幾代-幾何與代數(shù)試卷

為了方便信息學院25為精心準備了這一系列的學習輔導資料本系列涵蓋了高等數(shù)學幾何與代數(shù)等一系列信息學院的必修科目的往年考試以及學長們的學習心得并基于這一列的學習資料建立起溝通的本書為幾何與代數(shù)學習輔導資料，內(nèi)含05214年期末考試真題以及部分年份的詳細的答案析部分答案與學校提供的標準答案相比還有往年學長自己總詳細解答方法以及一題多解本書除了資料詳內(nèi)容豐富以外還兼具了裝幀美性強、搜料，排隊而煩惱，大家可以放心使用。我們旨在建立一個信息交互的平臺，也期望使用這份資料的為我們提供寶貴的建議。這也是我們制作這份系列資料的第一年，若編寫的資料存在任何問題也希望讀者多多諒解，并及時反饋指正，反饋郵箱 ，我們的進步需要的支持與幫助！信息科學與科協(xié)學習輔導中幾何與代數(shù)B期末考試 幾何與代數(shù)B期末考試 幾何與代數(shù)B期末考試 幾何與代數(shù)B期末考試 幾何與代數(shù)B期末考試 幾何與代數(shù)B期末考試 幾何與代數(shù)B期末考試 幾何與代數(shù)B期末考試 幾何與代數(shù)B期末考試 幾何與代數(shù)B期末考試 幾何與代數(shù)學習心 參考答 （A課程名 幾何與代 考試學 05-06- 適用專 電類各專 考試形 120分—二三四五六共共4頁第PAGE4共4共4第PAGE4（A課程名 幾何與代 考試學 06-07- 適用專 電類各專 考試形 120分—二三四五六(30%)填空題（I表示單位矩陣向量(1,0,1),(1,1,0),(1,1,k)共面時參數(shù)k的值為 1 0 1 10 1 1 向量組 ,2 ,3,4 的秩等 2 1 3 1 0 2假設矩陣A1(2,t)，若1是A的特征值，則參數(shù)t的值2二次型f(x,y,z)x22z22xy的正負慣性指數(shù)分別 下列圖形中，能表示二次曲面f(x,y,z)1的圖形的標號

z

，

，

， 由曲線y

若向量組

1

1

,

1

a 2 定滿足條 3 0若A b與B 0相似，則a,b,c 二．（10%）已知向量組1,2,3,4線性無關，問：當參數(shù)p1223212233244p14也線性無關三．（15%）假設p,q是參數(shù)，空間直角坐標系中平面1,2,3的方程分別1:xy2z1，2:2xpyz2，3:3x5y2z（15%）P

2 1 2 1

，

1 0 0 1

APPAA99 1（15%）已知二次型f(xxxx2x2 1f,假設a0，求t 2x2x2x2 2

f(x1x2x3 b 已知矩陣A I，其中，ad2,adbc1。證明：A不 證明：Axb有并且只有nr1個線性無關的解向量。A、B都是可逆的實對稱矩陣，且A、B、ABB1A1也是正共4共4第 卷（A卷課程名 幾何與代 考試學 07-08- 得適用專 考試形 閉 考試時間長度120分—二三四五六七八（21%）若矩陣A 0，n是正整數(shù)，則An 1 假設4階方陣A,1,2,3,B,1,2,3的行列式分別等于23矩AB的行列式AB 點P(1,2,3)到平面2xyz5的距離 設A b，Ba b，則滿足APB的初等矩陣P cd c d 矩陣A x正定的充分必要條件是參數(shù)x滿足條 2 已知二次型f(x,y,z)x2y22z22xz2tyz若f(x,y,z)1表示直角坐標系中的單葉雙曲面，則參數(shù)t滿足條 設ns，若A是sn矩陣，則n階方陣ATA的行列式ATA （9%）假設矩陣A b，若對任意2階方陣B都有ABBA，則(a,b,c) 1 B.(1,0,0) Ｄ． 3 0 0 0 假設矩陣A ,B ,C ,D

