國(guó)開電大 高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 形成性作業(yè)14答案

高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形考作業(yè)第1章函數(shù)第2章極限與連續(xù)（一）單項(xiàng)選擇題⒈下列各函數(shù)對(duì)中，（）中的兩個(gè)函數(shù)相等．f(x)(x)gxx2()(x)x2g(x)x，fA.，B.D.x12f(x)lnx3g(x)3lnx，f(x)x1g(x)，C.x1f(x)(,)f(x)f(x)⒉設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的圖形關(guān)于（）對(duì)稱．xA.坐標(biāo)原點(diǎn)C.y軸B.D.軸yx⒊下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（B）．yx2)yxxB.A.aaxxyyx)C.D.2⒋下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是（）．yx1yxA.C.B.D.1,x0yx2y1,x0⒌下列極限存計(jì)算不正確的是（D）．x21limx)0B.A.x22xx0sinx1lim0limxsin0C.⒍當(dāng)A.D.xxxxx0時(shí)，變量（）是無窮小量．sinx1B.xx1xsinln(xC.D.x1f(x)f(x)B.xx在點(diǎn)連續(xù)。⒎若函數(shù)在點(diǎn)滿足（A），則00limf(x)f(x)f(x)xA.C.在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義00xx0limf(x)f(x)limf(x)limf(x)D.0xxxxxx000（二）填空題x29x3f(x)x)．⒈函數(shù)的定義域是f(xx2xf(x)2x-x⒉已知函數(shù)，則．11)e⒊x2．2xx1x),x0f(x)x0處連續(xù)，則k，在x⒋若函數(shù)e．,xk0xx1,x0sinx,x0yx0．⒌函數(shù)的間斷點(diǎn)是xx時(shí)的無窮小量0limf(x)A，則當(dāng)xxxx0f(x)A⒍若時(shí)，稱為。0（三）計(jì)算題⒈設(shè)函數(shù)e,x0xf(x)x,x0f(2),f,f求：．f22f00f1ee1解：，，2x1ylg⒉求函數(shù)的定義域．x2x10x2x11ylgxx0解：有意義，要求解得x20x0x12|x或xx則定義域?yàn)?R⒊在半徑為的半圓內(nèi)內(nèi)接一梯形，梯形的一個(gè)底邊與半圓的直徑重合，另一底邊的兩個(gè)端點(diǎn)在半圓上，試將梯形的面積表示成其高的函數(shù)．D解：AROhEBC設(shè)梯形ABCD即為題中要求的梯形，設(shè)高為h，即OE=h，下底CD＝2R直角三角形AOE中，利用勾股定理得Rh222222Rh22則上底＝hS2R2RhhRRh2222故2sin3xlim⒋求解：．sin2xx0sin3xsin3x3x2xsin3xsin2x3133＝3xsin2x3xsin2xlimlimlim2122x0x0x02x2xx21⒌求解：．xx1x1(xxsin(xx1sin(xx1112limlimlim2sin(x1x1x1x1tan3xlim⒍求解：．xx0tan3xsin3x1sin3x3x11limlimlim3133xxcos3xcos3x1x0x0x01x12⒎求解：．xx01x1(1x1)(1x1)x2x(11)sin2222limlimlimsinx(11)sinxxxx0x02x03x0lim0sinx111x0(1x1)2xlim(x1)⒏求解：x．x3x1111))]xxx1x1ex1x3xlim()lim(x)limlime4x3)xx31e3x1xxxx)]33xx3x226x8⒐求解：．x5x4x4x4x1xx226x85x4x2422x4x2limlimlimx1413x4x4x4⒑設(shè)函數(shù)(2),x1x2f(x)x,1x1x1x1,f(x)討論的連續(xù)性。解：分別對(duì)分段點(diǎn)x1,x1處討論連續(xù)性1）limfxlimx1xxlimfxlimx1110xxfxxlimfxlimfx1處不連續(xù)所以，即在xx（2）limfxlimx212122xxlimfxlimx1xf11xxlimfxlimfxf1fx1處連續(xù)所以即在xxfxx1由（1）（2）得在除點(diǎn)外均連續(xù)4高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作業(yè)2答案：（一）單項(xiàng)選擇題第3章導(dǎo)數(shù)與微分f(x)f(x)f(0)0limlim（C）．⒈設(shè)且極限存在，則xxx0x0f(0)f(0)A.B.D.()fx0C.cvxf(x2h)f(x)f(x)x在lim（D）．00⒉設(shè)可導(dǎo)，則2h0h02f(x)f(x)A.C.B.002f(x)f(x)D.00fx)fxf(x)elim（）．⒊設(shè)x，則x011e2eeeA.B.C.D.24f(x)x(xx2)(x99)(0)f⒋設(shè)，則（）．999999!99!D.A.B.C.