04含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題

TOC\o"1-5"\h\z含參數(shù)極值點(diǎn)偏移問題III■一■一一■一一一■一一一■一?■■■■_■■■一■■■■■■■■—_一■■一_一一一■一■一■一一一_一■■一一■一一■一一一■一一一■一一一■一T適用區(qū)域!人教版!課時(shí)時(shí)長（分鐘）!120!適用學(xué)科I高中數(shù)學(xué)I適用年級(jí)I高三IJ,1!J教學(xué)目標(biāo)|掌握含參數(shù)極值點(diǎn)偏移問題IIIIIr1教學(xué)重點(diǎn)，掌握含參數(shù)極值點(diǎn)偏移問題!II4T教學(xué)難點(diǎn)I掌握含參數(shù)極值點(diǎn)偏移問題I■一、極值點(diǎn)偏移對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)y=/（x）,在區(qū)間（。,幻上只有一個(gè)極大（?。┲迭c(diǎn)Xo,方程f（x）=0的解分別為羽,工2，<xL<x2<b,r4-r（1）若/（X1）</（2x0-X2）,則當(dāng)二v（>）x°,即函數(shù)y=/（x）在區(qū)間3，七）上乙極（小）大值點(diǎn)％右（左）偏：（2）若f（xj>f（2x°—易），則七%>（<）%，即函數(shù)y=/W在區(qū)間（如叢）上極（?。┐笾迭c(diǎn)X。右（左）偏.證明：（1）因?yàn)閷?duì)于可導(dǎo)函數(shù)y=/（x）,在區(qū)間（。,幻上只有一個(gè)極大（?。┲迭c(diǎn)七，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增（減）區(qū)間為（。,&）,單調(diào)遞減（增）區(qū)間為（x。,幻，由于a<xY<x2<b，有x{<xQ,且2x°-土<x。，又/（xj<f（2xQ-x2）,故.q<（>）2x0-x2,所以七旦<（>）%,即函數(shù)極（?。┐笾迭c(diǎn)X。右（左）偏；（2）證明略.

二、對(duì)點(diǎn)詳析，利器顯鋒芒含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題，在原有的兩個(gè)變?cè)?q,叢的基礎(chǔ)上，又多了一個(gè)參數(shù)，故思路很自然的就會(huì)想到：想盡一切辦法消去參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問題去解決：或者以參數(shù)為媒介，構(gòu)造出一個(gè)變?cè)男碌暮瘮?shù).★例1.己知函數(shù)f{x)=x-aex有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x^x2,求證：x{+x2>2.★例2.已知函數(shù)f(x)=lnx—or,。為常數(shù)，若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)勺毛，證明:★例3.己知&,易是函數(shù)/(%)=ex-ax的兩個(gè)零點(diǎn)，且凡vx2.求證：凡+土>2：求證：X^X2<1.★例4.已知函數(shù)f(x)=x-ea\a>0),若存在入1，工201〈易)，使f(&)=/(易)=0，求證：^-<ae.x.【招式演練】★設(shè)函數(shù)/(x)=e'-ax+a(aeR)的圖像與x軸交于,0),B(x2,0)(x1〈土)兩點(diǎn),證明：f'(V^T)vO；求證：玉尋VXi+X"★設(shè)函數(shù)f(x)=ahix-bx2,其圖像在點(diǎn)P(2J(2))處切線的斜率為一3.當(dāng)a=2時(shí)，令g(x)=f(x)-kx,設(shè)也*0<叢)是方程g(x)=0的兩個(gè)根,必是上毛的等差中項(xiàng)，求證：g'(Xo)<0(g'⑴為函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)).