A與C相似，B與D合同； Ｂ．A與C合同，B與D相似；Ｃ．A與B相似，C與D合同； Ｄ．A與B合同，C與D相似．存在可逆矩陣P，使得P1APB B.存在可逆矩陣P，使得PTAPＣ.存在可逆矩陣P,Q，使得PAQB xtyz三．（16%）已知平面的方程為xyz1，直線l的方程為 3x2ytz10 0四．（14%）假設矩陣A0 1,B01，求矩陣X，使得A1X2XB 0 2 1 0五．（16%）已知矩陣A 2與B 0相似

求參ab的值

問：是否存在正交矩陣Q，使得QTAQB六．（8%）已知空間直角坐標系中曲線的方程為3zy1y1)，平面x xz2。記2是z求2的方求1與2的交線在xOy平面上的投影曲線A2xAx6x0BxAx，求矩陣CABBC共4共4第PAGE3 卷（A卷課程名 幾何與代數(shù) 考試學 08-09- 得適用專 電類專 考試形 閉 考試時間長度120分—二三四五六七一.（30%）設n是正整數(shù)，矩陣A ，則A O

1 B 若分塊矩陣 與 可交換，且B是可逆矩陣，則A 若3階方陣A的行列式A3，則A的伴隨矩陣的行列式A* 已知A是2階方陣，若trA2，A3，則A的特征值 R3的子空間V{(x,y,z)|xyz0}的一組基 yz直 x如果方程x22y2z22kxz1表示雙葉雙曲面，則參數(shù)k滿足條 若矩陣A,B滿足BATATB 2，則BTAABT 0 2 1如果矩陣A 與B 合同，則參數(shù)a,b滿足條 2 b 0 1二.（10%）設矩陣A 1

三 1a122b233c31 1 1 x1四.（16%）A

2 2,b2,xx

2 3

3 x3 4 4五.（14%）A

1

，

1。 1。 1

于對角陣。如果A相似于對角陣，求對角陣及相應的相似變換矩陣。共4共4第PAGE4六.（8%）設有球面x2y2z22x4y6z0，平面過球面

七.（12%）設n2，n維列向量，且pq都是非零實數(shù)，ApTqT。kkIA共4共4第PAGE4 卷（A卷課程名 幾何與代數(shù) 考試學 09-10- 得適用專 電類專 考試形 閉 考試時間長度120分—二三四五六七一.（30%） 1 1b 1 若A ,B ，且(AB)2A2B2，則ab 1 設2階方陣A(,)，B2,3若BAC則矩陣C xy3z直線x2yz1的一個方向向量 1 1 1如果向量組1,a,2線性相關，則參數(shù)a滿足條 ,向量1在R2的基13下的坐標 ,2 如果1是矩陣

2a的屬于特征值b的特征向量，則(a,b) 假設A是22矩陣，若可逆矩陣P(,)滿足P1AP 0，Q, Q1AQ 假設A是22矩陣若AE,AE都不可逆則行列式A2E 1 2若A1,2 ,n是nn正交矩陣，則BT1 2

r(1rn)的特征多項式r 11二.（10%）設A 1，B 。已知XABX，求X 0 2 x 2x 三.（14%）設線性方程組2x3x

4xb 3x15x2x3(a6)x4當參數(shù)a,b 1 0四.（14%）假設矩陣A 2,B 0，且A與B相似

求參ab的值

證明存在矩陣C,AC2 x2 五.（10%）設是拋物線 繞y軸旋轉所得曲面，2是平面 2 4 z求的方程；求與2xOy平面上的投影曲線的方程；并畫出由、六.（12%）f(xxxx2x2ax24xx2xx 1 2七.（10%）件是Br(B)s。ABnn矩陣，若存在不為零的數(shù)xyABABBA

