【班海精品課件】北師大版（新）八年級下-1.1等腰三角形 第四課時(shí)

1.等腰三角形第4課時(shí)一鍵發(fā)布配套作業(yè)&AI智能精細(xì)批改（任務(wù)-發(fā)布任務(wù)-選擇章節(jié)）目錄課前導(dǎo)入新課精講學(xué)以致用課堂小結(jié)課前導(dǎo)入情景導(dǎo)入等邊三角形有哪些性質(zhì)？復(fù)習(xí)回顧班?！蠋熤腔劢虒W(xué)好幫手班海，老師們都在免費(fèi)用的數(shù)學(xué)作業(yè)精細(xì)批改微信小程序！感謝您下載使用【班海】教學(xué)資源！為什么他們都在用班海？一鍵發(fā)布作業(yè)，系統(tǒng)自動(dòng)精細(xì)批改（錯(cuò)在哪？為何錯(cuò)？怎么改？），從此告別批改作業(yè)難幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，培養(yǎng)規(guī)范答題好習(xí)慣，提升數(shù)學(xué)解題能力快速查看作業(yè)批改詳情，全班學(xué)習(xí)情況盡在掌握多個(gè)班級可自由切換管理，學(xué)生再多也能輕松當(dāng)老師無需下載，不占內(nèi)存，操作便捷，永久免費(fèi)！掃碼一鍵發(fā)布數(shù)學(xué)作業(yè)AI智能精細(xì)批改(任務(wù)-發(fā)布任務(wù)-選擇題目)情景導(dǎo)入歸納等邊三角形的性質(zhì)：(1)等邊三角形的三邊都相等；(2)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°；(3)等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，分別為三邊的垂直平分線；(4)各邊上的高、中線、對應(yīng)的角平分線重合，且長度相等．新課精講探索新知1知識點(diǎn)等邊三角形的判定一個(gè)三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形？一個(gè)等腰三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形？請證明自己的結(jié)論，并與同伴交流.探索新知總

結(jié)定理三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.定理有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.探索新知1．判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；判定定理2：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．2．應(yīng)用注意事項(xiàng)：判定定理1在任意三角形中都適用，判定定理2適用的前提是等腰三角形；因此要結(jié)合題目的條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ剿餍轮鐖D，在等邊三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，OB，OC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接OE，OF.求證：△OEF是等邊三角形．例1導(dǎo)引：從題中條件看，利用三角形的外角性質(zhì)易求∠OEF＝∠OFE＝60°，從而證明△OEF是等邊三角形．探索新知∵E，F(xiàn)分別是線段OB，OC的垂直平分線上的點(diǎn)，∴OE＝BE，OF＝CF.∴∠OBE＝∠BOE，∠OCF＝∠COF.∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.又∵BO，CO分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBE＝∠BOE＝∠OCF＝∠COF＝30°.∴∠OEF＝∠OFE＝60°.∴∠EOF＝180°－2×60°＝60°.∴△OEF是等邊三角形．證明：探索新知總

結(jié)證明一個(gè)三角形是等邊三角形的方法：(1)若已知三邊關(guān)系，則選用等邊三角形定義來判定；(2)若已知三角關(guān)系，則選用“三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形”來判定；(3)若已知是等腰三角形，則選用“有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形”來判定．典題精講等腰三角形補(bǔ)充下列條件后，仍不一定成為等邊三角形的是(

)A．有一個(gè)內(nèi)角是60°B．有一個(gè)外角是120°C．有兩個(gè)角相等D．腰與底邊相等C典題精講2如圖，△ABC是等邊三角形，D，E，F(xiàn)為各邊中點(diǎn)，則圖中共有等邊三角形(

)A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)D典題精講下列三角形：

①有兩個(gè)角等于60°的三角形；②有一個(gè)角等于60°的等腰三角形；③三個(gè)外角(每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角)都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有(

)A．①②③

B．①②④C．①③

D．①②③④D典題精講4如圖，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若點(diǎn)M，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△PMN有(

)A．1個(gè)

B．2個(gè)C．3個(gè)D．3個(gè)以上D探索新知2知識點(diǎn)含30°角的直角三角形的性質(zhì)做一做用兩個(gè)含30°角的全等的三角尺，你能拼成一個(gè)怎樣的三角形？能拼出一個(gè)等邊三角形嗎？由此你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？說說你的理由.探索新知?dú)w納定理在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.探索新知已知：如圖(1)，

△ABC是直角三角形，∠C

＝90°，∠A＝30°求證：BC＝AB.ABC(1)探索新知證明：如圖(2)，延長BC至點(diǎn)D，使CD＝BC，連接AD.∵∠ACB

＝90°，∠BAC＝30°.∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.∴AC

＝AC，∴△ABC≌△ADC(SAS).∴AB＝AD(全等三角形的對應(yīng)邊相等）.∴△ABD是等邊三角形（有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形）∴

BC＝

BD＝

AB.ABC(2)D探索新知性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，

那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．要點(diǎn)精析：(1)適用條件——含30°角的直角三角形，(2)揭示的關(guān)系——30°角所對的直角邊與斜邊的關(guān)系．探索新知求證：如果等腰三角形的底角為15°，那么腰上的高是腰長的一半.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高.求證：CD＝AB例2

ABCD探索新知在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15°

∴∠ACB＝∠B＝15°(等邊對等角).∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.∴CD是腰AB上的高，∴∠ADC＝90°.∴CD＝

