2023年新高考數(shù)學大一輪復習真題源大題分類講義之專題11 圓錐曲線中的探究性問題（解析版）

11.圓錐曲線中的探究性問題一．探求點【例1】（2019年·新課標Ⅱ）已知是橢圓的兩個焦點，P為C上一點，O為坐標原點．（1）若為等邊三角形，求C的離心率；（2)如果存在點P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.【解析】（1）連結(jié)，由為等邊三角形可知：在中，，，，于是，故橢圓C的離心率為；（2）由題意可知，滿足條件的點存在，當且僅當，，，即①②③由②③以及得，又由①知，故；由②③得，所以，從而，故；當，時，存在滿足條件的點.故，所以實數(shù)a的取值范圍為.【例2】（2022年高三數(shù)學新高考測評卷）已知雙曲線的右焦點為，點F到C的漸近線的距離為1.（1）求C的方程.（2）若直線與C的右支相切，切點為P，與直線交于點Q，問x軸上是否存在定點M，使得？若存在，求出M點坐標；若不存在，請說明理由.【解析】（1）由題意，雙曲線的漸近線方程為，又由雙曲線的右焦點為，可得，所以到漸近線的距離，所以，所以C的方程為.（2）由題意易知直線的斜率存在，設其方程為，聯(lián)立與C的方程，消去y，得，因為直線與C的右支相切，所以，（雙曲線右支上的點需滿足的條件），得，則，設切點，則，，設，因為Q是直線與直線的交點，所以，，假設x軸上存在定點，使得，則，故存在，使得，即，所以x軸上存在定點，使得.【例3】（2015年·新課標Ⅰ）在直角坐標系中，曲線C：y=與直線交與M,N兩點，（1）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；（2）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.【解析】（1）由題設可得，，或，.∵，故在=處的導數(shù)值為，C在處的切線方程為，即.故在=-處的導數(shù)值為-，曲線C在處的切線方程為，即.故所求切線方程為或.（2）存在符合題意的點，證明如下：設P（0，b）為復合題意得點，，，直線PM，PN的斜率分別為.將代入C得方程整理得.∴.∴==.當時，有=0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補，故∠OPM=∠OPN，所以符合題意.【方法技巧】圓錐曲線中的存在性問題具有開放性和發(fā)散性，此類問題的條件和結(jié)論不完備.解決存在性問題，先假設存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在．（1）當條件和結(jié)論不唯一時要分類討論．（2）當給出結(jié)論而要推導出存在的條件時，先假設成立，再推出條件．（3）當要討論的量能夠確定時，可先確定，再證明結(jié)論符合題意．二．探求直線【例4】（江西省贛州市2022屆高三上學期期末）已知點M是橢圓C：上一點，，分別為橢圓C的上、下焦點，，當，的面積為5.（1）求橢圓C的方程：（2）設過點的直線和橢圓C交于兩點A，B，是否存在直線，使得與（O是坐標原點）的面積比值為5：7.若存在，求出直線的方程：若不存在，說明理由.【解析】（1）由,由,,故,∴,∴,∴，即橢圓的標準方程為.（2）假設滿足條件的直線存在，當直線的斜率不存在時，不合題意，不妨設直線：，，，顯然，聯(lián)立，得，所以，因為，，得，即（3），由（1），（3），得（4），將（1）（4）代入（3）得，所以直線的方程為，故存在直線，使得與的面積比值為5：7.【方法技巧】存在性問題的求解方法（1）存在性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化．其步驟為：假設滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設出，列出關于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在．（2）反證法與驗證法也是求解存在性問題常用的方法．【演練提高】1.（河南省駐馬店市2021-2022學年高三上學期期末）已知橢圓的左、右端點分別為，，其離心率為，過的右焦點的直線與交于異于，的，兩點，當直線的斜率不存在時，．（1）求的方程．（2）若直線與交于點，試問點是否在一條定直線上？若是，求出此定直線方程；若不是，請說明理由．【解析】（1）由題意可設橢圓的半焦距為，因為直線斜率不存在時，可得，由題意得，解得，故橢圓的方程為．（2）設直線的方程為，，，聯(lián)立整理得，則，，所以，由題意可得直線的方程為，直線的方程為，則，即，把代入上式，得，即，故點在定直線上．2.（天津市西青區(qū)楊柳青第一中學2021-2022學年高三上學期第二次階段檢測）已知橢圓C：（a＞b＞0）上的點到它兩個焦點的距離之和為4，以橢圓C的短軸為直徑的圓O經(jīng)過兩個焦點，點A，B分別是橢圓C的左、右頂點.（1）求圓O和橢圓C的方程；（2）設P，Q分別是橢圓C和圓O上的動點（P，Q位于y軸兩側(cè)），且直線PQ與x軸平行，直線AP，BP分別與y軸交于點M，N，試判斷QM與QN所在的直線是否互相垂直，若是，請證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由.【解析】（1）由題意可得，解得，，所以圓的方程為，橢圓的方程為．（2）．證明：設，，，，則，即，又由得，由，得，所以，，，．，，所以，所以．3.（江蘇省泰州中學2021-2022學年高三上學期12月月考）在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，P是直線x＝－4上的動點，過P作兩條相異直線和，其中與拋物線C：交于A、B兩點，與C交于M、N點，記、和直線OP的斜率分別為、和．（1）當P在x軸上，且A為PB中點時，求|k1|；（2）當AM為△PBN的中位線時，請問是否存在常數(shù)μ，使得？若存在，求出μ的值；若不存在，請說明理由．【解析】（1）由條件知P（-4，0）且，設，所以消去x可得，所以又因為A為PB中點，所以．所以所以，所以，所以；（2）設，所以，所以．．因為AM為△PBN的中位線，所以A為PB的中點，M是PN的中點，所以，即，即又，所以所以，所以①．．．同理，②由①②可知：是滿足方程的兩個根．所以．所以所以．．．．．，所以，所以所以存在常數(shù)使得成立．4.（安徽省六安市示范高中2021-2022學年高三上學期教學質(zhì)量檢測）已知橢圓的左右焦點分別是，，右頂點和上頂點分別為，，的面積為.（1）求橢圓的標準方程；（2）以此橢圓的上頂點為直角頂點作橢圓的內(nèi)接等腰直角，這樣的直角三角形是否存在？若存在，請說明有幾個；若不存在，請說明理由.【解析】（1）由題意得