★設(shè)函數(shù)/(x)=crx~--2ahiax{a>0),函數(shù)ff(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，旦A(NJ(x】)),B(七,/W))是/(X)的圖像上不同的兩點(diǎn)，滿足/(xj+/(x2)=o,線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X。，證明：。氏0>1?★己知函數(shù)/(x)=a---hix(<agR).x若0=2,求函數(shù)/(x)在(l,b)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；若f(x)有兩零點(diǎn)(%!<x2)，求證：2<X]+W<3e"T-l.★巳知函數(shù)f(x)=k?+(i_a)x-alnx.(I)討論f(X)的單調(diào)性；(II)設(shè)a>0,證明：當(dāng)O〈x〈a時(shí)，f(a+x)<f(a-x)；X+X(III)設(shè)七法2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明f'(蘭一)>0?★己知函數(shù)/(x)=4111V-—rnx1(/w>0).(I)若//?=!,求函數(shù)/'(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；若函數(shù)g(x)=f(x)-(/??-4)x,對(duì)于曲線y=g(x)上的兩個(gè)不同的點(diǎn)M(X],g3)),N(土,g(w))，記直線MN的斜率為k，若k=g，(X。),證明：xk+x2>2xq.★己知函數(shù)/(x)=ln(x+l),g(x)^x2-x.(I)求過點(diǎn)(一1,0)旦與曲線y=f(x)相切的直線方程：設(shè)/i(x)=qf(x)+g(x),其中。為非零實(shí)數(shù)，y=h{x)有兩個(gè)極值點(diǎn)玉％，且<x.,求a的取值范闈：在(1【)的條件下，求證：2/?(x2)-x1>0.★已知函數(shù)/(x)=liiv.證明：當(dāng)工>1時(shí)，工+1-_>0：若函數(shù)^(x)=f{x)+x-ax2有兩個(gè)零點(diǎn)A',x2(^<x2,0>0),證明:解析★例1.己知函數(shù)f(x)=x-aev有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x^x2,求證：xL+x2>2.t解析】思路1：函數(shù)/CO的兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程的兩個(gè)實(shí)根，從而這一問題與專題三(不合參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題〉例題完全等價(jià)，專題三例題的四種方法全都可以用；思路2：也可以利用參數(shù)白這個(gè)媒介去構(gòu)造出新的函教?解答如下：因?yàn)楹瘮?shù)/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)%也,所以jy*，改-W均⑵由(1)+(2)得：毛+玉=心樸+#)>要證明習(xí)十沔>2,只要證明々(/1十承)>2,由Q)—(2)得；荷一習(xí)=a(/一。如)，即。=4^，易白火-工②+]即證：3-叱)一>26石-與)>2,e1-e2e12—1不妨設(shè)X]>x2,記t=x{-x2>貝i]f>0,/>1,4+12(d—1)因此只要證明：/?-——>2or——\一>0,e1-ld+1再次換元令ef=x>l,r=hix,即證hix-—一>0,xe(1,+s)x+1構(gòu)造新函數(shù)F(i)=ln.t-為二9,F(l)=0x+114(x-\}2求導(dǎo)F'(x)==一>0,得尸(x)在(1,+s)上遞增，X(1+1)-X(X+1)-所以F(x)>0,因此原不等式易+土>2獲證.★例2.己知函數(shù)f（X）=hlX-CVi,。為常數(shù)，若函數(shù),3）有兩個(gè)零點(diǎn)上易，證明:xLx2>e2.[解析]法_：消參轉(zhuǎn)化成無參數(shù)問題：f（x）=0<^lnx=oxOliix=ae^>\由是方程/?=0的兩根，也是方程kx=勇心的兩根，則血斗In改是方程工=&'的兩根>設(shè)％=血毛,花=血叱，京工）=由一、則家利）=￡（叱），從而而此>/oln;q+ln改>2。