結(jié)構(gòu)力學(xué)的影響線及其應(yīng)用

結(jié)構(gòu)力學(xué)

STRUCTUREMECHANICS第一頁(yè)，共四十七頁(yè)。第10章第10章影響線及其應(yīng)用10.1影響線的概念一、移動(dòng)荷載對(duì)結(jié)構(gòu)的作用二、解決移動(dòng)荷載作用的途徑1、移動(dòng)荷載對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力作用:啟動(dòng)、剎車、機(jī)械振動(dòng)等。2、由于荷載位置變化，而引起的結(jié)構(gòu)各處的反力、內(nèi)力、位移等各量值的變化及產(chǎn)生最大量值時(shí)的荷載位置。

1、利用以前的方法解決移動(dòng)荷載對(duì)結(jié)構(gòu)的作用時(shí)，難度較大。例如吊車在吊車梁上移動(dòng)時(shí)，RB、MC的求解。RABAP1lRBP2dC第二頁(yè)，共四十七頁(yè)。三、影響線的概念CBAP1=12、影響線是研究移動(dòng)荷載作用問(wèn)題的工具。根據(jù)疊加原理，首先研究一系列荷載中的一個(gè)，而且該荷載取為方向不變的單位荷載。當(dāng)方向不變的單位荷載沿結(jié)構(gòu)移動(dòng)時(shí)，表示結(jié)構(gòu)某指定處的某一量值（反力、內(nèi)力、撓度等）變化規(guī)律的圖形，稱為該量值的影響線。例如：當(dāng)Ｐ＝１在ＡＢ梁上移動(dòng)時(shí)，ＲＡ、ＲＢ、ＭＣ、ＱＣ的變化規(guī)律就分別稱為反力ＲＡ、ＲＢ、彎矩ＭＣ、剪力ＱＣ影響線。第10章第三頁(yè)，共四十七頁(yè)。一、靜力法10.2用靜力法繪制靜定結(jié)構(gòu)影響線二、簡(jiǎn)支梁的影響線ＲB＝x/lCBAP1=1xＲＡ＝(l-x)/ll1RA影響線1RＢ影響線

把荷載Ｐ＝１放在結(jié)構(gòu)的任意位置，以x表示該荷載至所選坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，由靜力平衡方程求出所研究的量值與x之間的關(guān)系（影響線方程）。根據(jù)該關(guān)系作出影響線。１、反力影響線第10章第四頁(yè)，共四十七頁(yè)。2、彎矩影響線BACCRBQCQCMCMCRA（1）當(dāng)P=1作用在AC段時(shí)，研究CB：（2）當(dāng)P=1作用在CB段時(shí)，研究CB：彎矩響線也可根據(jù)反力影響線繪制。第10章第五頁(yè)，共四十七頁(yè)。3、剪力影響線BACCRBQCQCMCMCRA（1）當(dāng)P=1作用在AC段時(shí)，研究CB：（2）當(dāng)P=1作用在CB段時(shí)，研究CB：剪力影響線也可根據(jù)反力影響線繪制。第10章第六頁(yè)，共四十七頁(yè)。三、影響線與量布圖的關(guān)系CBAP=1l/2/2lEDMC影響線yDyEyCCBAPl/2/2lEDM圖yEyCyD分析以上兩種情況，豎標(biāo)相同，物理意義不同。1、影響線：表示當(dāng)單位荷載沿結(jié)構(gòu)移動(dòng)時(shí)，結(jié)構(gòu)某指定截面某一量值的變化情況。2、量布圖（內(nèi)力圖或位移圖）：表示當(dāng)荷載位置固定時(shí)，某量值在結(jié)構(gòu)所有截面的分布情況。第10章第七頁(yè)，共四十七頁(yè)。四、伸臂梁的影響線CBADx1xablcd作RA、RB、MC、QC影響線時(shí)，可取A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方法同簡(jiǎn)支梁；作QD、MD影響線時(shí)，可取D為坐標(biāo)原點(diǎn)。試?yán)L制圖示伸臂梁的反力影響線，及C和D截面的彎矩、剪力影響線。1d/l(l+d)/lad/ld/lclab/la/lb/l1RA影響線RB影響線MC影響線QC影響線MD影響線QD影響線第10章第八頁(yè)，共四十七頁(yè)。例10?1試作圖示外伸梁的反力RA、RB、MC、QC、MD、QD、影響線以及支座B截面的剪力影響線。第10章11RA影響線RB影響線當(dāng)P=1在C截面以左當(dāng)P=1在C截面以右當(dāng)P=1在D截面以左當(dāng)P=1在D截面以右a1a/lab/lb/l1bMC影響線QC影響線DddCxBAP=1lab1MD影響線QD影響線111RB左影響線RB右影響線l1CxBAP=1labl2DddCxBAP=1lab1MD影響線QD影響線第九頁(yè)，共四十七頁(yè)。一、基本原理10.3用機(jī)動(dòng)法作影響線二、優(yōu)點(diǎn)P=1XXPABP=11RA影響線