①

因為，所以②

由①②得③，由②③得，所以橢圓方程為；（2）假設能構(gòu)成等腰直角，其中B(0，1)，由題意可知，直角邊不可能垂直或平行于軸，故可設邊所在直線的方程為(不妨設)聯(lián)立直線方程和橢圓方程得：，得，用代替上式中的，得，由得，即，，故存在三個滿足題設條件的內(nèi)接等腰直角三角形.5.（江西省宜春市2022屆高三上學期期末質(zhì)量檢測）已知橢圓C的離心率為，且過點（），分別為橢圓的左、右焦點.（1）求橢圓C的方程；（2）過的直線m交橢圓C于A，B兩點，O為坐標原點，以O，A，B三點為頂點作平行四邊形OAPB，是否存在直線m，使得點P在橢圓C上？若存在，求出直線m的方程；若不存在，說明理由.【解析】（1）橢圓的離心率為，，

又由橢圓經(jīng)過點，，解得則橢圓的方程為：（2）依題意，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，，聯(lián)立直線方程與，整理得，則，設，由四邊形為平行四邊形，得，則，即，若點落在橢圓上，則，

即，

整理得，令，故上式等價于，解得（舍去），故斜率存在時，不存在直線滿足題意；當直線的斜率不存在時，直線的方程，此時存在點在橢圓上.綜上，存在直線：，使得點在在橢圓上.6.（山西省臨汾市2022屆高三高考考前適應性訓練）如圖所示，在圓錐內(nèi)放入兩個大小不同的球，，使得它們分別與圓錐的側(cè)面和平面α相切，兩個球分別與平面α相切于點，，丹德林（）利用這個模型證明了平面x與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，，為此橢圓的兩個焦點，這兩個球也稱為Dandelin雙球.若平面α截圓錐得的是焦點在x軸上，且離心率為的橢圓，圓錐的頂點V到橢圓頂點的距離為，圓錐的母線與橢圓的長軸垂直，圓錐的母線與它的軸的夾角為.（1）求橢圓的標準方程；（2）設點Q的坐標為（，0），過右焦點的直線與橢圓交于A，B兩點，直線BQ與直線交于點E，試問直線EA是否垂直于直線l？若是，寫出證明過程；若不是，請說明理由.【解析】（1）由題知∶由，解得

因為橢圓的離心率為，所以.所以橢圓的標準方程為（2）當AB的斜率為0時，顯然EA⊥直線l當AB的斜率不為0時，可設其方程為∶，聯(lián)立整理得∶，顯然由韋達定理得∶直線的方程為∶令，得因為，所以，所以，韋達定理代入得∶即，所以EA⊥直線l.7.（廣東省六校2022屆高三上學期第三次聯(lián)考）在平面直角坐標系中，已知圓：，，動圓經(jīng)過點且與圓相外切，記動圓的圓點的軌跡為.（1）求的方程；（2）試問，在軸上是否存在點，使得過點的動直線交于，兩點時，恒有？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.【解析】（1）設動圓的半徑長為，則，，.因此，圓心的軌跡為以、為焦點，實軸長為的雙曲線的右支，設的方程為（），則根據(jù)雙曲線定義，，，因此的方程為（）.（說明：沒寫的范圍扣1分）（2）不存在滿足條件的點，理由如下：假設存在滿足條件的點，設點的坐標為，直線的斜率為，則直線的方程為，由消去并整理，得，設、，則，，（*）由，得，即，將，代入上式并化簡，得.將（*）式代入上式，有，解得.而當直線交于，兩點時，必須有且.當時，，，由無解，則當時，不符合條件.因此，不存在滿足條件的點.8.（上海市松江區(qū)2022屆高三一模）（1）求雙曲線的方程；（2）若對任意的，直線與雙曲線總有公共點，求實數(shù)的取值范圍；（3）若過點的直線與雙曲線交于兩點，問在軸上是否存在定點，使得為常數(shù)？若存在，求出點的坐標及此常數(shù)的值，若不存在，請說明理由.【解析】（1）由題意可知，，因為，所以，所以雙曲線的方程為；（2）聯(lián)立得，當時，此時易知時，直線與雙曲線沒有公共點，不符合題意，所以，且，即，所以，所以，解得，所以；（2）設，所以，當斜率不存在時，可知不符合，所以設直線，所以，①聯(lián)立，得，所以