珂+牝>2,此問題等價(jià)轉(zhuǎn)化成為專題三例題'下略一法二：利用參數(shù)〃作為媒介，換元后構(gòu)造新函數(shù)：不妨設(shè)X]>x2,?.?InxL-ax{=05hix2-ax2=0,/.hi+hix2=a（x{+x2）.Inxk-hix2=。（耳_易）,:.―=a.欲證明xx.>e2,即證hix.+hi>2.TOC\o"1-5"\h\zX—M.A_2?/lux】+lnx,=+x「），..?即證。>,..x+匚?.?原命題等價(jià)于證明ln“—mL>,即證：q>2（"少,令f=&,Q〉i）,A-毛xk+x2x2xk+x2x2構(gòu)造&（，）=11“-四二4」〉1,此問題等價(jià)轉(zhuǎn)化成為例1中思路2的解答，下略./+1法三：直接換元構(gòu)造新函數(shù)：111X.Ill111叢M叢，八。=—=—-<=>—==,設(shè)aVA\,r=^,（f>1）,TOC\o"1-5"\h\zX]x2InX]&-&rllIntx.liir+liix.則乙=叫,一=/<=>—=1,-111X]111X]L”I.1hiZ[hi/thit反解出：InX.=,lnx、=hitxx=lnf+ln兀=ln，+=,1r-1"11t-1t-1故工內(nèi)>e2<=>In+\nx2〉2O>2,轉(zhuǎn)化成法二，下同，略./—1

★例3.已知耳,x?是函數(shù)/(X)=ex-ax的兩個(gè)零點(diǎn)，且耳<x2.(1)求證：羽+多>2；(2)求證:xrx2<1.【解析】(1)問題可以轉(zhuǎn)化為：y=—與卜=一有兩個(gè)立點(diǎn)』由圖知，Ovjqviv也

ea且<氣即，巧=—

a4點(diǎn)K。_侖—e'L=Qg—而)>a且<氣即，巧=—

a4點(diǎn)K。_侖—e'L=Qg—而)>a=/-及+i2也即sx,A>令￡=勺—西頂ke(Q+x)◎%—1x1—x[設(shè)詼)*+1)*—如貝板&)=庭_/+1:加”斗.軟骸)在(。,也單調(diào)遞增，即gO)>g'(0)=。-:.g<fy在(0,網(wǎng)單調(diào)遞照艮Pg(r)>g(O)=(b故原不等式得證.(2)要證：沖G<1,即證：仁二一<1,等價(jià)于航.亦<(—￡!)、CTX2-X{TOC\o"1-5"\h\z八七丐11也即-,<—-一，等價(jià)于<—-一,令t=x.-Xi>0(亦-g"任-”(*f-l)-(X.-Aj-'tel1e：1L等價(jià)于t1.<-(r>0),也等價(jià)于一<-(f>0),等價(jià)于即證：t.e2-el+l<0(#-1)-t2el-\t令h(t)=te2-e1+l(r>0),則h'(t)=e2+-t-e2-e1=e2(l+--e2),22fL|tL又令秋/)=1+——e2(t>0),得(p(t)e2<0,(p(t)在(0,+s)單調(diào)遞減,\o"CurrentDocument"222傾f)〈偵0)=0,從而h9(t)<0,h(t)在(0,+s)單調(diào)遞減，/?h(t)</?(0)=0,即證原不等式成立.【點(diǎn)評(píng)】從消元的角度，消掉參數(shù)。，得到一個(gè)關(guān)于玉,W的多元不等式證明，利用換元思想，將多元不等式變成了一元不等式，并通過構(gòu)造函數(shù)證明相應(yīng)不等式.★例4.己知函數(shù)f（x）=x-etL\a＞0）,若存在凡,工2（氣＜易），使f（xj=/（易）=0，求證：—＜ae.x2【解析】函教/W的零點(diǎn)等價(jià)于方程的實(shí)根，令威X）=重,（XA0）,XX求導(dǎo)可知jg（x）在（。矽上里調(diào)睡增，在（。出）上里調(diào)理;原或或蜘=s＜^）=-e（i）下證：當(dāng)。日寸，方程有兩個(gè)實(shí)根一exx當(dāng)xe（0y）B七義（、）是減函數(shù)廣.?歡1）=0涪但）=1頑1）心＜爪矽€.?.當(dāng)xE（0,或g（x）為增函數(shù)，菖（1）=Qg（@）-:g（y）＜a＜?xì)ge）,e二當(dāng)注（0"）時(shí)，。=給有一解,記為耳.X當(dāng)XE（E+CD）時(shí)，￡（*）為減函數(shù)，從（4）=一23勺11仁a先證：義（4"）＜口，即證：7令取8）=alnQ（a＞。），a2求導(dǎo)由相。）的單調(diào)性可得:A（曰）酣=人（【）=一[＞一!，故不等式々111曰＞一!即證,&&22也即原不等式或4）〈曰成立.a.??當(dāng)xe（^-H?）時(shí)'?=—W—解，記為他.X再證：—＜ae.x2...X]_OT]_OT]x2ax2liix2而0v&ve＜七，hix2＞1.&axAae=一-＜一=ae.i止畢.Mhim1

