經(jīng)濟(jì)類碩士必修課之矩陣分析課件

矩陣分析

矩陣分析第一節(jié)線性空間一：線性空間的定義與例子定義

設(shè)是一個(gè)非空的集合，是一個(gè)數(shù)域，在集和中定義兩種代數(shù)運(yùn)算,一種是加法運(yùn)算,用來表示;另一種是數(shù)乘運(yùn)算,用來表示,并且這兩種運(yùn)算滿足下列八條運(yùn)算律：第一章線性空間和線性映射第一節(jié)線性空間一：線性空間的定義與例子定義（1）加法交換律（2）加法結(jié)合律（3）零元素在中存在一個(gè)元素，使得對于任意的都有（4）負(fù)元素對于中的任意元素都存在一個(gè)元素使得

（5）（1）加法交換律（2）加法結(jié)合律（6）（7）（8）稱這樣的為數(shù)域上的線性空間。例1

全體實(shí)函數(shù)集合構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間。例2

復(fù)數(shù)域上的全體型矩陣構(gòu)成的集合為上的線性空間。（6）（7）

例3

實(shí)數(shù)域上全體次數(shù)小于或等于的多項(xiàng)式集合構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間

例4

表示實(shí)數(shù)域上的全體無限序列組成的的集合。即例3實(shí)數(shù)域上全體次數(shù)小于或等于在中定義加法與數(shù)乘：則為實(shí)數(shù)域上的一個(gè)線性空間。例6

在中滿足Cauchy條件的無限序列組成的子集合也構(gòu)成上的線性空間。Cauchy條件是：使得對于都有在中定義加法與數(shù)乘：定義:線性組合；線性表出；線性相關(guān)；線性無關(guān)；向量組的極大線性無關(guān)組；向量組的秩基本性質(zhì)：（1）含有零向量的向量組一定線性相關(guān)；（2）整體無關(guān)部分無關(guān)；部分相關(guān)整體相關(guān)；（3）如果含有向量多的向量組可以由含有向量少的向量組線性表出，那么含有向量多的向量組一定線性相關(guān)；（4）向量組的秩是唯一的，但是其極大線性無關(guān)并不唯一；（5）如果向量組（I）可以由向量組（II）線性表出，那么向量組（I）的秩向量組（II）的秩；（6）等價(jià)的向量組秩相同。二：線性空間的基本概念及其性質(zhì)定義:線性組合；線性表出；線性相關(guān)；線性無關(guān)二：例1

實(shí)數(shù)域上的線性空間中，函數(shù)組是一組線性無關(guān)的函數(shù)，其中為一組互不相同的實(shí)數(shù)。例2

實(shí)數(shù)域上的線性空間中，函數(shù)組是一組線性無關(guān)的函數(shù)，其中為一組互不相同的實(shí)數(shù)。例3

實(shí)數(shù)域上的線性空間中，函數(shù)組也是線性無關(guān)的。例1實(shí)數(shù)域上的線性空間定義設(shè)為數(shù)域上的一個(gè)線性空間。如果在中存在個(gè)線性無關(guān)的向量使得中的任意一個(gè)向量都可以由線性表出則稱為的一個(gè)基底；為向量在基底下的坐標(biāo)。此時(shí)我們稱為一個(gè)維線性空間，記為例1

實(shí)數(shù)域上的線性空間中向量組與向量組線性空間的基底，維數(shù)與坐標(biāo)變換線性空間的基底，維數(shù)與坐標(biāo)變換

都是的基。是3維線性空間。例2

實(shí)數(shù)域上的線性空間中的向量組與向量組都是的基。是4維線性空間。例3

實(shí)數(shù)域上的線性空間中的向量組

與向量組都是的基底。的維數(shù)為注意：

通過上面的例子可以看出線性空間的基底并不唯一，但是維數(shù)是唯一確定的。利用維數(shù)的定義線性空間可以分為有限維線性空間和無限維線性空間。目前，我們主要討論有限維的線性空間。例4