⒌下列結(jié)論中正確的是（C）．f(x)f(x)f(x)xxxxx連續(xù)，則在點(diǎn)可導(dǎo)．A.若C.若在點(diǎn)在點(diǎn)有極限，則在點(diǎn)可導(dǎo)．B.若在點(diǎn)在點(diǎn)000000f(x)xxx連續(xù)．可導(dǎo)，則在點(diǎn)有極限．D.若有極限，則在點(diǎn)00（二）填空題1sin,x02x(x)(0)f，則fx⒈設(shè)函數(shù)0．0,x0dfx)dx2lnx5f(e)e2⒉設(shè)xxx，則。xx1f(x)x12)在k⒊曲線處的切線斜率是。25π(,1)2f(x)sinxy處的切線方程是1。⒋曲線在yx2x，則y2ln)x2x⒌設(shè)⒍設(shè)x1yyxlnx，則。x（三）計(jì)算題y⒈求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：y(xx3)ex⑴3231xeyxx3exxx3x(exex2x解:2ycotxx2lnx⑵cot2xxln2lncsc22lnyxxxxxxx解：x2y⑶x2xxxx2xxx2y解：xx22cosx2xy⑷x3cosx2xcosx2xxx(x22)2)xxx3x3y解：xx243xx2y⑸x1(2))xxxxx2lnxxsinxlnxxsinx22xy解：sinxx22yx4sinxlnx⑹xyx4sinlnsinln43xxxxxxx解：x6xx2⑺y3xsinxx3sinxx3xxxx32)3xx2x2x2y解：33x22xetanxlnx⑻yx1eyexxetanxtanlntanxxxex解：xcosxx2y⒉求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：yex⑴1211yexxxex2e解：2xylncosx⑵1xyxx解：xxxx⑶y771yx8x8解：8ysinx2⑷2sinsin2sincos2sin2x解：yxxxxysinx2⑸cos22cos2xxxxy解：ye2x⑹yeee22222xxxx解：sinxcosnx⑺ynsinnnxcossinncossinxnxncoscossinsin()yxxnxnn1xxnx解：n7y5x⑻5ln5cosln5cos5yxxxx解：yecosx⑼sinsinyexxecosxcosx解：yy(x)y⒊在下列方程中，是由方程確定的函數(shù)，求：ycosxe2⑴yysinxcossin2xye2yyyx解：ycosx2e2yyylnx⑵1ysin.lncos.yyyyxy解：xyx)xx2y2xy⑶2yxxyx2yx22yy222xcos.y2sinyy(2xcosy)2sinyy解：2yxy2y2y222yxlny⑷yy1yy解：yy1lnxey⑸y211ey2yy解：xx(2ye)yy21esiny⑹xesinyx2yyecosy.ysinyey解：xx2yecosyxeey⑺yx3eexy3y2yy3yeyey2解：x8y52⑻xy5ln5x5ln52ln2yyy解：xy122yydy⒋求下列函數(shù)的微分：（注：）ycotxcscx⑴1cosxcsccsccotxx()dxyxdy2解：cosxsinx22lnxy⑵sinx11xlnxxxxxxxy解：xx22ysinx2⑶2xx2xy解：ytane⑹xyseceeseceeeesecx2xx2x3x32x解：⒌求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：1111yxyx1y?x32x322⑴解：2224y3x⑵3ln3ln33ln3ln33xyyxx2解：yx⑶解：1y1yxx2yxx⑷xxxy2yxxxxxxx解：（四）證明題f(x)()fx設(shè)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，試證是偶函數(shù)．9f(x)f(x)證：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)所以()(()()()fxfxfxfx兩邊導(dǎo)數(shù)得：()fx所以是偶函數(shù)。10高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形考作業(yè)3答案：（一）單項(xiàng)選擇題第4章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用fb)f(a)baf(x)滿足條件（），則存在(a,b))f⒈若函數(shù)，使得．(a,b)(a,b)內(nèi)可導(dǎo)A.在內(nèi)連續(xù)B.在(a,b)D.在[a,b](a,b)內(nèi)可導(dǎo)C.在內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)內(nèi)連續(xù)，在⒉函數(shù)f(x)x24x1的單調(diào)增加區(qū)間是（D）．(,2)(1,A.B.D.(2,)(2,)C.yx24x5(6,6)內(nèi)滿足（A）．⒊函數(shù)在區(qū)間A.先單調(diào)下降再單調(diào)上升C.先單調(diào)上升再單調(diào)下降B.單調(diào)下降D.單調(diào)上升f(x)()0fxfx()的（C）．⒋函數(shù)滿足的點(diǎn)，一定是11A.間斷點(diǎn)C.駐點(diǎn)B.