2020高中數(shù)學 第二章 變化率與導數(shù) 4 導數(shù)的四則運算法則課后鞏固提升 2-2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE8-學必求其心得，業(yè)必貴于專精4導數(shù)的四則運算法則[A組基礎鞏固］1．設y＝eq\f（sinx,1＋cosx)，－π<x<π，當y′＝2時，x等于（）A．±eq\f（1，3)π B．±eq\f(1，6)πC．±eq\f（1，4)π D．±eq\f（2,3)π解析：∵y＝eq\f（sinx,1＋cosx）,∴y′＝eq\f(cosx1＋cosx－－sinxsinx，1＋cosx2）＝eq\f（1＋cosx，1＋cosx2)＝eq\f（1,1＋cosx）.∵y′＝2，∴eq\f（1,1＋cosx)＝2?！郼osx＝－eq\f(1,2)。又－π<x〈π，∴x＝±eq\f(2，3）π.答案:D2．在下列四個命題中（每個函數(shù)都是可導函數(shù)),真命題為()①若y＝f1（x）＋f2(x)＋…＋fn（x),則y′＝f1′(x)＋f2′(x)＋…＋fn′（x)；②若y＝f1(x）·f2(x),則y′＝f1′（x)f2（x）＋f1(x)·f2′（x）＋f1′(x)f2′(x）；③若y＝k1f1（x）±k2f2(x)（k1，k2是實常數(shù)),則y′＝k1f1′(x)±k2f2′(x）;④若y＝eq\f(f1x,f2x)，則y′＝eq\f（f1x，f2′x）＋eq\f（f1′x，f2x）＋eq\f(f1′x，f2′x）。A．①② B．②③C．①③ D．③④解析：對②，由求導法則易知：y′＝［f1(x）f2(x)]′＝f1′（x)f2(x）＋f1(x）f2′(x)．對④，y′＝［eq\f（f1x，f2x)]′＝eq\f（f1′xf2x－f1xf2′x，f\o\al(2,2)x）。答案：C3．若函數(shù)f(x)＝exsinx，則此函數(shù)圖像在點（3,f(3）)處的切線的傾斜角為（）A.eq\f（π,2） B．0C．鈍角 D．銳角解析:f′(x）＝exsinx＋excosx＝ex(sinx＋cosx)＝eq\r（2）exsin（x＋eq\f(π,4）)，f′（3）＝eq\r(2）e3sin(3＋eq\f（π,4))〈0，則此函數(shù)圖像在點(3，f（3）)處的切線的傾斜角為鈍角．答案：C4．若過函數(shù)f(x)＝lnx＋ax上的點P的切線與直線2x－y＝0平行，則實數(shù)a的取值范圍是(）A．（－∞，2] B．（－∞，2)C．（2,＋∞） D．(0，＋∞）解析：設過點P（x0，y0)的切線與直線2x－y＝0平行,因為f′（x）＝eq\f（1,x）＋a,故f′（x0）＝eq\f(1,x0）＋a＝2，得a＝2－eq\f(1,x0)，由題意知x0＞0,所以a＝2－eq\f（1，x0）＜2.答案：B5．函數(shù)y＝eq\f（x2,x＋3)的導數(shù)是（）A.eq\f(x2＋6x,x＋32） B.eq\f(x2＋6x,x＋3)C。eq\f（－2x，x＋32) D.eq\f(3x2＋6x，x＋32)解析：y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(x2,x＋3）)）′＝eq\f（x2′x＋3－x2·x＋3′,x＋32）＝eq\f（2xx＋3－x2，x＋32)＝eq\f（x2＋6x，x＋32)。答案：A6．函數(shù)y＝xeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x2＋\f（1，x）＋\f(1,x3))）的導數(shù)為________．解析:y＝xeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x2＋\f（1，x)＋\f(1，x3）)）＝x3＋1＋eq\f(1,x2),y′＝3x2－eq\f（2,x3)。答案:3x2－eq\f(2,x3）7．若曲線f(x)＝x4－x在點P處的切線平行于直線3x－y＝0,則點P的坐標為________．解析：∵f′（x）＝4x3－1，由題意得4x3－1＝3，∴x＝1.故切點為P(1,0)．答案：（1,0)8．已知曲線y＝eq\f(x2，4）－3lnx的一條切線的斜率為eq\f(1，2），則切點的坐標為________．解析：∵y′＝eq\f（x，2）－eq\f(3,x)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（x，2)－\f(3，x）＝\f（1，2)，,x>0，）)即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x2－x－6＝0,，x〉0，））解得x＝3，故切點坐標為(3，eq\f(9，4）－3ln3）．答案:(3，eq\f(9，4）－3ln3)9．