2022-2023學(xué)年上海市松江區(qū)第四中學(xué)高二年級上冊學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年上海市松江區(qū)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在空間中，“兩條直線沒有公共點”是“這兩條直線平行”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件B【詳解】試題分析：由兩條直線平行可得到兩條直線沒有公共點，反之不成立，所以“兩條直線沒有公共點”是“這兩條直線平行”的必要不充分條件充分條件與必要條件2．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證：時，若已假設(shè)（且k為偶數(shù)）時等式成立，則還需要再證（

）A．時等式成立 B．時等式成立C．時等式成立 D．時等式成立B【分析】首先因為n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明的時候，若已假設(shè)（，k為偶數(shù)）時命題為真，因為n只能取偶數(shù)，則代入無意義，故需證明成立．【詳解】解：若已假設(shè)（，k為偶數(shù)）時命題為真，因為n只能取偶數(shù)，所以還需要證明成立．故選：B．3．如圖正方體中，分別為棱的中點，連接.空間任意兩點，若線段上不存在點在線段上，則稱兩點可視，則下列選項中與點可視的為（

）A．點P B．點B C．點R D．點QD【分析】利用排除法，如圖，連接，則可得四點共面，∥，然后進行分析判斷即可【詳解】如圖連接，因為分別為的中點，所以,∥，所以四邊形為平行四邊形，所以∥,因為∥，所以∥，所以四點共面，所以與相交，所以點與點不可視，所以排除A，因為∥，所以共面，所以由圖可知與相交，與相交，所以點，點都與點不可視，所以排除BC，故選：D4．已知數(shù)列滿足：，且，下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C． D．D【分析】化簡已知遞推關(guān)系式可得到，由此分別判斷選項，可知錯誤；設(shè)，則，；采用數(shù)形結(jié)合的方式知越來越小，錯誤；假設(shè)成立，通過化簡不等式可知不等式恒成立，知正確.【詳解】，，，又，，，對于，若，則，，，，錯誤；對于，若，則，，即，，錯誤；對于，設(shè)，則，考慮函數(shù)與的圖象，如下圖所示：當時，單調(diào)遞減，且越來越小，，，錯誤；對于，設(shè)，則，，若，則，等價于，即，即，而顯然成立，，正確.故選.本題考查根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系式研究數(shù)列的性質(zhì)的問題，關(guān)鍵是能夠通過遞推關(guān)系式得到數(shù)列前后項所滿足的關(guān)系，同時借用函數(shù)的思想將數(shù)列前后項的大小關(guān)系變化利用函數(shù)圖象來進行表現(xiàn)，屬于難題.二、填空題5．2與8的等比中項是________.【分析】根據(jù)等比中項的定義求解．【詳解】設(shè)2與8的等比中項是，則，．故．6．已知向量，若∥，則______.-6【分析】利用向量平行列方程，即可求解.【詳解】因為向量，且∥，所以=，所以，解得.故-6.7．已知一個球的半徑是，則它的表面積是_____．【分析】根據(jù)球的表面積公式直接求解即可.【詳解】解：球的半徑，則表面積為.故答案為.8．已知數(shù)列為等差數(shù)列，，則數(shù)列的公差為________．【分析】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，根據(jù)條件求出公差，進而得解.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，，所以公差，故答案為.9．如圖，在斜四棱柱中，M為AC與BD的交點，若，請用來表示向量_______．【分析】首先利用向量減法法則表示出，再利用即可求解.【詳解】依據(jù)題意，，又，故10．若圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為的正方形，則圓柱的體積為_______．【詳解】由題意可得，圓柱的高為h=4，不妨設(shè)底面圓半徑為r,所以，.答案：11．已知數(shù)列的前n項和，則數(shù)列的通項公式是______.【分析】時,,利用時,可得,最后驗證是否滿足上式,不滿足時候,要寫成分段函數(shù)的形式.【詳解】當時,,當時,=,又時,不適合,所以.本題考查了由求,注意使用求時的條件是,所以求出后還要驗證適不適合,如果適合,要將兩種情況合成一種情況作答,如果不適合,要用分段函數(shù)的形式作答.屬于中檔題.12．如圖，以長方體的頂點D為坐標原點，過D的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，若，則在方向上的投影向量的坐標為______．.【分析】由可求出各個點的坐標，從而可求出和的坐標，然后利用向量的幾何意義可求出在方向上的投影向量的坐標.【詳解】因為過D的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，，所以，所以，，所以在方向上的投影向量的坐標，故答案為.13．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”原文意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，問塔的頂層有多少盞燈？若塔的最中間一層有n盞燈，則n＝_____.24【分析】設(shè)從上向下每一層的燈的數(shù)記為{an}，根據(jù)相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，得到數(shù)列{an}是以2為公比的等比數(shù)列，然后根據(jù)一座7層塔共掛了381盞燈，利用S7＝381求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)從上向下每一層的燈的數(shù)記為{an}，則數(shù)列{an}是以2為公比的等比數(shù)列，且S7＝＝（27﹣1）a1＝381，解得a1＝3，塔的最中間一層有n盞燈，則n＝a4＝a1q3＝24，故24本題主要考查等比數(shù)列的定義和前n項和公式，通項公式，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.14．