極值點(diǎn)D.拐點(diǎn)f(x)(a,b)在x(a,b)()fxfx()x在取到極小值．⒌設(shè)A.內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，，若滿足（C），則00()0,()0fxfx()0,()0fxfxB.D.0000()0,()0fxfx()0,()0fxfxC.0000f(x)(a,b)在()0,()0fxfxfx()在此區(qū)間內(nèi)是（A）．⒍設(shè)內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且，則A.單調(diào)減少且是凸的C.單調(diào)增加且是凸的（二）填空題B.單調(diào)減少且是凹的D.單調(diào)增加且是凹的f(x)(a,b)在(a,b)，且當(dāng)xx()0fxxx()0fxfx()的xx⒈設(shè)內(nèi)可導(dǎo)，時(shí)，當(dāng)時(shí)．，則是0000極小值點(diǎn)．f(x)f(x)是的極值點(diǎn)，則()fxxx⒉若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且0000yx2)(,0)．⒊函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間是f(x)e2(0,)的單調(diào)增加區(qū)間是⒋函數(shù)f(x)[a,b]在()0fx()[,]fxab在上的最大值是()fa⒌若函數(shù)內(nèi)恒有，則．0,2f(x)25x3x3⒍函數(shù)的拐點(diǎn)是（三）計(jì)算題y(x1)(x5)2⒈求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．5(2(2yxxxxx解：令駐點(diǎn)xx5)X1(1,5)5列表：y00+yf極大值：32f0極小值：12yx223在區(qū)間[0,x⒉求函數(shù)解：令：內(nèi)的極值點(diǎn)，并求最大值和最小值．220駐點(diǎn)）yxx，列表：x（1,3）y+y上升極大值2下降yx2x3x1222f(0)3f6f2極值點(diǎn)：f12f6f2y22(2,0)的距離最短．x上的點(diǎn)，使其到點(diǎn)3.求曲線設(shè)p(x,y是y2x上的點(diǎn)2解：，d為p到A點(diǎn)的距離，則：d(x2)y(x2)2xx12222(x2)2y2x1令d02(x2)2x(x2)2x22y2上點(diǎn)2)或-2(2。。L4.圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為，問當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時(shí)，圓柱體的體積最大？()VR2h2h2h解：設(shè)園柱體半徑為R，高為h，則體積3：[(2)22][232]03令VhhLhLhLhhL323323RL當(dāng)h,RL時(shí)其體積最大。35.一體積為V的圓柱體，問底半徑與高各為多少時(shí)表面積最??？解：設(shè)園柱體半徑為R，高為h，則體積VRh13S2RR22V2RVVV：0令SR2RRh3233VVRh3答：當(dāng)時(shí)表面積最大。36.欲做一個(gè)底為正方形，容積為62.5立方米的長(zhǎng)方體開口容器，怎樣做法用料最省？解：設(shè)底長(zhǎng)為，高為h。則：62.562.5xhh2x2250Sx4xhx22側(cè)面積為：x25020xx1255Sx3令x2答：當(dāng)?shù)走B長(zhǎng)為5米，高為2.5米時(shí)用料最省。（四）證明題x0時(shí)，證明不等式xx)⒈當(dāng)．x上對(duì)函數(shù)fxlnx應(yīng)用拉格朗日定理，有證：在區(qū)間1111x,故1ln1xln1xxx)，于是由上式可得其中⒉當(dāng)證：x0時(shí)，證明不等式exx1．設(shè)f(x)e(xx()x10fxe當(dāng)）fx當(dāng),(0xxff(x)0,即e(xx高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形考作業(yè)4答案：第5章不定積分第6章定積分及其應(yīng)用（一）單項(xiàng)選擇題1的一個(gè)原函數(shù)是，則f(x)()fx（）．⒈若x141xA.B.D.x212C.xx3⒉下列等式成立的是（）．fxd()()()d()fxxfxfxC.AB.D.ddf(x)dxf(x)f(x)dxf(x)dxf(x)x(fxx⒊若，則（B）．sinxcxccosA.B.sinxccosxcC.D.dx2f(x)dx（B）．3⒋dxf(x3)2(3)xfxB.A.11f(x)f(x)3C.D.331f(x)dxF(x)cf(x)dx⒌若，則（B）．xF(x)c2F(x)cA.C.B.D.1F(2x)cF(x)cx⒍下列無窮限積分收斂的是（）．1exA.C.B.x1011dxD.xx211（二）填空題f(x)f(xdx。⒈函數(shù)的不定積分是(x)G(x)與FxGxF(x)G(x)()()c與之間有關(guān)系式F。⒉若函數(shù)是同一函數(shù)的原函數(shù)，則dedxe2。x⒊15(tanx)xxc⒋。(x)dxcos3xcf(