以X代替A支座作用，結(jié)構(gòu)仍能維持平衡。使其發(fā)生虛位移，依虛位移原理：結(jié)論：為作某量值的影響線，只需將與該量值相應(yīng)的聯(lián)系去掉，并以未知量X代替；而后令所得的機(jī)構(gòu)沿X的正方向發(fā)生單位位移，則由此所得的虛位移圖即為所求量值的影響線。機(jī)動(dòng)法是以虛位移原理為依據(jù)把作影響線的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為作位移圖的幾何問(wèn)題。不需要計(jì)算就能繪出影響線的輪廓。X·X+P·P=0X=－PP/X=－P/X令X=1，則X=－P第10章第十頁(yè)，共四十七頁(yè)。三、舉例試作圖示外伸梁C截面的彎矩、剪力影響線。ABP=1CbeadA+=1MCQCMC影響線ab/lae/lbd/lQC影響線11a/lb/le/ld/lCC1C2（1）令+=1，則虛位移圖即為所求之MC影響線圖。由+=h/a+h/b=1求得h=ab/l（2）令C1C+CC2=1，則虛位移圖即為所求之QC影響線圖。由比例關(guān)系可求得

C1C=b/l;C2=a/l第10章第十一頁(yè)，共四十七頁(yè)。第10章1（e）QD影響線d（c）MD影響線dlABP=1l2l1D（a）外伸梁例10?3用機(jī)動(dòng)法作圖示外伸梁上截面D的彎矩和剪力影響線。1（b）求MD虛位移圖MD（d）求QD虛位移圖QDQD１例10?４用機(jī)動(dòng)法作多跨靜定梁MK、QK、RB、MD、QE影響線（P260)。第十二頁(yè)，共四十七頁(yè)。一、間接荷載對(duì)結(jié)構(gòu)的作用10.4間接荷載作用下的影響線

間接荷載對(duì)結(jié)構(gòu)的作用可以視為結(jié)點(diǎn)荷載作用，只不過(guò)該荷載的大小隨P=1的位置改變而變化。第10章（a）原體系dlAP=1DabECFB（e）QF影響線11yCyDyP=1xd（b）縱梁x/d(d-x)/dCDBA（c）主梁（d）MF影響線yCyDy第十三頁(yè)，共四十七頁(yè)。二、間接荷載作用下影響線的作法三、練習(xí)：１、先作出直接荷載作用下的影響線；2、將所有相鄰兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間影響線豎標(biāo)的頂點(diǎn)用直線相連，即得該量值在結(jié)點(diǎn)荷載作用下的影響線，即間接荷載作用下的影響線。3、依據(jù)：（1）影響線定義；（2）疊加原理。第10章第十四頁(yè)，共四十七頁(yè)。練習(xí)：試?yán)L制圖示結(jié)構(gòu)ME、QE影響線。ME影響線(直)15/83/25/45/43/4QE影響線(直)5/83/81/21/41/41/4ME影響線(間接)QE影響線(間接)第10章第十五頁(yè)，共四十七頁(yè)。一、桁架上的荷載可視為間接荷載（結(jié)點(diǎn)荷載）10.5桁架的影響線二、桁架影響線的繪制方法三、桁架影響線的繪制舉例