【招式演練】★設(shè)函數(shù)/(x)=ex-ax+a(aeR)的圖像與x軸交于A(xk,0),Bg0)(.q<?％)兩點(diǎn),（1）證明：（扁g）v0；(2)求證：xYx2<xL+x2.IW1（l）法一:因?yàn)閉+a=兩式相減得“二土￡2[e*-ax2+a=0t瑪一再記土m=s（"°），則，（宇?）*呼-丑菁=$[2sTS-廣）]，ZIZ/A?ZtS設(shè)g（s）=2s-（W-eT）,則m）=2-（b+e-，）<0,所以g（s）是單調(diào)減函數(shù),<0.則有g(shù)（s）<g（o）=o,而￡>0,所以r（丑方冬）<0.又f\x）=cx-a是單調(diào)增函氮且色尹>盡，所以尸（辰;）<0.法二：x=ln”是/⑴的極小值點(diǎn)，易證X]<\na<x.,設(shè)F(x)=/(lna+x)-/(lna-x)=a(ex-e'x-2x),(x>0),Fr(x)=a(ex+e'x-2)>0F(x)在(Q*o)單調(diào)遞增，因此F(x)>F(0)=0,即x>0W/(lna+A)>/(lna-x),易證xx<]na<x2,所以2\na-x?>Ina,因此f(x})=f(x2)=f(]na+(x2-\na))>f(]na~(x2-lna))=f(2\na-x2),因?yàn)?（x）在（-oojna）單調(diào)遞減，所以Xl<2]na-Xz^^^<\na.TOC\o"1-5"\h\zLXr又/U）=ex-。是單調(diào)遞增函數(shù)，所以廣（卮）<r（m。）=0.teXl=a(x.-1)(2)證明：由《，易知叢>也>1且?！礸,e^=a(x2-l)°nTelA._vx.-1z,cizalna-ln/7,從而——=廣*=一，令a=xl-\,p=x,-l,則ea^=—=>=1,Kx2-l-pa-p由于X/、ex】+M<=>初vl,下面只要證明：必<10/7<L,(0<1<“)，--a結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx的圖像可知，只需證：(a,lna),(L,lnL)兩點(diǎn)連線的斜率要比aa(q,liia),(fi,In/?)兩點(diǎn)連線的斜率小即可,】!1hia-hiZ7ma-ln—】又因?yàn)镽==1,即證：<10——a+21na>0(0<a<1),臣1aaa令g(a)=L-Q+21n?！?,(0<1),則g\ct)=+—<0,aa-aa~???g(a)在(0,1)上單調(diào)遞減，..?g(Q)>g(l)=0,:.原不等式％易<&+土成立.★設(shè)函數(shù)f(x)=ahix-bx2,其圖像在點(diǎn)F(2J(2))處切線的斜率為-3.當(dāng)a=2時(shí)，令g(x)=/(x)-Aa-,設(shè)<x2)是方程g(x)=0的兩個(gè)根，孔是3,易的等差中項(xiàng)，求證：g'(*o)v0(g'(x)為函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù))?【解析】由函數(shù)了(力圖像在點(diǎn)必(2質(zhì)2))處切線的斜率為一3得力=1,所以氛閔=211]1*-￥-坂的兩個(gè)零點(diǎn)氣,改，貝巾2岫不炕"2111—JGj—/oCj=0,相減得：2(lnjq-血沔)一(峙一也與一忒為一氣)=0,'.'工]六沔，.4蘭冬四-3+"故&=乏-2…里--翌mXl-X2為邑+工2邑一也2(^-1)=w_[竺而-1D成=_2-勻習(xí)一行血+習(xí)祈—西丑+]叫TOC\o"1-5"\h\z令f=送,烷(。」)‘^)=^￡z^-lnr=2-—-InGx+1r+14.1(t-Vi12則^)=-—J—=-^-^<0,憩)在(0,1)±單調(diào)i弱成，故秘下)>秘。=0,又<0,所(/+1)t<2?+1)而一習(xí)以E0j)<O,證畢一★設(shè)函數(shù)/(X)=crx---2ahiax(a>0),函數(shù)f\x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且xA。J(x】)),B(土,/(%))是/(x)的圖像上不同的兩點(diǎn)，滿足/(xj+/(x2)=0,線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為玉)，證明：ox°>l.y_i_v1?1【解析】7^0>10^-^>-0^>——叢，又依題意fXx)=(a——)2>0,2aax