在4維線性空間中，向量組

與向量組是其兩組基，求向量在這兩組基下的坐標(biāo)。解：設(shè)向量在第一組基下的坐標(biāo)為

于是可得解得同樣可解出在第二組基下的坐標(biāo)為于是可得由此可以看出：一個(gè)向量在不同基底下的坐標(biāo)是不相同的?；儞Q與坐標(biāo)變換設(shè)（舊的）與（新的）是維線性空間的兩組基底，它們之間的關(guān)系為

由此可以看出：一個(gè)向量在不同基底下的坐標(biāo)是不相將上式矩陣化可以得到下面的關(guān)系式：稱階方陣將上式矩陣化可以得到下面的關(guān)系式：是由舊的基底到新的基底的過渡矩陣，那么上式可以寫成定理：過渡矩陣是可逆的。經(jīng)濟(jì)類碩士必修課之矩陣分析課件任取，設(shè)在兩組基下的坐標(biāo)分別為

與，那么我們有：稱上式為坐標(biāo)變換公式。例1在4維線性空間中，向量組任取，設(shè)在兩組基下的坐與向量組與向量組為其兩組基，求從基到基的過渡矩陣，并求向量在這兩組基下的坐標(biāo)。解：容易計(jì)算出下面的矩陣表達(dá)式為其兩組基，求從基經(jīng)濟(jì)類碩士必修課之矩陣分析課件向量第一組基下的坐標(biāo)為利用坐標(biāo)變換公式可以求得在第二組基下的坐標(biāo)為向量第一組基下的坐標(biāo)為經(jīng)濟(jì)類碩士必修課之矩陣分析課件例2

教材13頁例1.2.6

第三節(jié)線性空間的子空間定義設(shè)為數(shù)域上的一個(gè)維線性空間，為的一個(gè)非空子集合，如果對于任意的以及任意的都有那么我們稱為的一個(gè)子空間。例1對于任意一個(gè)有限維線性空間，它必有兩個(gè)平凡的子空間，即由單個(gè)零向量構(gòu)成的子空間例2教材13頁例1.2.6

以及線性空間本身。例2

設(shè)，那么線性方程組的全部解為維線性空間的一個(gè)子空間，我們稱其為齊次線性方程組的解空間。當(dāng)齊次線性方程組有無窮多解時(shí)，其解空間的基底即為其基礎(chǔ)解系；解空間的維數(shù)即為基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)。例3

設(shè)為維線性空間中的一組向量，那么非空子集合

以及線性空間本身。構(gòu)成線性空間的一個(gè)子空間，稱此子空間為有限生成子空間，稱為該子空間的生成元。的基底即為向量組

的極大線性無關(guān)組，的維數(shù)即為向量組的秩。例4

實(shí)數(shù)域上的線性空間中全體上三角矩陣集合，全體下三角矩陣集合，全體對稱矩陣集合，全體反對稱矩陣集合分別都構(gòu)成的子空間，構(gòu)成線性空間的一個(gè)子空間，稱此子空間為有限生成子問題：這幾個(gè)子空間的基底與維數(shù)分別時(shí)什么？子空間的交與和問題：這幾個(gè)子空間的基底與維數(shù)分別時(shí)什么？

7.線性變換的特征值與特征向量

定義設(shè)是數(shù)域上的線性空間的一個(gè)線性變換，如果對于數(shù)域中任一元素，中都存在一個(gè)非零向量，使得

那么稱為的一個(gè)特征值，而稱為的屬于特征值的一個(gè)特征向量?，F(xiàn)在設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，中取定一個(gè)基，設(shè)線性變換在這組基下的矩陣是，向量在這組基下的坐標(biāo)是，。那么我們有

7.線性變換的特征值與特征向量由此可得定理：

是的特征值是的特征值

是的屬于的特征向量是的屬于的特征向量因此，只要將的全部特征值求出來，它們就是線性變換的全部特征值；只要將矩陣的屬于的全部特征向量求出來，分別以它們?yōu)樽鴺?biāo)的向量就是的屬于的全部特征向量。經(jīng)濟(jì)類碩士必修課之矩陣分析課件例1