桁架上的荷載一般也是通過(guò)橫梁和縱梁而作用于桁架的結(jié)點(diǎn)上，故可按“間接荷載作用下的影響線”對(duì)待。1、將P=1依次放在它移動(dòng)過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的各結(jié)點(diǎn)上，分別求出各量值，即各結(jié)點(diǎn)處影響線豎標(biāo)。2、用直線將各結(jié)點(diǎn)豎標(biāo)逐一相連，即得所求量值的影響線。第10章第十六頁(yè)，共四十七頁(yè)。第10章ⅠFHDAB（a）l=8dah1GCEIOαⅡP=1h1h2ⅠⅡh（一）NCE影響線：

1、作1-1截面，令P=1在截面左側(cè)移動(dòng)，研究其右半部：

2、作1-1截面，令P=1在截面右側(cè)移動(dòng)，研究其左半部：2d/h16d/h1（b）NCE影響線3d/2h1例題；試?yán)L制圖示桁架NCE、NDE、NDF、NEF影響線。第十七頁(yè)，共四十七頁(yè)。第10章ⅠFHDAB（a）l=8dah1GCEIOαⅡP=1h1h2ⅠⅡh2d/h16d/h1（b）NCE影響線3d/2h1（二）NDE影響線：

1、作1-1截面，令P=1在截面左側(cè)移動(dòng)，研究其右半部：

2、作1-1截面，令P=1在截面右側(cè)移動(dòng)，研究其左半部：(8d+a)/h2(2d+a)/h2（c）NDE影響線例題；試?yán)L制圖示桁架NCE、NDE、NDF、NEF影響線。（d）（e）NEF影響線NDF影響線5d/h1/sinα1/sinα3d/h第十八頁(yè)，共四十七頁(yè)。例題；試?yán)L制圖示桁架NFG、NCD、NFD影響線。（一）NFG影響線：