求下列函數(shù)的導數(shù)：(1）y＝(2x2＋3)(3x－2）；（2）y＝eq\f（x2,sinx)。解析：（1)y′＝(2x2＋3)′（3x－2)＋(2x2＋3)（3x－2)′＝4x（3x－2）＋3（2x2＋3）＝18x2－8x＋9。（2）y′＝eq\f（x2′sinx－x2sinx′，sin2x)＝eq\f（2xsinx－x2cosx，sin2x）。10．已知曲線C1：y1＝x2與C2:y2＝－(x－2)2，若直線l與C1、C2都相切，求直線l的方程．解析：法一：設直線l與曲線C1、C2分別相切于A（a，a2)，B（b，－（b－2）2)．因為兩曲線對應函數(shù)的導函數(shù)分別為y1′＝2x，y2′＝－2(x－2)，當x＝a時，y1′＝2a，當x＝b時,y2′＝－2（b－2），易知2a＝－2(b－2),由題意,可得eq\f(a2＋b－22,a－b）＝2a＝－2（b－2)，即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝2－b,,a2－b2－2ab＋4b＝4，））解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝2，b＝0)）或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝2。））所以A點坐標為(2,4）或（0,0），切線的斜率k＝4或0，從而得到切線l的方程為4x－y－4＝0或y＝0。法二：設l與C1、C2相切時切點的橫坐標分別為a、b,直線l的斜率為k，根據(jù)題意，得y1′＝2x,y2′＝－2（x－2）．則k＝2a＝－2(b－2），可得a＝eq\f（k，2），b＝eq\f（4－k,2)，所以切點的坐標分別為（eq\f（k，2）,eq\f(k2，4)），（eq\f（4－k，2)，－eq\f(k2,4)），則k＝eq\f（\f（k2，4)－－\f（k2，4）,\f（k,2）－\f(4－k，2)）＝eq\f(k2，2k－4），解得k＝0或4.故所求的切線方程為4x－y－4＝0或y＝0。[B組能力提升］1．等比數(shù)列｛an}中，a1＝2，a8＝4，函數(shù)f(x）＝x（x－a1)·（x－a2）…(x－a8)，則f′(0）等于()A．212 B．29C．28 D．26解析：因為f′（x）＝(x－a1)(x－a2）…(x－a8）＋x［（x－a1)(x－a2)…(x－a8)］′,所以f′(0)＝a1a2…a8＝（a1a8）4＝84＝212。答案：A2．設某商品的需求函數(shù)為Q＝100－5P，其中Q、P分別表示需求量和價格，如果商品需求彈性eq\f(EQ,EP)大于1,其中eq\f(EQ，EP)＝－eq\f（Q′,Q）P，Q′是Q的導數(shù)，則商品價格P的取值范圍是（)A．(0，10) B．(10，20）C．（20,30) D．（20，＋∞）解析：eq\f(EQ，EP)＝－eq\f(Q′，Q)P＝－eq\f(－5，100－5P)·P＝eq\f（P,20－P),由eq\f(EQ,EP)＞1得eq\f(P,20－P)－1＞0，即eq\f（2P－20，20－P）＞0，解得10＜P＜20.故選B.答案：B3．已知f(x）＝x2＋2f′（－eq\f(1，3）)x,則f′(－eq\f(1，3)）＝________.解析：因為f(x)＝x2＋2f′（－eq\f(1,3）)x,所以f′(x）＝2x＋2f′(－eq\f(1，3）），所以f′(－eq\f（1，3）)＝2×（－eq\f(1，3）)＋2f′(－eq\f（1，3))，所以f′(－eq\f（1,3））＝eq\f（2,3).答案：eq\f（2，3)4．設f(x）＝aex＋blnx，且f′（1）＝e，f′（－1)＝eq\f(1，e），則a＋b＝________。解析：因為f′（x)＝aex＋eq\f（b,x)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（f′1＝ae＋b＝e，,f′－1＝\f（a，e)－b＝\f（1，e)，)）解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝1，,b＝0。））所以a＋b＝1。答案:15．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c通過點P（1，1），且在點Q(2，－1）處與直線y＝x－3相切，求實數(shù)a、b、c的值．解析：∵拋物線y＝ax2＋bx＋c過P（1,1），∴a＋b＋c＝1.…………①∵y′＝2ax＋b,∴當x＝2時，y′＝4a＋b，∴4a＋b＝1.…………②又拋物線過Q(2，－1),∴4a＋2b＋c＝－1，…………………③聯(lián)立①②③，解得a＝3，b＝－11，c＝9。6．曲線C：y＝ax3＋bx2＋cx＋d在點（0，1)處的切線為l1：y＝x＋1,在點(3，4)處的切線為l2：y＝－2x＋10，求曲線C的方