第第PAGE44 課程名 幾何與代數(shù) 考試學 得適用專 電類各專 考試形 閉 考試時間長度120分—二三四五六七一.填空(2分,30分設向量=(1,1,1),矩陣A=T,則A10 A的秩r(A) ,A的行列式|A| x y 與平面:x2y+z1=0的交點坐標 直線l與平面的夾角 設四面體的四個頂點為:A(0,0,0),B(1,0,1),C(0,1,1),D(1,1,1),則該 面體的體積V 設A,B為3階矩陣,|A|=1,|B|=2,則2AAB 1 0 已知1=02=13=2.若12是向量組123 性無關組,則a ,向量組1,2,3生成的向量空間L(1,2,的一組標準正交基 L(1,2,3)的維數(shù) 0 0當a滿 時,矩陣13與10 0b 0當b滿 時,矩陣1b與1b 0曲線y2z10繞z軸旋轉一周所得的曲面S的方程 x曲面S的與平面2x+2yz2=0的交線到xOy平面的投影柱面S1的方程 設二次型f(x,y,z)=x2+2y2+kz2+2yz,則參數(shù)k滿足 二次曲面f(x,y,z)=1為單葉雙曲面.1 21 2 12n.三.(12分)設三個平面1:x+2y+z= 2:2x+5y+z= 3:xy+az=ab滿足什么條件時這三個平面交于一點?a,b滿足什么條件時這三個平面交于一條直線?a,b滿足什么條件時這三個平面無公共交點?,101 1四.(6分)設32矩陣X滿足AX=B,其中A= 20,B=02,求 00 0 1011五.(20分)設矩陣A= 11 A的特征值和特征向量P和對角矩陣,P1APQ,Q1AQ為對角矩陣?為什么B=023 x00B=02300 f(xx2x1,求行列式|f(A)|的值六6分)f(xy,zxy二次型f(x,y,z)的秩 ,正慣性指數(shù) 曲面(x+yz)2x=0的類型,并作出其草圖(能體現(xiàn)曲面的種類即可,不必七10分)1.nAA*O,1,2Ax=的兩個不同的解.證明A3階實矩陣,而且||A||=||||3維列向量都成立.證明:A為共4共4第PAGE4 課程名 考試學 適用專 考試形 閉 考試時間長度120分—二三四五六七12為2維列向量，A1,2BB

(12,212，且A3，則

A

AB；設A是3階矩陣將A的第2列加到第3列得到則滿足APB的P L:x2yz1 2xyz20的直線方程 R3空間的3個向量,,共面，則它們的線性相關性 向量(1,2,2)T,(2,1,1)T，則內(nèi)積2,2

2，若，則向量的長度

2 2 與對角矩陣相似，則t A設3階矩陣A的特征值互異 則A的秩 設矩陣A是3階正定矩陣，則方程xTAx10表示的二次曲面類型是。11432

A A 1

AX8EO x1x2x x2xax （14%）設線性方程組 4xa2x x2x2x2 （12%）設1,1,1)TATBEAB*B六、（14%）f(x,x,xx23x2x22axx2xx2xx的秩為2 1 1 2二次曲面f(x1,x2x34的類型，作出該二次曲面的草圖。ABnAB0AB0和PTBP均為對角共4共4第PAGE4 卷（A卷課程名 幾何與代數(shù) 考試學 14-15- 得適用專 電類專 考試形 閉 考試時間長度120分—二三四五六七一.（30%） 若設A= )，B=

)滿足AB=BA，則x ，y 設三階方陣A=(??，??，??)，B=(??，??，??)，且|??|=?1，|??|=2，則|????|直線

??+2??+3??=2??+3??+4??=

與x+y+z+1=0的夾角 = 曲面??2+2??2+???1=0與z=2xy的交線在xOy平面內(nèi)的投影曲線L. 設n階方陣A與n維列向量ξ滿足Aξ≠0,Aξ=0,則向量組ξ，AξAξ關 一定與Ax=b同解① ②PAx= ③??????????= ④???1??????= 設 實矩陣( ??)與 0)合同的充分必要條件是 ， 設n階方陣A的秩為1，tr(??)=2，則滿足??2=????的實數(shù) （6分）設??1?1)，??21)，??33)，??40).求向量組??1??2??3??4的