AC(在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等

于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半).∴CD=AB.證明：探索新知例3

如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，DE∥AB，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長線于點(diǎn)F.(1)求∠F的度數(shù)；(2)若CD＝2，求DF的長．導(dǎo)引：(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDC＝∠B＝60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；(2)易證△EDC是等邊三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解．探索新知(1)∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.(2)∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°.又∵∠EDC＝60°，∴△EDC是等邊三角形．∴ED＝DC＝2.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.解：探索新知總

結(jié)利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵要有兩個(gè)要素：一是含30°的角；二是直角三角形．

根據(jù)這兩個(gè)要素可建立直角三角形中斜邊與直角邊之間

的關(guān)系．典題精講1如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，且BD＝1，求AD的長.因?yàn)镃D是△ABC的高，所以∠BDC＝90°.又因?yàn)椤螧＝60°，所以∠BCD＝30°.所以BC＝2BD＝2.在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，所以∠A＝30°.所以AB＝2BC＝4.所以AD＝AB－BD＝4－1＝3.解：ABCD典題精講如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，則BC＝(

)A．6

B．

C．

D．12A典題精講3如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，則下列關(guān)系式正確的為(

)A．BD＝CDB．BD＝2CDC．BD＝3CDD．BD＝4CDB典題精講如圖，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，AD⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)D，則AD的長為(

)A．3cmB．4cmC．5cmD．6cmC4易錯(cuò)提醒已知∠AOB＝30°，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，P1與P關(guān)于OB對稱，P2與P關(guān)于OA對稱，則以P1，O，P2三點(diǎn)為頂點(diǎn)所確定的三角形是(

)A．直角三角形B．鈍角三角形C．等腰直角三角形

D．等邊三角形易錯(cuò)點(diǎn)：對有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形的判定方法不理解導(dǎo)致出錯(cuò)D易錯(cuò)提醒如圖，連接PO.∵點(diǎn)P1與P關(guān)于OB對稱，∴OP1＝OP，∠P1OB＝∠POB.同理，OP2＝OP，∠P2OA＝∠POA.∴OP1＝OP2，∠P1OP2＝2∠POA＋2∠POB＝2(∠POA＋∠POB)＝60°.∴△OP1P2為等邊三角形．易錯(cuò)提醒本題易錯(cuò)的原因：(1)不會(huì)利用軸對稱的性質(zhì)證明OP1＝OP2，∠P1OP2＝60°；(2)不會(huì)用有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形的判定方法．學(xué)以致用小試牛刀1

如圖，木工師傅從邊長為90cm的正三角形木板上鋸出一正六邊形木板，那么正六邊形木板的邊長為(

)A．34cm

B．32cmC．30cmD．28cmC小試牛刀如圖是某商場一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖，其中AB，CD分別表示一樓、二樓地面的水平線，∠ABC＝150°，BC的長是8m，則乘電梯從點(diǎn)B到點(diǎn)C上升的高度h是(

)A．3mB．4mC．5mD．6B2小試牛刀已知等邊三角形ABC的邊長為12，D是AB上的動(dòng)點(diǎn)，過D作DE⊥AC于點(diǎn)E，過E作EF⊥BC于點(diǎn)F，過F作FG⊥AB于點(diǎn)G.當(dāng)G與D重合時(shí)，AD的長是(

)A．3B．4C．8D．9C3小試牛刀4如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AE＝BE，D為EC的中點(diǎn)．(1)求∠CAE的度數(shù)；(2)求證：△ADE是等邊三角形．小試牛刀∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝

×(180°－120°)＝30°.∵AE＝BE，∴∠BAE＝∠B＝30°.∴∠CAE＝120°－30°＝90°.(1)解：小試牛刀∵∠CAE＝90°，∠C＝30°，∴AE＝

EC.又∵D為EC的中點(diǎn)，∴ED＝

EC.∴AE＝ED.又∵∠AED＝∠B＋∠BAE＝30°＋30°＝60°，∴△ADE是等邊三角形．(2)證明：小試牛刀5如圖，已知AC⊥BC，垂足為C，AC＝4，BC＝3，將線段AC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AD，連接DC，DB.(1)線段DC＝________；(2)求線段DB的長度．4小試牛刀(2)如圖，過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，易得△ADC是等邊三角形，∴∠ACD＝60°.∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°.∴∠DCB＝30°.∴DE＝

CD＝2.∴CE＝2∵BC＝3∴BE＝

在Rt△BDE中，DB＝解：小試牛刀6如圖，△ABC為等邊三角形，AE＝CD，AD，BE相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于點(diǎn)Q，PQ＝3，PE＝1.(1)求證：BE＝AD；(2)求AD的長．小試牛刀∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°.又∵AE＝CD，∴△ABE≌△CAD.∴BE＝AD.(1)證明：小試牛刀由(1)知△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD.∴∠BPD＝∠PAB＋∠ABE＝∠PAB＋∠CAD

＝∠BAC＝60°.又∵BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°.∴BP＝2PQ＝6.∴BE＝BP＋PE＝6＋1＝7.∴AD＝7.(2)解：小試牛刀7問題背景：如圖①，在正方形ABCD的內(nèi)部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根據(jù)三角形全等的條件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，從而得到四邊形EFGH是正方形．小試牛刀類比探究如圖②，在正三角形ABC的內(nèi)部，作∠BAD