1、作1-1截面，令P=1在截面左側(cè)移動(dòng)，研究其右半部：

2、作1-1截面，令P=1在截面右側(cè)移動(dòng)，研究其左半部：NFG影響線第10章第十九頁(yè)，共四十七頁(yè)。（二）NCD影響線：

1、作1-1截面，令P=1在截面左側(cè)移動(dòng)，研究其右半部：

2、作1-1截面，令P=1在截面右側(cè)移動(dòng)，研究其左半部：第10章NCD影響線第二十頁(yè)，共四十七頁(yè)。（三）NFD影響線：1、作1-1截面，令P=1在截面左側(cè)移動(dòng)，研究其右半部：2、作1-1截面，令P=1在截面右側(cè)移動(dòng)，研究其左半部：第10章NFD影響線第二十一頁(yè)，共四十七頁(yè)。（1）什么是影響線，影響線是如何定義的？（2）如何用靜力法繪制影響線？（3）如何用機(jī)動(dòng)法繪制影響線？復(fù)習(xí)思考第二十二頁(yè)，共四十七頁(yè)。影響線定義當(dāng)方向不變的單位荷載沿結(jié)構(gòu)移動(dòng)時(shí)，表示結(jié)構(gòu)某一指定截面的某一量值（反力、內(nèi)力、撓度等）變化規(guī)律的圖形，稱為該量值的影響線。返回第二十三頁(yè)，共四十七頁(yè)。靜力法繪制影響線將荷載Ｐ＝１放在結(jié)構(gòu)的任意位置，以x表示該荷載至所選坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，由靜力平衡方程求出所研究的量值與x之間的關(guān)系（影響線方程）。根據(jù)該關(guān)系作出影響線。返回第二十四頁(yè)，共四十七頁(yè)。機(jī)動(dòng)法繪制影響線為作某量值的影響線，只需將與該量值相應(yīng)的聯(lián)系去掉，并以未知量X代替；而后令所得的機(jī)構(gòu)沿X的正方向發(fā)生單位位移，則由此所得的虛位移圖即為所求量值的影響線。第二十五頁(yè)，共四十七頁(yè)。機(jī)動(dòng)法繪制影響線為作某量值的影響線，只需將與該量值相應(yīng)的聯(lián)系去掉，并以未知量X代替；而后令所得的機(jī)構(gòu)沿X的正方向發(fā)生單位位移，則由此所得的虛位移圖即為所求量值的影響線。靜力法繪制影響線把荷載Ｐ＝１放在結(jié)構(gòu)的任意位置，以x表示該荷載至所選坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，由靜力平衡方程求出所研究的量值與x之間的關(guān)系（影響線方程）。根據(jù)該關(guān)系作出影響線。影響線定義當(dāng)方向不變的單位荷載沿結(jié)構(gòu)移動(dòng)時(shí)，表示結(jié)構(gòu)某一指定截面的某一量值（反力、內(nèi)力、撓度等）變化規(guī)律的圖形，稱為該量值的影響線。第二十六頁(yè)，共四十七頁(yè)。一、當(dāng)荷載位置固定時(shí)，求某量值的大小10.7影響線的應(yīng)用1、集中荷載位置固定時(shí)，求某量值的大小y1y2y3ab/lMC影響線y1y2y3b/lQC影響線a/l第10章ABbClaP1P2P3DEF第二十七頁(yè)，共四十七頁(yè)。2、分布荷載位置固定時(shí)，求某量值的大小y1y2y3ab/lMC影響線y1y2y3b/lQC影響線a/lABbClaq(x)DE利用影響線求MC若q(x)為均布荷載，則上式成為：利用影響線求QC3、當(dāng)集中荷載與均布荷載同時(shí)作用時(shí)，求某量值的大小第10章第二十八頁(yè)，共四十七頁(yè)。2110.50.50.250.254、舉例試?yán)糜绊懢€求C截面的彎矩和剪力。15kn8kn/m2m2m4m2mABC依據(jù)公式：第10章第二十九頁(yè)，共四十七頁(yè)。

補(bǔ)充例題

試?yán)糜绊懢€計(jì)算圖示多跨靜定梁在所給荷載作用下的ME、QE值。

FEA60kN6mBCGH3mD3m3m3m60kN3m3m3m4.5m40kN40kN10kN/m2.25m1.5m0.75mME影響線0.51/30.51/6QE影響線第10章第三十頁(yè)，共四十七頁(yè)。二、判別最不利荷載位置1、移動(dòng)均布荷載最不利位置的確定當(dāng)均布荷載布滿對(duì)應(yīng)影響線正號(hào)面積時(shí)，有SMAX。當(dāng)均布荷載布滿對(duì)應(yīng)影響線負(fù)號(hào)面積時(shí)，有SMIN。CABMC影響線MCMAXMCMINCABQC影響線QCMINQCMAX第10章（１）任意斷續(xù)分布第三十一頁(yè)，共四十七頁(yè)。第10章（b）一段長(zhǎng)度為d的移動(dòng)均布荷載ab/lABbClaqddxdxy1y2均布荷載從當(dāng)前的位置上右移一微段dx，MC的增量為：當(dāng)dMC／dx＝０時(shí)，MC有極值。所以有：y1＝y(tǒng)2dMC＝q(y2dx–y1dx)結(jié)論：一段長(zhǎng)度為d的移動(dòng)均布荷載，當(dāng)移動(dòng)至兩端點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的影響線豎標(biāo)相等時(shí)，所對(duì)應(yīng)的影響線面積最大，此時(shí)量值S有最大值。

第三十二頁(yè)，共四十七頁(yè)。2、一組集中荷載作用下最不利位置的確定（影響線為三角形情況）（1）基本原理（2）一般情況下臨界荷載的判定（荷載、影響線如圖示）當(dāng)荷載位于某一位置時(shí)S1=p1y1+p2y2++piyi