設(shè)是數(shù)域上的3維線性空間，是上的一個(gè)線性變換，在的一個(gè)基下的矩陣是求的全部特征值與特征向量。解：的特征多項(xiàng)式為例1設(shè)是數(shù)域上的3維線性所以的特征值是（二重）與。對于特征值，解齊次線性方程組得到一個(gè)基礎(chǔ)解系：經(jīng)濟(jì)類碩士必修課之矩陣分析課件從而的屬于的極大線性無關(guān)特征向量組是于是的屬于的全部特征向量是

這里為數(shù)域中不全為零的數(shù)對。對于特征值，解齊次線性方程組得到一個(gè)基礎(chǔ)解系：

從而的屬于的極大線性無關(guān)特征向量組是從而的屬于的極大線性無關(guān)特征向量組是于是的屬于的全部特征向量這里為數(shù)域中任意非零數(shù)。相似矩陣的性質(zhì)：相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，有相同的特征從而的屬于的極大線性無關(guān)特征向量組值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的跡，有相同的譜。矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)：（1）階矩陣的屬于特征值的全部特征向量再添上零向量，可以組成的一個(gè)子空間，稱之為矩陣的屬于特征值的特征子空間，記為，不難看出正是特征方程組的解空間。（2）屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的。值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的跡，有相同的譜。（3）設(shè)是的個(gè)互不同的特征值，的幾何重?cái)?shù)為，是對應(yīng)于的個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則的所有這些特征向量仍然是線性無關(guān)的。（4）任意一個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)不大于它的代數(shù)重?cái)?shù)。（3）設(shè)（5）一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值。

8.矩陣的相似對角化定義數(shù)域上的維線性空間的一個(gè)線性變換稱為可以對角化的，如果中存在一個(gè)基底，使得在這個(gè)基底下的矩陣為對角矩陣。我們在中取定一個(gè)基底，設(shè)線性變換在這個(gè)基下的矩陣為，那么可以得到下面的定理定理：可以對角化可以對角化。定理：階矩陣可以對角化的充分必要條件是

（5）一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值。

有個(gè)線性無關(guān)的特征向量。定理：階矩陣可以對角化的充分必要條件是每一個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)等于其幾何重?cái)?shù)。例1

判斷矩陣是否可以對角化？解：先求出的特征值有個(gè)線性無關(guān)的特征向量。于是的特征值為（二重）由于是單的特征值，它一定對應(yīng)一個(gè)線性無關(guān)的特征向量。下面我們考慮經(jīng)濟(jì)類碩士必修課之矩陣分析課件于是從而不可以相似對角化。例2

設(shè)是數(shù)域上的3維線性空間，是上的一個(gè)線性變換，在的一個(gè)基下的矩陣是經(jīng)濟(jì)類碩士必修課之矩陣分析課件判斷是否可以對角化？解：根據(jù)前面例題的討論可知有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量:因此可以對角化，在這組基下的矩陣是經(jīng)濟(jì)類碩士必修課之矩陣分析課件由基到基的過渡矩陣是于是有經(jīng)濟(jì)類碩士必修課之矩陣分析課件例3

數(shù)域上的維線性空間的任一冪等變換一定可以對角化。

第二章－矩陣與矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形例3數(shù)域上的維線性空間再見！再見！再見！再見！矩陣分析

矩陣分析第一節(jié)線性空間一：線性空間的定義與例子定義

設(shè)是一個(gè)非空的集合，是一個(gè)數(shù)域，在集和中定義兩種代數(shù)運(yùn)算,一種是加法運(yùn)算,用來表示;另一種是數(shù)乘運(yùn)算,用來表示,并且這兩種運(yùn)算滿足下列八條運(yùn)算律：第一章線性空間和線性映射第一節(jié)線性空間一：線性空間的定義與例子定義（1）加法交換律（2）加法結(jié)合律（3）零元素在中存在一個(gè)元素，使得對于任意的都有（4）負(fù)元素對于中的任意元素都存在一個(gè)元素使得

