2020高中數(shù)學(xué) 第1章 集合 2 集合的基本關(guān)系學(xué)案 1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE13-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§2集合的基本關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解集合之間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集．（重點）2。理解子集、真子集的概念．（易混點)3。能使用Venn圖表達集合間的關(guān)系，體會直觀圖對理解抽象概念的作用．（難點)1。通過學(xué)習(xí)子集、真子集的概念，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。2。通過使用Venn圖表達集合間的關(guān)系，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).閱讀教材P7從本節(jié)開頭到P8“例1”之間的內(nèi)容，完成下列問題．1．子集（1)子集的定義一般地，對于兩個集合A與B，如果集合A中的任意一個元素都是集合B中的元素，即若a∈A，則a∈B，我們就說集合A包含于集合B，或集合B包含集合A,稱集合A為集合B的子集,記作A?B（或B?A)，讀作“A包含于B”(或“B包含A"）．(2）子集的有關(guān)性質(zhì):①?是任何集合A的子集，即??A。②任何一個集合是它本身的子集,即A?A.③對于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C。④若A?B,B?A，則稱集合A與集合B相等，記作A＝B。思考1：（1）集合A＝{x|x2－4＝0}，B＝{2}有怎樣的包含關(guān)系？（2）??{?｝正確嗎？［提示］（1）由A＝{－2,2｝，得A?B.（2)正確．由空集是任何集合的子集，知??｛?｝．2．真子集對于兩個集合A與B，如果A?B，并且A≠B,我們就說集合A是集合B的真子集，記作AB。思考2：如果非空集合A、B滿足AB,那么集合A、B的元素有什么特點？[提示］集合A中的元素都是集合B的元素，且集合B中至少有一個元素不屬于A。3．Venn圖為了直觀地表示集合間的關(guān)系，常用封閉曲線的內(nèi)部表示集合,這種圖稱為Venn圖，這種表示集合的方法叫作圖示法．思考3:下圖中的集合A，B，C有怎樣的關(guān)系？[提示]ABC.1．已知集合A＝{x｜－1〈x<2},B＝{x｜0≤x≤1}，則()A．B?A B．ABC．BA D．A?BC［把集合A,B在數(shù)軸上表示出來．觀察上圖知，BA.]2．集合{x|0<x<3且x∈Z｝的子集有________個．4[由{x|0〈x<3且x∈Z｝得集合{1，2｝，故子集有4個．］3．已知｛0，1｝A?{－1，0，1｝，則集合A＝________.｛－1,0,1｝[由｛0,1｝A，知集合A含有元素0與1,且至少有3個元素．又A?{－1，0，1｝，則A＝｛－1，0，1｝．］4．已知A＝{正方形｝,B＝{矩形}，則集合A，B的關(guān)系是________．［答案］AB判斷集合間的關(guān)系【例1】用適當(dāng)?shù)姆柼羁?（1)?________｛x|x2－1＝0}；（2）{x｜x－1〉0}________｛2｝；（3）｛0，1，2}________N;（4）｛x｜x是矩形}________｛x|x是菱形｝．［思路探究]從考察兩集合元素的特征入手,利用包含關(guān)系的定義判斷．[解](1）｛x|x2－1＝0｝＝{－1，1｝，故?{x|x2－1＝0｝；(2）2∈｛x｜x－1〉0}，故{x｜x－1>0｝{2}；（3）{0，1，2}N；（4){x｜x是矩形}{x｜x是菱形｝，且｛x|x是矩形}?｛x|x是菱形｝．[答案］(1)(2）（3)判斷集合與集合關(guān)系的常用方法：1將集合用列舉法表示，通過觀察元素來判斷。2設(shè)A＝｛x｜px}，B＝{x｜qx}。①若px推出qx,則A?B；②若px推不出qx，則AB。1．已知集合A＝eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝k＋\f（1，2），k∈Z））)）,B＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝\f（k，2)＋1，))））eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(，k∈Z,)）））,則集合A，B之間的關(guān)系為()A．AB B．BAC．A＝B D．AB且B?AA[A＝eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝\f(2k＋1,2)，k∈Z))）)，B＝eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f（k＋2，2），k∈Z))））。∵{2k＋1｜k∈Z}{k＋2|k∈Z}，∴AB。]確定有限集合的子集【例2】(1)集合{a，b，c｝的所有子集為________，其中它的真子集有________個．(2）寫出滿足{3，4｝P?{0，1,2，3，4｝的所有集合P。（1)?，{a},，{c｝,{a，b｝，{a，c}，{b，c},{a，b，c｝7[集合｛a，b,c｝的所有子集為?,{a｝，，｛c｝，｛a，b｝,｛a，c}，｛b，c}，｛a，b，c},其中{a，b，c｝不是它本身的真子集，故真子集的個數(shù)為7.]（2)解：由題意知,集合P中一定含有元素3，4并且是至少含有三個元素的集合．因此所有滿足題意的集合P為｛0,3，4｝，｛1,3,4｝，｛2,3,4｝，{0,1，3,4}，{0,2，3,4｝，｛1,2,3,4}，{0，1，2,3,4}．