??1+??2+??3+5??2=??2+3??4=

??1+(??+1)??3+2??4=???1???3?2??4=???（8分）

??，其中A=( ?1 0，求矩陣X使得BX=????B=)E=) B=)E=)011（12分）設A=(0?1)10A的特征值和特征向量求標準正交向量組??1??2,??3和實數(shù)??1??2,??3使得A=k??1????+??2??2????+??3??3???? 六（12分）設二次型f(??)=????????,其中A= 1+ ??)，x=(??2) 1.用配方法把二次型f(??)化為標準形，并寫出所用的可逆線性變換xPy)=（8分）c是曲面??22??????10與yOz平面的交線，Scz軸旋轉求曲線c的方程八、證明題（每小題5分，共10分）設平面??????????+??????+??????=????的法向量??=(????????????)，i=1,2,3.證明：三平面??1??2交于一點的充分必要條件是它們的法向量1,2,3不共面2.設A=(??????)3×3為非零實矩陣，??????的代數(shù) 式為??????.若對于任意的i,j=1,2,3，有??????=??????，證明：A為正交陣.作為一個學完幾代的學長我在此單和大家一些自己認真上好每一堂課對于學習好幾代是格外重要的。上的知識和技主要由老師在堂上以授課的形式傳授你。你在上應集精力聽講，積極思考老師問題，迅速而恰當?shù)刈龉P記。，看書的準確程序是：課前看書(通讀，留神有疑問處)，課上盡量不看書(老師要求看書時除外)，下課后再看書(復習鞏固)。有的人恰恰相閱讀教科書外的其它不同作者在編書時，思路、組材、行文和側重點等方面都是有一些子差異的。僅僅閱讀一本，不免會使你陷入"偏聽則暗"的狹隘局限。因此，我建議在學校統(tǒng)一訂購的之外，還應多參考幾本來自其它作者、高校和的線性代數(shù)。在老師講授教科書，同與其它數(shù)學課程的學習方法一樣，幾代的學習也要特別注重理。死記背或會起一的效果透理解方能握。注理解重要概念，如：模、秩、基等。了掌握提供的例題的解法以外自己還要延伸思考與其相行幾代習題般分基礎、點題部分前者容易，者有大一分較為。果僅僅了考過關那么慎用“題?！睉?zhàn)和能力結果搞得焦爛額信心無。其，上的例最后，祝大家都能學好這一.（24%）

05-06-2c d 2x+y+z?3=

a b 3.(1，1，?(1,,xk(0,1,1)T 35(1,,2

5.434

6.k>1或k< 二.（30%）

06-07-21.- (1，1，1 3.? 2和1 5.z=??2+ 6.a≠1,b≠7.三.P≠8四五.（30%）

0708 1. 0；2.40；3. 6 0； 0x 6t1或t17.08.k1或k1二 八八.六.（30%）

0809 n 1. 1；2.O；3. 4.9； -1和 6.1和1 x27. z38.k1或kx2

010a2且b 二 0 0

0 0

-2A-2E

1 3由 -3初等列變換 2得X 1 1

3 3

-1 3解：若1，2，3線性相關，則存在不全為0的三個實數(shù)k1,k2,k3,使得k11+k22+k33=0,即k1a1-k12+k2b2-k23+k3c3-k31=0,化簡得：(k1ak3)1k2bk1)2k3ck2)30又因為1,2,3線性無關， 1k1所以k1a-k3=0,k2b-k1=0,k3c-k2=0,構造矩陣

0k2ck3 0 易知0為一解，因此若保證k1,k2,k3不全為0，則 00解得:abc

- -1解：1:若是A的特征向量，則(E-A)=,即 b

11 ab解之得： 1

:若二重特征值為2，則

4

，由特征值的性質可推出a2,b若二重特征值為0，同理可推出a0,b2。二重特征根為二時，E- = 0，經(jīng)過初等行變換得 0，故=2時，E-A 1 0有基礎解系1=0，2=1，=0時，0EA

有基礎解系10，因此矩陣A有三個線性無關的特征向量，從而相似于對 若令P=

0

- 01,2,3

0

,則A是可逆矩陣，且

AP

0 2 二重特征根為0時，同理分析可得A不相似于對角解：直線L的方向向量為2,3，球心為2,3，則的方程為y+2+z-=01，x2y2z22x4y6z0x2y2(z3)22x4y9將(1)代入(2)得x2y28y52x七·證明：1：A=PT=PT=P；A=PT+qTqT所以，均為A的特征向量，特征值分別為2:2rArPTrqT2,已知特征值數(shù)pq為2，所以 q q 相似于對角陣 滿足3個條件，k+p0,k0kq一.（30%）

0910 a

1 ；2. 3；3.(5,4, 0

4.2

； a

4； ； (0,2)；8.