2得/(x)在定義域上單調(diào)遞增，所以要證以。>1,只需證—/(%.)=/(^)a2即/(—叢)+/(叢)＜。①a不妨設(shè)，注意到/(上)=0,由函數(shù)單調(diào)性知，有耳<上,叢>上，aci"a構(gòu)造函數(shù)心=尼-中任)，則F3=s-怎F=-舞若當(dāng)x>-時(shí)，F(xiàn)\x)<0,即F(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>-時(shí)，F(xiàn)(x)<F(-)=0,從而不等式aaa①式成立，故原不等式成立.★己知函數(shù)/(%)=6Z---111x(agR).(1)若。=2,求函數(shù)/(x)在(Le)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)若/(*)有兩零點(diǎn)x’x?(志<馮)，求證：2VX]+格<3，i一1.【解析】(1)由題設(shè)，故在(1,。2)上單調(diào)遞減，X所以/⑴在(1,e2)上至多只有一個(gè)零點(diǎn).又/(1)/(e2)=-4<0,故f⑴在(1,e2)上只有一個(gè)零點(diǎn).e(2)①證：先證與+互>2?法f利用通法證明/(】)=。-土-lnx的極值點(diǎn)x=l向左偏移，即1<的蘭.法二t直接換元法化單變?cè)阂李}設(shè)，有a=l+lnx=—+lnx2,于是土邑=血五.寧毛X2'X}X2X]!12|2(Inf)id—=6t>\>則lni=,故X]=?于是,x\+xi=xi(t+\)=，xi+jt-2=玉f叫Zin/lintInf記函數(shù)亦aO—E，4L因g'(x)=°浮>0,故亦)在(1,+8)上單調(diào)遞增.2x2x于是，Q1時(shí)，g(r)>g(lM.又出>0,所以，x}+x2>l.②再證X[+恐<3卯一1?因?yàn)闇?U*人(x>w-l-xln心)，故Xi，x2也是/(*)的兩零點(diǎn),Bh\x)=a-l-hw=0,得x=3,且xveaAJil(x)>0^x>e",h\x)<0利用通法證明h(x)=ax-l-xhx的極值點(diǎn)x=e"向右偏移，所以竺壘<即a,+x2<2/t,由耳+為>2即竺也>1得，22]+(歷+易)<^^~+(弓+》2)=3(可+易)〈2.2。3=3丁-'=習(xí)+易〈女3_1.222【點(diǎn)評(píng)】1.方程的變形方向：①孔V是函數(shù)/(X)的兩個(gè)零點(diǎn)，1是該函數(shù)的極值點(diǎn).②％,土是函數(shù)/?(*)的兩個(gè)零點(diǎn)，礦T是該函數(shù)的極值點(diǎn).2灘點(diǎn)氣+易<3礦-1的證明依賴?yán)脁l+x2>2放縮.★己知函數(shù)f(x)=+(1-a)x-alnx.J(I)討論f(x)的單調(diào)性；(II)設(shè)aAO,證明：當(dāng)Ovxva時(shí)，f(a+x)<f(a-x)；X+X設(shè)七乂2是f(X)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明f'(一)>0.2【答案】(I)f(x)在(O,a)上單調(diào)遞減，在(a,+口)上單調(diào)遞增；(II)當(dāng)0vx〈a時(shí)，f(a+x)<f(a-x)；(III)證明過程見解析【解析】試題分析：<I)求導(dǎo)，并判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，分別討論義的取值』確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(0)構(gòu)造函數(shù)8閔=仙?x)-仙?xb利用導(dǎo)歉求幽數(shù)啪當(dāng)。