出矩形的邊長(zhǎng)，從而得矩形面積．利用三角函數(shù)恒等變換公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求得最大值19、（1）；（2）【解析】(1)首先可通過(guò)二倍角公式以及將轉(zhuǎn)化為，然后帶入即可計(jì)算出的值，再然后通過(guò)以及即可計(jì)算出的值；(2)可將轉(zhuǎn)化為然后利用兩角差的正弦公式即可得出結(jié)果【詳解】⑴，因?yàn)?，，所以；⑵因?yàn)?，，，所以，【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查三角恒等變換，考查的公式有、、，在使用計(jì)算的時(shí)候一定要注意角的取值范圍20、證明過(guò)程詳見(jiàn)解析【解析】（1）先證明DE∥A1C1，即證直線A1C1∥平面B1DE.(2)先證明DE⊥平面AA1B1B，再證明A1F⊥平面B1DE，即證平面AA1B1B⊥平面A1C1F.【詳解】證明：（1）∵D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥AC，∵ABC-A1B1C1為棱柱，∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，∵DE?平面B1DE，且A1C1?平面B1DE，∴A1C1∥平面B1DE；（2）在ABC-A1B1C1的直棱柱中，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1?平面AA1B1B，∴A1C1⊥平面AA1B1B，∵DE∥A1C1，∴DE⊥平面AA1B1B，又∵A1F?平面AA1B1B，∴DE⊥A1F，又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D?平面B1DE，∴A1F⊥平面B1DE，又∵A1F?平面A1C1F，∴平面AA1B1B⊥平面A1C1F【點(diǎn)睛】本題主要考查空間直線平面位置關(guān)系的證明，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和空間想象轉(zhuǎn)化能力.21、(1)，;(2).【解析】把代入集合B，求出集合B的解集，再根據(jù)交集和并集的定義進(jìn)行求解