；9.3

nr(1)r 1二.解：X(AE)B，XB(AE)1 1

122AE22

，(AE)1

0

0 X 0 5

三 1 1 1 1 1 1 a b2 a b a

a

a 有唯一解a1；……………2有無窮多解a1,b3；…………………2無解a1,b3 1 1 1 1 1

1 0 2 1 0 0 0 0 x12x3 1x2x，x3,x4是任意常數(shù) 四 若 B，則trAtrB,AB，即a5b4,6(a1)4b 故a5,b6 0 A2E1 0 3

0 故(A2E)x有基礎解系(1,0,1)T,(0,1,1)T 2 2 0 故(A2E)x有基礎解系3(1,2,3)T 1所以，可以令P,, 3 令Mdiag( 6)，C則，C2(PMP1)2PM2P1PBP1 五 x2z2x22y22xy4x9yz六f(x,x,x)(x2x)2(xx)2(a y1x1 令y2x2x3，即x2y2y3 y x 得f(x,x,x)y2y2( 2 A A的特征值都大于零

的正慣性指數(shù)為3a5 f(x,yz)1表示單葉雙曲面七

的正、負慣性指數(shù)為2、1a 必要性：若BABT是正定的，則BABT可逆從而sr(B)r(BABT)s，故r(B)s r(Bsr(BTsBTx只有零解。對任意xBTx，所以，BABT是正定的 ABxAyB，所以AyE)(BxExyE

1(BxE)]E，即(AyE)1 (BxE) 1 11

(BxEAyE)E，即(BxEAyE)從而BAxAyB，故ABBA 一.（30%）

1011

?11.

0)，1，

，±(,,1

√3√32.x?3y+2z+1=0,(?8,?1, 3.√31 4.

)；5.a1,??1??2或??1??3或??2??3 6.10)2 7.A或 3),B

二6分 d d(a(a(a解r3r32r2r4

(b(b(b

(c(c(c

(d(d(dd

rii2,3,

2a12b12c12d4a44b44c44d6a96b96c96d2a12b12c12d

=三8分) 1 0 1 111 解:令A= ,=因為平面123交于一條直線,r(Ar(A 0r33r21 0 1r

1 0 111 03a1 00a b故由(A,)= a4b30,a4b12 0r12r21 01 1 01 1

yt0 0

z解:由 可得Ax=的通解 (tx2y1ls311),對稱方程為注:也可以由(1,2,1)(2,5,1)=(3,1,1)s.四8分解:AXBX得(A+E)X

120 6 10 3 302 02 01 0 020

00 1

1由(A+E,B)= 得X= 00 3 210 0 注:也可以先求得(A+E)1= 202,再得X=(A+E)1B=13五.(8分 1._x2+y2z1=解:x2y2z102x+2yz2相減并整理得(x1)2y1)2S1的方程.(x1)2(y1)2z六20分解|EA|

1)(2)2.A的特征值為113200 1000 000110

00解:EA= ,可見(EA)x=0的一個基礎解系為1=(0,1,A的對應于11k1(k10 100 00 010 0 2EA= 可見(2EA)x0的一個基礎解系為2(10A的對應于232k2(k答:A不相似于對角矩陣.2A的二重特征值,但只有一個線性無關的特征向量與之對應另外,設123A的特征向量,則123能由12線性表示,因而12,3線性相關,A3個線性無關的特征向量,A不相似于對角矩解:BA相似,x2y5,2xy4,x=2y1,x1,y=x2y1時r(2EB1r(2EA2BA相似x1y2時,Pp1p2p3)P1APB,APPB,Ap1=p1,Ap2=2p2,(A2E)p3=2題的結果,p11p22及(A2E)x3p2p330P1APB的確成立.x1y|f(A)| 七10分)解:f(xyzx22y2kz24yzx22(y+z)2 x 1 0u 1 0 0 0 w z 0 1