已知等比數(shù)列的公比，且，則_____．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式求解，再根據(jù)極限運算即可得的值.【詳解】解：等比數(shù)列的公比，所以則所以.故答案為.15．空間四邊形ABCD中，且AB與CD所成角為60°，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則EF與AB所成角的大小為__________．或【分析】設(shè)的中點為，連接，利用等腰三角形可求EF與AB所成角的大小.【詳解】設(shè)的中點為，連接，因為，故，同理，，故或其補角為AB與CD所成角，而AB與CD所成角為，故或，若，因為，故，故為等邊三角形，故，因為，故EF與AB所成角即為或其補角，故EF與AB所成角為，若，則為等腰三角形，故，因為，故EF與AB所成角即為或其補角，故EF與AB所成角為，故或.16．已知為數(shù)列的前n項和，，平面內(nèi)三個不共線的向量，滿足（且），若、、在同一直線上，則_____．0【分析】利用三點共線結(jié)合向量的關(guān)系得到，通過列舉歸納，發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，利用周期性求和即可．【詳解】解：因為平面內(nèi)三個不共線的向量，滿足，又，，在同一直線上，所以，即，因為，所以數(shù)列為：1，1，0，，，0，1，1，0，，，0，1，，則數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，前6項為1，1，0，，，0，又因為，所以．故0．三、解答題17．已知空間三個點與(1)設(shè)，求與的夾角；(2)求點D到平面ABC的距離d．(1)(2)【分析】（1）分別求得，再利用空間向量的夾角公式求解；（2）先求得平面ABC的一個法向量，再由求解.【詳解】（1）解：因為點，所以，則，所以，則；（2）設(shè)平面ABC的一個法向量為，則，即，令，則，即，又，所以點D到平面ABC的距離.18．如圖，在三棱錐中，是正三角形，點為邊中點，平面ABC，且．(1)求三棱錐的體積；(2)若為中點，求與面所成角大小.(1)1(2)與面所成角大小為【分析】（1）直接利用體積公式求解；（2）以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，求得平面的法向量，即可求解．【詳解】（1）解：在三棱錐中，因為底面，所以，又為邊中點，所以為等腰三角形，又．所以是邊長為2的為等邊三角形，，三棱錐體積，（2）解：以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則,0,，,0,，,1,，,,，,,，平面的法向量,0，，設(shè)直線與平面所成角為，則直線與平面所成角的正弦值為，所以與面所成角大小為．19．在數(shù)列中，，，其中為給定的正整數(shù)，的前項和為.(1)若為等比數(shù)列，，求；(2)若為等差數(shù)列，是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.(1)(2)存在，【分析】(1)利用等比數(shù)列任意兩項之間的關(guān)系求出公比，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式即可得出結(jié)果.(2)利用等差數(shù)列任意兩項之間的關(guān)系求出公差，進而求出首項，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可.【詳解】（1）由題意，，，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則.故.（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，.由可知.由，解得.存在正整數(shù)，使得20．如圖，長方體中中，，點P為面的對角線上的動點（不包括端點），PN⊥BD于N.（1）若點P是的中點，求線段PN的長度；（2）設(shè)，將PN表示為的函數(shù)，并寫出定義域；（3）當PN最小時，求直線PN與平面ABCD所成角的大小.（1）；（2）；（3）.【分析】(1)過點P作PM//DD1交AD于M，連MN，證明BD⊥MN，P為AD1中點，求出PM，MN長即可得解；(2)利用(1)中信息，用x表示出PM，MN長即可得解；(3)探求出直線PN與平面ABCD所成角，求出(2)中函數(shù)最小值即可計算作答.【詳解】(1)在長方體中中，過點P作PM//DD1交AD于M，連MN，如圖所示：因平面，則平面，而平面，則，因PN⊥BD，，且平面PMN，則有平面PMN，又平面PMN，于是得，點P是的中點時，因，則M是AD中點，，顯然底面ABCD是正方形，則有，在直角三角形PMN中，，所以線段PN的長度是；(2)當時，，，由(1)知，則，在直角三角形PMN中，，因，即，所以，(3)由(1)知，是直線PN與平面ABCD所成的角，由(2)知，，當且僅當時，PN取最小值，此時，，，所以當PN最小時，直線PN與平面ABCD所成角的大小為.21．對于數(shù)列，定義為數(shù)列的差分數(shù)列，其中．如果對任意的，都有，則稱數(shù)列為差分增數(shù)列．（1）已知數(shù)列為差分增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍；（2）已知數(shù)列為差分增數(shù)列，且，．若，求非零自然數(shù)k的最大值；（3）已知項數(shù)為2k的數(shù)列（）是差分增數(shù)列，且所有項的和等于k，證明：．（1）；（2）65；（3）證明見解析．【分析】（1）利用差分增數(shù)列的定義可得關(guān)于的不等式組，即可求解；（2）根據(jù)△△，，，可得△△，△，△，，△，，從而可得，即可求解；（3）利用反證法推出矛盾，即可得證．【詳解】（1）數(shù)列1，2，4，，16，24的差分數(shù)列為1，2，，，8，由題意可得，解得，故實數(shù)的取值范圍是．（2）由題意，△