求解有限集合的子集問題，關(guān)鍵有三點:1確定所求集合；2合理分類，按照子集所含元素的個數(shù)依次寫出；3注意兩個特殊的集合,即空集和集合本身.一般地，若集合A中有n個元素,則其子集有2n個,真子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個。2．(1）已知集合M＝｛x∈Z|1≤x≤m},若集合M有4個子集，則正整數(shù)m＝（）A．1 B．2C．3 D．4（2）若集合A｛1,2,3}，且A中至少含有一個奇數(shù)，則這樣的集合有________個．(1)B(2）5[（1)根據(jù)題意,集合M有4個子集,則M中有2個元素，又由M＝{x∈Z｜1≤x≤m}，其元素為大于等于1而小于等于m的全部整數(shù)，則m＝2。(2）若A中含有一個奇數(shù),則A可能為{1}，{3}，{1，2｝，｛3，2}；若A中含有兩個奇數(shù)，則A＝｛1，3｝．]已知集合間的關(guān)系，求參數(shù)的范圍[探究問題］1．已知集合A＝｛x｜x〈1｝，B＝{x|x〈a},若A＝B,則實數(shù)a的取值是多少?提示：如圖，由圖可知，a＝1。2．探究1中“A＝B"改為“A?B”，其他條件不變，則實數(shù)a的取值范圍是多少？提示：由圖可知a≥1.3．探究1中“A＝B"改為“BA”，其他條件不變,則實數(shù)a的取值范圍是多少?提示：由圖可知，a〈1.【例3】(1）已知A＝{x｜－2≤x≤5｝，B＝｛x|m＋1≤x≤2m－1}，B?A，則實數(shù)m的取值范圍是________．(2）已知集合A＝{a，a＋b,a＋2b｝，B＝{a,ax,ax2｝，a，b∈R.若A＝B，則實數(shù)x＝________。［思路探究]利用數(shù)軸表示集合A，B，根據(jù)A與B的關(guān)系觀察端點之間的關(guān)系,列不等式求字母的取值范圍或值．（1）{m｜m≤3｝（2)－eq\f(1，2）[(1)因為A＝{x|－2≤x≤5｝,又B?A,故需分兩種情況討論：①若B＝?，則m＋1>2m－1，即m〈2，此時，總有B?A，故m〈2.②若B≠?，則m＋1≤2m－1，即m≥2，由B?A得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－2≤m＋1，，2m－1≤5，））解得2≤m≤3.綜合①②可知m的取值范圍是｛m｜m≤3｝．(2）若eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝ax，，a＋2b＝ax2，)）則a＋ax2－2ax＝0，所以a（x－1)2＝0,即a＝0或x＝1。當(dāng)a＝0時，集合B中的元素均為0，故舍去;當(dāng)x＝1時，集合B中的元素均相同，故舍去．若eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＋b＝ax2，,a＋2b＝ax，)）則2ax2－ax－a＝0.因為a≠0,所以2x2－x－1＝0，即(x－1)（2x＋1）＝0。又x≠1，所以只有x＝－eq\f(1，2）。經(jīng)檢驗,此時A＝B成立．綜上所述x＝－eq\f（1,2）。］1．（變結(jié)論)是否存在實數(shù)m,使得本例(1）的集合A與B滿足A?B?[解］假設(shè)存在實數(shù)m，使得A?B，A＝｛x｜－2≤x≤5}．所以B不為?,則有eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m＋1≤－2，,2m－1≥5，))又因為該不等式組的解集為?,故不存在實數(shù)m，使得A?B。2．(變條件)將本例(1）中的條件變?yōu)锳＝{x|－1≤x≤1},B＝｛x｜m－1≤x≤1－2m}且B?A.求m的取值范圍．［解］①當(dāng)B≠?時，∵B?A，∴借助數(shù)軸表示如圖所示：則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m－1≥－1，,1－2m≤1，，m－1≤1－2m，））解得0≤m≤eq\f(2，3).②當(dāng)B＝?時,m－1〉1－2m，得m>eq\f(2,3).綜上所述m≥0.已知集合關(guān)系求參數(shù)范圍的一般方法1通常借助數(shù)軸，把兩個集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)。2當(dāng)某一個集合的端點中含有字母時，要判定兩個端點的大小，不確定時要分類討論，當(dāng)左邊的端點大于右邊的端點時，集合為空集，這種情況容易被忽視.3比較端點大小時要注意是否能取“＝”,不好確定時要單獨驗證參數(shù)取“＝”時的值是否符合題意。1．對子集、真子集有關(guān)概念的理解（1)集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素,即由x∈A，能推出x∈B，這是判斷A?B的常用方法．(2）不能簡單地把“A?B"理解成“A是B中部分元素組成的集合”,因為若A＝?時，則A中不含任何元素；若A＝B，則A中含有B中的所有元素．（3)在真子集的定義中，A，B首先要滿足A?B，其次至少有一個x∈B,但x?A.2．集合子集的個數(shù)求集合的子集問題時，一般可以按照子集元素個數(shù)分類,再依次寫出符合要求的子集．集合的子集、真子集個數(shù)的規(guī)律為:含n個元素的集合有2n個子集，有2n－1個真子集，有2n－2個非空真子集．3．涉及字母參數(shù)的集合關(guān)系問題，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．1．思考辨析(1）空集是空集的子集．()(2)任何集合都至少有兩個子集．()（3)若AB,且B?C，則AC.（)[答案](1）√(2）×（3）√2．集合A＝｛x｜0≤x〈3,x∈N}的真子集的個數(shù)為（）A．4B．7C．8 D．16B[A＝{0,1，2｝，其真子集為?，{0}，{1｝,｛2}，{0,1｝，{0,2}，｛1,2｝，共7個．］3．如果A＝｛x｜x＋1〉0}，那么正確的結(jié)論是()A．0?A