（5）（1）加法交換律（2）加法結(jié)合律（6）（7）（8）稱這樣的為數(shù)域上的線性空間。例1

全體實(shí)函數(shù)集合構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間。例2

復(fù)數(shù)域上的全體型矩陣構(gòu)成的集合為上的線性空間。（6）（7）

例3

實(shí)數(shù)域上全體次數(shù)小于或等于的多項(xiàng)式集合構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間

例4

表示實(shí)數(shù)域上的全體無限序列組成的的集合。即例3實(shí)數(shù)域上全體次數(shù)小于或等于在中定義加法與數(shù)乘：則為實(shí)數(shù)域上的一個(gè)線性空間。例6

在中滿足Cauchy條件的無限序列組成的子集合也構(gòu)成上的線性空間。Cauchy條件是：使得對于都有在中定義加法與數(shù)乘：定義:線性組合；線性表出；線性相關(guān)；線性無關(guān)；向量組的極大線性無關(guān)組；向量組的秩基本性質(zhì)：（1）含有零向量的向量組一定線性相關(guān)；（2）整體無關(guān)部分無關(guān)；部分相關(guān)整體相關(guān)；（3）如果含有向量多的向量組可以由含有向量少的向量組線性表出，那么含有向量多的向量組一定線性相關(guān)；（4）向量組的秩是唯一的，但是其極大線性無關(guān)并不唯一；（5）如果向量組（I）可以由向量組（II）線性表出，那么向量組（I）的秩向量組（II）的秩；（6）等價(jià)的向量組秩相同。二：線性空間的基本概念及其性質(zhì)定義:線性組合；線性表出；線性相關(guān)；線性無關(guān)二：例1

實(shí)數(shù)域上的線性空間中，函數(shù)組是一組線性無關(guān)的函數(shù)，其中為一組互不相同的實(shí)數(shù)。例2

實(shí)數(shù)域上的線性空間中，函數(shù)組是一組線性無關(guān)的函數(shù)，其中為一組互不相同的實(shí)數(shù)。例3

實(shí)數(shù)域上的線性空間中，函數(shù)組也是線性無關(guān)的。例1實(shí)數(shù)域上的線性空間定義設(shè)為數(shù)域上的一個(gè)線性空間。如果在中存在個(gè)線性無關(guān)的向量使得中的任意一個(gè)向量都可以由線性表出則稱為的一個(gè)基底；為向量在基底下的坐標(biāo)。此時(shí)我們稱為一個(gè)維線性空間，記為例1

實(shí)數(shù)域上的線性空間中向量組與向量組線性空間的基底，維數(shù)與坐標(biāo)變換線性空間的基底，維數(shù)與坐標(biāo)變換

都是的基。是3維線性空間。例2

實(shí)數(shù)域上的線性空間中的向量組與向量組都是的基。是4維線性空間。例3

實(shí)數(shù)域上的線性空間中的向量組

與向量組都是的基底。的維數(shù)為注意：

通過上面的例子可以看出線性空間的基底并不唯一，但是維數(shù)是唯一確定的。利用維數(shù)的定義線性空間可以分為有限維線性空間和無限維線性空間。目前，我們主要討論有限維的線性空間。例4

在4維線性空間中，向量組

與向量組是其兩組基，求向量在這兩組基下的坐標(biāo)。解：設(shè)向量在第一組基下的坐標(biāo)為

于是可得解得同樣可解出在第二組基下的坐標(biāo)為于是可得由此可以看出：一個(gè)向量在不同基底下的坐標(biāo)是不相同的。基變換與坐標(biāo)變換設(shè)（舊的）與（新的）是維線性空間的兩組基底，它們之間的關(guān)系為

由此可以看出：一個(gè)向量在不同基底下的坐標(biāo)是不相將上式矩陣化可以得到下面的關(guān)系式：稱階方陣將上式矩陣化可以得到下面的關(guān)系式：是由舊的基底到新的基底的過渡矩陣，那么上式可以寫成定理：過渡矩陣是可逆的。經(jīng)濟(jì)類碩士必修課之矩陣分析課件任取，設(shè)在兩組基下的坐標(biāo)分別為