010 令 則 ,其中 可逆,f(x,y,z)=u2+2v2+由此可見k2時,f(xyz1為單葉雙曲面;k=2時,f(x,y,z)=1為橢圓柱面;k>2時,二次曲面f(x,y,z)=1為橢球面.八10分11)證明:因為12Axb的兩個不同的解,所以12是齊次線性方程組Ax的非零解.因而|A|0.A*O,An1階子式不為零,r(A(2)證明:由上題知|A|0.AA*|A|EO,A*Ax的解12Ax的一個基礎解系,A*A*=(k1(12),k2(12),...,證一:A123e1(100)Te2(010)Te3(00由條件可知||i||||Aei||||ei||=1(i=1,2,3),1ij3,有2||eiej||2||A(eiej)||2||ij||2||i||22iTj||j||222iTj,可見iTj=0.綜上所述A為正交矩陣證二：由條件可知,3維列向量,TATA=(A)TA=||A||2=||||2=T=所以T(ATA-E)0,BATAE為實對稱矩陣BObiieiTAej0(eiej)TA(eiejbii+bjj+2bij0,bijATAE,A為正交矩陣證三:由條件可知,3維列向量,TATA=(A)TA=||A||2=||||2=T=因而ATA=E,A為正交矩陣.證四:A123x1x2x3)T.21T1x12+2T2x22+3T3x32+21T2x1x2+21T3x1x3+223=(A)TA=||A||2=||||2=x12+x22+x3由的任意性可知1T1=2T23T3=1,1T2=1T3=2T3=ATAE,A為正交矩陣證五：由條件可知,3維列向量,TATA=(A)TA=||A||2=||||2=T=所以T(ATA-E)=0,ATAE,A為正交矩陣證六：由條件可知,3維列向量,TATA=(A)TA=||A||2=||||2=T=,2 3從而存在正交變換=Qy,f()=T(ATA-E)1y12+y2+2 3注意到上式對于任意的y都成立，所以1=2=3=ATAE,A為正交矩陣 a13 A ,abab

a A2

33 3ababab2ababab2ababab2b2b2 11 12 31 32 a2a2 b2a2a2 b2a2a2 2a11a12a21a22a31a32b1b22a11a13a21a23a31a332aaaaaabbb2b2 a2a2a2 a2a2a2a

1112a21a22a31a32aaa a 11 21 31a12a13a22a23a32a33 a2a2 aaaaa aaaaaa 10ATAa

a

11 21 31 12 2222323233 aaaaa aaaaa aa

0011 21 31 12 22 32 ATAE,A為正交矩陣1112 1213 一.（30%） 1；

1； 0；4.5xy2z7； 2 2x2y2xy ； z二

p

；

3； ；10.33

123 11

12n(n 2三.解：PBA1，QP1C 02 2 B1 0 1 Q 0 4 四解：D (p1)2(p 所以，1,2,3是1,2,3,4的極大無關組當且僅當1,2,3線性無 當且僅當D0，即p1,2，q可以任意取值 若1,2是極大無關組，則1,2,3p1or2p1時，1,2p1當p2時，1,2,3線性相關，1,2線性無關 又(,,,等行變換

3 q

312，421 五.解：設的方程是6x3y2zD 17 61322(1)D 17 D3or 的方程是6x3y2z3或6x3y2z17 六.解：EA(1)(1)2。所以，A的特征和值是1，1（二重 如果A相似于對角陣，則相應于特征值1，A有兩個線性無關特征向量，即r(AE)1，于是k0。 (AE)x0有基礎解系：(0, 0故，若令P 2 1 則P1APdiag1, 七 因為行列式是特征值之積，故A1 A相似于對角陣，則1,1都是r(2故r(A)r()2 又r(A)r(T)r(T)112。所以，r(A) 1314 一.（30%）221.-9 36.3, 7.2x+2y+z?3= 8.c< 9. 10.12二二…0…00D=0…00|?????00…0000…0=????[???(??????1)](??≠差??0，則D?????3);Dbc(?????=三.112行變011100???112行變011100???0

???因為秩為2，∴ ??4)=2,∴a?1=b?4=0即a=1,b=因為??1，??2線性無關，∴可取??1??2為??1 從上述行變換所得階梯形，可觀察出：??3=??1+??2，??4=??2?2??1)，得=)四.)，得=)

=)，=)，由

= =

A=

)，可得

=

)= |??| 1 五.????????=因為??????是一個數(shù)，∴????????=??(??????)=1+1111111+111111+11111+111111+1(????+??????,??)=??+ ??+ ??+ ??+ →( 1+ 1+ 1+ 1111000②當??+4≠01111000②當??+4≠0時，(????+????????)000000(

4444若??≠0，則有唯一解；若??=0時，通解為??1=1(??2+??3+綜上可得：當??0且??≠?4時，x唯一；當??=0時，不唯一，x1??2??3??4 其中??2，??3，??4為自由六..（1）A=P???1?????=AP=A(??,????,??2??)=(????,??2??,??3??)=(????,??2??,?4????+000=(??,????,??2??)0014000∴B