vx<a時(shí)的最大值小于零即可.X.+X,X.+X,(III)由(11)得，伽-叩頊小>七)5卻=?！簭亩ビ谑怯?I)知.試題解析成I)間的定義域?yàn)閕m，求導(dǎo)數(shù)'/?曰■a(x)=x-t-1-a--=K乂-a(x+l)(x-a|若a如，則此時(shí)啊在(小F上單調(diào)遞輸若彳>求導(dǎo)數(shù)'/?曰■a(x)=x-t-1-a--=K乂-a(x+l)(x-a|(II)令g(x)=f(a+x)"(a-x),則1,1g(x)=-(a+x)~+(1-a)(a+x)?aln(a+x)?[^(a?x)~+(1-a)(a.x)-aln(a?x)]=2x-aln(a+x)+aln(a-x)?求導(dǎo)數(shù)，得g(x)=2-—。.a+xa-xa'x，當(dāng)時(shí)0vxva,g(x)v0，???g(x)在(0間上是減函數(shù)?而g(0)=。，???g(x)<g(0)=0,故當(dāng)0vxva時(shí)，f(a+x)<f(a-x)(III)由(I)可知，當(dāng)aw。時(shí)，函數(shù)y=f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn),故aAO,從而f(x)的最小值為f(a),且f(a)vO,

不妨設(shè)0vX]〈X2，貝l]O<X!<a<x2,??.0<a-x1<a,由(II)得f(2a-X])=f(a+a-X])<fg)=0,X+Xn從而x°>2a.X],于是_>a,2V+X由(I)知，f(2_2)>0.2點(diǎn)晴:本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性.不等式比較大小，函數(shù)的零點(diǎn)問題：在(【)中通過求導(dǎo),并判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，分別討論的取值，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(II)通過構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(a+x)-f(a-x),把不等式證明問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題，求函數(shù)g(x)當(dāng)0<x<a時(shí)的最大值小于零即nJ.(Ill)要充分利用(【)(]【)問的結(jié)論.★己知函數(shù)/(x)=4111V-iinx2(/w>0).(I)若〃7=1,求函數(shù)/'(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(II)若函數(shù)^(x)=/(x)-(/n-4)x,對(duì)于曲線y=g(x)上的兩個(gè)不同的點(diǎn)N(邑,g(土))，記直線A/N的斜率為k,若A=g'(xo),證明：xk+x2>2x°?【答案】(1)(0,2)(2)見解析【解析】試題分析"1)先確定函數(shù)定義域〈Q+切，再求導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求定義區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)2,最后列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)：當(dāng)o<X<2時(shí)，確定單調(diào)增區(qū)間為(0,2).〈2)極點(diǎn)偏移問題，關(guān)鍵構(gòu)造函數(shù)；先轉(zhuǎn)化所證不等式號(hào)希為g(五尹因?yàn)間沖)一5■(查苔)=4（岫一1nxj）g4（岫一1nxj）g(5電一些毛+工]2^-1七四+1，所以轉(zhuǎn)化研=山-半洛(。1)單調(diào)性，易得在(Lz)上單調(diào)遞增，即得結(jié)論.試題解析"I）依題意，fr（x）=--x=^-XXX令廣（工）>0,即2—?0,解得0<x<2j故函數(shù)/（》）的單調(diào)遞增區(qū)間為（。2）.（II〉依題意，g（x）=/（對(duì)一（jh-4）x=41nx-一wd?