與，那么我們有：稱上式為坐標(biāo)變換公式。例1在4維線性空間中，向量組任取，設(shè)在兩組基下的坐與向量組與向量組為其兩組基，求從基到基的過渡矩陣，并求向量在這兩組基下的坐標(biāo)。解：容易計(jì)算出下面的矩陣表達(dá)式為其兩組基，求從基經(jīng)濟(jì)類碩士必修課之矩陣分析課件向量第一組基下的坐標(biāo)為利用坐標(biāo)變換公式可以求得在第二組基下的坐標(biāo)為向量第一組基下的坐標(biāo)為經(jīng)濟(jì)類碩士必修課之矩陣分析課件例2

教材13頁例1.2.6

第三節(jié)線性空間的子空間定義設(shè)為數(shù)域上的一個(gè)維線性空間，為的一個(gè)非空子集合，如果對于任意的以及任意的都有那么我們稱為的一個(gè)子空間。例1對于任意一個(gè)有限維線性空間，它必有兩個(gè)平凡的子空間，即由單個(gè)零向量構(gòu)成的子空間例2教材13頁例1.2.6

以及線性空間本身。例2

設(shè)，那么線性方程組的全部解為維線性空間的一個(gè)子空間，我們稱其為齊次線性方程組的解空間。當(dāng)齊次線性方程組有無窮多解時(shí)，其解空間的基底即為其基礎(chǔ)解系；解空間的維數(shù)即為基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)。例3

設(shè)為維線性空間中的一組向量，那么非空子集合

以及線性空間本身。構(gòu)成線性空間的一個(gè)子空間，稱此子空間為有限生成子空間，稱為該子空間的生成元。的基底即為向量組

的極大線性無關(guān)組，的維數(shù)即為向量組的秩。例4

實(shí)數(shù)域上的線性空間中全體上三角矩陣集合，全體下三角矩陣集合，全體對稱矩陣集合，全體反對稱矩陣集合分別都構(gòu)成的子空間，構(gòu)成線性空間的一個(gè)子空間，稱此子空間為有限生成子問題：這幾個(gè)子空間的基底與維數(shù)分別時(shí)什么？子空間的交與和問題：這幾個(gè)子空間的基底與維數(shù)分別時(shí)什么？

7.線性變換的特征值與特征向量

定義設(shè)是數(shù)域上的線性空間的一個(gè)線性變換，如果對于數(shù)域中任一元素，中都存在一個(gè)非零向量，使得

那么稱為的一個(gè)特征值，而稱為的屬于特征值的一個(gè)特征向量。現(xiàn)在設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，中取定一個(gè)基，設(shè)線性變換在這組基下的矩陣是，向量在這組基下的坐標(biāo)是，。那么我們有

7.線性變換的特征值與特征向量由此可得定理：

是的特征值是的特征值

是的屬于的特征向量是的屬于的特征向量因此，只要將的全部特征值求出來，它們就是線性變換的全部特征值；只要將矩陣的屬于的全部特征向量求出來，分別以它們?yōu)樽鴺?biāo)的向量就是的屬于的全部特征向量。經(jīng)濟(jì)類碩士必修課之矩陣分析課件例1

設(shè)是數(shù)域上的3維線性空間，是上的一個(gè)線性變換，在的一個(gè)基下的矩陣是求的全部特征值與特征向量。解：的特征多項(xiàng)式為例1設(shè)是數(shù)域上的3維線性所以的特征值是（二重）與。對于特征值，解齊次線性方程組得到一個(gè)基礎(chǔ)解系：經(jīng)濟(jì)類碩士必修課之矩陣分析課件從而的屬于的極大線性無關(guān)特征向量組是于是的屬于的全部特征向量是

這里為數(shù)域中不全為零的數(shù)對。對于特征值，解齊次線性方程組得到一個(gè)基礎(chǔ)解系：

從而的屬于的極大線性無關(guān)特征向量組是從而的屬于的極大線性無關(guān)特征向量組是于是的屬于的全部特征向量這里為數(shù)域中任意非零數(shù)。相似矩陣的性質(zhì)：相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，有相同的特征從而的屬于的極大線性無關(guān)特征向量組值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的跡，有相同的