++pnyn當(dāng)荷載向右移動(dòng)x時(shí)S2=p1(y1+y1)+p2(y2+y2)+

+pi(yi+yi)++pn(yn+yn)S的增量

S=S2-S1=p1y1+p2y2+

+piyi++pnyn=（p1+p2+

+pi)X·h/a–(pi+1+Pi+2++pn)X·h/bP1P2Pi-1PnPn-1Piabhy1y2Yi-1yiYn-1yn分析式S=piyi，可知：當(dāng)影響線頂點(diǎn)附近有較大和較密集的荷載時(shí)，有可能是最不利荷載位置。當(dāng)荷載個(gè)數(shù)不多時(shí)，可以逐一計(jì)算集中荷載位于影響線頂點(diǎn)時(shí)的S值，并將計(jì)算結(jié)果加以比較，對(duì)應(yīng)S值最大的情況，即為最不利荷載位置。第10章第三十三頁(yè)，共四十七頁(yè)。根據(jù)高等數(shù)學(xué)，當(dāng)S為x的二次或二次以上函數(shù)時(shí)，函數(shù)的極值發(fā)生在ds/dx=0處，現(xiàn)在S=piyi為x的一次函數(shù)，故極值發(fā)生在斜率ds/dx變號(hào)的尖角處。這一極值條件可用S是否改變符號(hào)來(lái)判斷。要使S變號(hào)，必須有某一個(gè)荷載由影響線的一邊過(guò)渡到另一邊。即：只有當(dāng)某一集中荷載位于影響線頂點(diǎn)時(shí)，才有可能使S變號(hào)，使S取得極值。這是必要條件，但不是充分條件。根據(jù)以上分析，由前式可知求極大值的條件為：（p1+p2+

+pk)X·h/a–(pk+1+Pk+2++pn)X·h/b≥0（p1+p2+

+pk-1)X·h/a–(Pk+pk+1++pn)X·h/b≤0也可以簡(jiǎn)寫為通過(guò)影響線頂點(diǎn)，使S變號(hào)的荷載稱為“臨界荷載”。常用PK表示。第10章第三十四頁(yè)，共四十七頁(yè)。例題求圖示簡(jiǎn)支梁在吊車荷載作用下，B支座的最大反力。P1=P2=478.5KN,P3=P4=324.5KN5.25m4.8m1.25mP1P2P3P4ABC6m6mP1P2P3P4（一）解：(1)考慮P2在B點(diǎn)的情況(圖一)：經(jīng)檢驗(yàn),P2為臨界荷載:

(2)考慮P3在B點(diǎn)的情況(圖二)：經(jīng)檢驗(yàn),P2為臨界荷載:

結(jié)論:比較(1)、(2),P2在B點(diǎn)最不利。RBMAX=784.28KNRB影響線0.12510.8750.75810.2RB=478.5×(1+0.125)+324.5×0.875=784.28KNRB=478.5×0.758+324.5×(1+0.2)=752.10KN（二）P1P2P3P4第10章第三十五頁(yè)，共四十七頁(yè)。一、簡(jiǎn)支梁的絕對(duì)最大彎矩10.9簡(jiǎn)支梁的內(nèi)力包絡(luò)圖和絕對(duì)最大彎矩

2、如何確定絕對(duì)最大彎矩:

1、定義:

發(fā)生在簡(jiǎn)支梁的某一截面,而比其它任意截面的最大彎矩都大的彎矩.。（1）絕對(duì)最大彎矩必是該截面的最大彎矩。（2）絕對(duì)最大彎矩必然發(fā)生在某一荷載之下。（3）集中荷載是有限的。取某一集中荷載作為產(chǎn)生絕對(duì)最大彎矩的臨界荷載，計(jì)算該荷載移動(dòng)過(guò)程中的最大彎矩；類似地，求出其它荷載下的最大彎矩并加以比較，其中最大者即為絕對(duì)最大彎矩。第10章第三十六頁(yè)，共四十七頁(yè)。

3、PK位置的確定

PK所在截面的彎矩：Mk(x)=RA·x－M左-----------（1）式中M左為PK以左所有荷載對(duì)k截面的彎矩。MB=0:

RA·l－R(l－x－a)=0RA=R(l－x－a)/l----------(2)代(2)入(1):Mk(x)=R(l－x－a)x/l－M左求MK(X)的極值:

dMk(x)/dx=R(l－2x－a)/l=0∴x=(l－a)/2或x=l－x－aPK位置為

:PK與梁上所有荷載的合力對(duì)稱與中截面。第10章P1PkRPnABP2Pl/2l/2xal－x－akRARB第三十七頁(yè)，共四十七頁(yè)。

3、計(jì)算步驟（1）先找出可能使跨中產(chǎn)生最大彎矩的臨界荷載。（2）使上述荷載與梁上所有荷載的合力對(duì)稱于中截面，計(jì)算此時(shí)臨界荷載所在截面的最大彎矩。（3）類似地，計(jì)算出其它截面的最大彎矩并加以比較，其中最大者即為絕對(duì)最大彎矩。第10章第三十八頁(yè)，共四十七頁(yè)。例題求圖示簡(jiǎn)支梁在吊車荷載作用下的絕對(duì)最大彎矩。已知：P1=P2=P3=P4=280KN解：1、考慮P2為臨界荷載的情況

(1)梁上有4個(gè)荷載（圖一）4.8m4.8m1.44mP1P2P3P4AB6m6mR=280×4=1120kNa=1.44/2=0.72mMB=0RA

×12-1120×(6-0.36)=0RA=526.4kn(M)X=5.64=RA×5.64－280×4.8=1624.9kN.m

RP1P2P3P4（圖一）AB6m6m0.36m0.36maRA=526.4kN第10章第三十九頁(yè)，共四十七頁(yè)。(2)梁上有3個(gè)荷載(圖二)：4。8m4.8m1.44mP1P2P3P4AB6m6mR=280×3=840kN依合力矩定理：R×a=P1×4.8-P3×1.44a=280×(4.8-1.44)/840=1.12mMB=0RA

×12-840×(6+0.56)=0RA=439.2kn(M)X=6.56=RA×6.56-280×4.8=1668.4kN.m

比較(1)、(2)，絕對(duì)最大彎矩(M)x=6.56=1668.4kN.m`2、考慮P3為臨界荷載的情況：通過(guò)與前面類似地分析，可知另一絕對(duì)最大彎矩：(M)x=5.44=1668.4kN.m

RAB6m6m（圖二）P1P2P3P40.56m0.56maRA=459.2kn例題求圖示簡(jiǎn)支梁在吊車荷載作用下的絕對(duì)最大彎矩。已知：P1=P2=P3=P4=280KN第10章第四十頁(yè)，共四十七頁(yè)。二、簡(jiǎn)支梁的內(nèi)力包絡(luò)圖1、定義把梁上各截面內(nèi)力的最大值和最小值按同一比例標(biāo)在圖上，連成曲線。這一曲線即為內(nèi)力包絡(luò)圖。2、繪制方法一般將梁分為十等份，先求出各截面的最大彎矩值，再求出絕對(duì)最大彎矩值；最后，將這些值按比例以豎標(biāo)標(biāo)出并連成光滑曲線。3、吊車梁內(nèi)力包絡(luò)圖繪制舉例第10章第四十一頁(yè)，共四十七頁(yè)。一、用靜力法繪制超靜定梁影響線的工作十分繁雜10.9用機(jī)動(dòng)法作超靜定梁影響線的概念A(yù)Bx1=MAP=1基本體系A(chǔ)BlxP=1l-xAMP圖Bx(1-x)/ll-xxP=1例題試?yán)L制圖示超靜定梁MA

影響線。由上式可知：

MA是x的三次函數(shù)。依上式繪出影響線如下：ABP=1MA

影響線l-xABM1圖x1=11(1-x)/lx第10章第四十二頁(yè)，共四十七頁(yè)。P=1二、用機(jī)動(dòng)法繪制超靜定梁影響線基本體系P=1XkXk=1由基本體系：（外荷載是單位力）（位移互等定理）P=1k結(jié)論：為作某量值Xk的影響線，只要去掉與Xk相應(yīng)的約束，并使所得的基本結(jié)構(gòu)沿XK的正方