+（4-時(shí)尤,2￡（而）一艮（叱）=4（1嗎一岫J一；用（￡一過）+（4-時(shí)（而一沔）=4（岫一嶼）一:血（沔+改）3—五）+（4—功）（沔一與"￡由題設(shè)得e）K）一心）=弘岫一峽）_頃"易）+（4-少X]—X-,Xj—X-y2,[&+叢）8x+X.-又g———-=-m?——+4-/?,2JxL+x^2.?*）』宇卜些土H=JhLf）一主國\2）I】-x2X]+x2x2-xLx2+X]2—-13不妨設(shè)0vx】〈土，t=M貝以>1,則In旦一xi旦+1%22—-13不妨設(shè)0vx】〈土，t=M貝以>1,則In旦一xi旦+1%2（/-l）=Inr_--——-t+l令力（°=11".了）（r>i），則/*）=：「*>o,所以機(jī)。在（1,+s）上單調(diào)遞增,故In—-無迫+1Xi又由g'（x）=￡-〃5+（4-〃7）知g'（x）在（0,+8）上單調(diào)遞減,A所以虹擔(dān)＞%,即凡+易＞2必.★已知函數(shù)/(x)=ln(x+l),1SW-x^-x（I）求過點(diǎn)（-1,0）且與曲線y=f（x）相切的直線方程;（II）設(shè)/?（x）=#（x）+g（x）,其中一為非零實(shí)數(shù),y=h（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x^x2,且\＜x2,求a的取值范闈；（III）a（II）的條件下,求證：2/?（易）—玉＞0.★已知函數(shù)/(x)=ln(x+l),1SW-x^-x【答案】（1）x-ey+l=0（2）見解析一_【解析】試題分析；（1）設(shè)切點(diǎn)為（而,處），先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率等于切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值上=一I，與+1再根據(jù)切點(diǎn)與點(diǎn)（-LO）連線的斜率等于切線斜率，列方程，解得氣=侖-1,最后根據(jù)點(diǎn)斜式與切線方程，（2）由題意得導(dǎo)函數(shù)在定義區(qū)間上有兩個(gè)不等的零點(diǎn)，即方程盤+（。-1）=0在（-1+8）上有兩個(gè)不同的實(shí)根，即解得a的取值范圍;＜3）由為二改二后，化簡不等式2五（改）一氣＞0得2（L十易）1b（沔十1）—習(xí)＞0,構(gòu)造函數(shù)r[x）=2（l十x）ln（x十1）—x,x?利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性:K、）在（。,1）上單調(diào)遞增，確定r3）＞K°）二0，即證得結(jié)論?試題解析，（I）尸⑴二上x+1設(shè)切點(diǎn)為（布,處），則切線的斜率為k=-1—互+1點(diǎn)（％為）在/（x）=h（x+l）±,j0=ln（j^+l）...如(.\。+1)=1,解得扁=?！?x°+lx°+l?.?切線的斜率為上，..?切線方程為x—c+l=Oeh(x)=af(x)+g(x)=aln^x+l)+—x~-xxa1^+(。一1)h(x)=+x-l=,x>-l'7x+1x+1當(dāng)a-l>0時(shí)，即時(shí)，〃（x）20,/?（x）在（—1,+s）上單調(diào)遞增；當(dāng)0V<<1時(shí)，由/?'（*）=0得，X[=-Jl-（i,x,=Jl-a,故/?（x）在-“）上單調(diào)遞增，在（-JT二萬,JT二萬）上單調(diào)遞減，在（JTH,+o。）上單調(diào)遞增；當(dāng)。<0時(shí)，由/?'（工）=0得，-。，/?（工）在（-J1-",J1-"）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)0V<<1時(shí)，/?（工）有兩個(gè)極值點(diǎn)，即X]=-Jl—a,x2=>jl-a，即a的范圍是（0,1）（III）由（II〉知jq+Xj=0,jqxj=。一1,由0得，—1<0^0<Xj<1由2威改）—而>。4?2頁改）+羽>0+>0沔=Jl-々,'.a=1—,即證明2（1—巴'）】"習(xí)+1）+X—改>0即證明2（1+羽）地（羽+1）—改>0構(gòu)造函數(shù)/(x)=