②，把②代入①化簡得：，所以當時，得，此時.9.（江西省重點中學協(xié)作體2022屆高三2月第一次聯(lián)考）已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點為F，P為C上的動點，Q為P在動直線y＝t（t＜0）上的投影．當△PQF為等邊三角形時，其面積為．（1）求C的方程；（2）設O為原點，過點P的直線l與C相切，且與橢圓交于A，B兩點，直線OQ與線段AB交于點M．試問：是否存在t，使得△QMA和△QMB面積相等恒成立？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．【解析】（1）設，∵為等邊三角形時，其面積為，∴，解得，∵Q為在動直線上的投影，∴；當為等邊三角形時，，由拋物線的定義知，，∴，解得，∴C的方程為；（2）設，，則，，∵，∴，∴切線，即，聯(lián)立方程，∴∵．∴，，∵△QMA和△QMB的面積相等，且A，M，B在同一條直線上，則點M為AB的中點，∴，即，則，所以存在，使得△QMA和△OMB的面積相等恒成立．10.（黑龍江省2021-2022學年高三下學期校際聯(lián)合考試1）圓的離心率為，且過點，點分別為橢圓的左頂點和右頂點.（1）求橢圓的標準方程；（2）是否存在定點，對任意過點的直線（在橢圓上且異于兩點），都有.若存在，則求出的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）由題意得：，解得：，橢圓的標準方程為；（2）由（1）知：，；①當直線斜率不存在時，由得：或，若，，則，，，解得：；若，，同理可求得：；②當直線斜率存在時，設，，則；設直線，由得：，，解得：，，又，同理可得：，，，整理可得：，當時，恒成立；綜上所述：存在滿足題意的點，使得恒成立，此時.11.（安徽省六校教育研究會2022屆高三下學期2月第二次聯(lián)考）已知點A，B是拋物線x2=2py(p為常數(shù)且p>0)上不同于坐標原點O的兩個點，且.（1）求證：直線AB過定點；（2）過點A、B分別作拋物線的切線，兩切線相交于點M，記OMA、OAB、OMB的面積分別為S1、S2、S3;是否存在定值使得S2=S1S3?若存在，求出值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）設，，易知直線AB斜率存在，可設直線AB方程為，聯(lián)立，消去y得∴∴∵點不同于原點，∴，∴，∴，∴直線的方程為，即直線過定點（2）設，，由求導得:，

∴，過點A的切線方程為：……①同理可求得過點B的切線方程為：……②聯(lián)立①②得:，解此方程組得點的坐標為.由（1）得，

∴，∵直線的方程為：，∴點到的距離為，∴同理可求得：而.∵直線AB方程為，∴原點O到AB的距離∴，∴∴，∴，即存在定值使得恒成立.12.（天津市濱海新區(qū)七所重點學校2022屆高三下學期畢業(yè)班聯(lián)考）已知橢圓：（）的焦距為，且經(jīng)過點，過點的直線與橢圓交于點.（1）求橢圓的標準方程；（2）設為線段的中點，為原點，所在的直線與橢圓交于，兩點（點在軸上方），問是否存在直線使得的面積是面積的倍？若存在，求直線的方程，并求此時四邊形的面積，若不存在，請說明理由.【解析】（1）因為知橢圓：（）的焦距為，所以，又因為該橢圓過，所以，因此，因此該橢圓的方程為：；（2）顯然直線存在斜率，設為，該直線方程設為，與橢圓方程聯(lián)立，得，或，所以點的橫坐標為：，則有成立，因此點的縱坐標為：，即，因為為線段的中點，所以點的橫坐標為：，點的縱坐標為：，即，所以直線的斜率為：，所以直線的方程為：，把它代入橢圓方程中，得：，因為點在軸上方，所以點的縱坐標為：，它的橫坐標為：，即，點到直線的距離為：，點到直線的距離為：，假設存在直線使得的面積是面積的倍，則有：，因為為線段