134 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題

13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題(V)教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】通過對(duì)最短路徑問題的探索，進(jìn)一步理解和掌握兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短.【過程與方法】讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，掌握探索最短路徑問題的思想和方法.【情感與價(jià)值觀】在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，樹立自信心，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系.教學(xué)重難點(diǎn)【重點(diǎn)】應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決最短路徑問題.【難點(diǎn)】選擇合理的方法解決問題.1教學(xué)準(zhǔn)備【教師準(zhǔn)備】多媒體課件(1,2).【學(xué)生準(zhǔn)備】復(fù)習(xí)畫軸對(duì)稱圖形的方法.教學(xué)過程導(dǎo)入一:【思考】?jī)牲c(diǎn)所連的線中,最短.連接直線外一點(diǎn)與已知直線上各點(diǎn)的所有線段中,最短.我們研究過以上這兩個(gè)問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}.同學(xué)們通過討論下面兩個(gè)問題,可以體會(huì)如何運(yùn)用所學(xué)知識(shí)選擇最短路徑.(揭示課題)導(dǎo)入二：灰太狼從羊村落魄回來途中，不小心掉進(jìn)臟水坑，為了不讓同伴看到自己落魄不堪的樣子,于是決定去河邊先洗個(gè)澡，沖洗掉身上的臟物，然后再回家，如圖所示，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種路線，教教可憐的灰太狼，告訴它走哪條路線回家最近.區(qū)新知構(gòu)建問題1［過渡語］首先我們來研究河邊飲馬問題.【課件1】（河邊飲馬問題）如圖所示，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬,然后到B地.牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？思路一【師】現(xiàn)在假設(shè)點(diǎn)A，B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在l上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離的和最短？【生】舉手回答.【師】歸納結(jié)果.連接AB，與直線l相交于一點(diǎn)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可知這個(gè)交點(diǎn)即為所求.【思考】如果點(diǎn)A，B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，又應(yīng)該如何解決？【生】討論交流.【思考】（1）牧馬人到筆直的河邊飲馬，河邊可以近似看成一條直線,假設(shè)到C點(diǎn)飲馬，要保證所走的路徑最短和哪些線段有關(guān)？（2）要利用我們學(xué)過的哪些知識(shí)？要經(jīng)過怎樣的圖形變換轉(zhuǎn)移到一條線段上？【生】分組交流合作，在小組內(nèi)達(dá)成共識(shí)的基礎(chǔ)上,推選代表進(jìn)行板演.【師】幻燈片演示畫法,指導(dǎo)學(xué)生證明AB'=AC+BC.（B,B'兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱）如果在直線上另外任取一點(diǎn)C',連接AC',BC',B'C'.怎樣證明AC+CB<AC'+C'B?【生】討論交流完成.【師】反饋學(xué)生完成情況，集體講評(píng).【總結(jié)方法】找出其中某一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)即為所求，證明時(shí)要利用三角形三邊的關(guān)系來證明.思路二【提出問題】如果點(diǎn)A和點(diǎn)B分別位于直線l的異側(cè)，如何在直線l上找到一點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離的和最短？【讓學(xué)生了解】“兩點(diǎn)之間，線段最短”在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用.【思考】如果點(diǎn)A和點(diǎn)B位于直線l的同側(cè)，如何在直線l上找到一點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離的和最短?[通過交流思考,培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力,讓學(xué)生通過軸對(duì)稱的圖形變換作出某一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),找到飲馬的位置.]教師引導(dǎo)學(xué)生討論，明確找點(diǎn)的方法.讓學(xué)生對(duì)剛才的方法通過邏輯推理的方法加以證明.教師巡視指導(dǎo)學(xué)生的做題情況，有針對(duì)性地進(jìn)行點(diǎn)撥.問題2【課件2】（造橋選址問題）如圖所示,A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.）

我們可以把河的兩岸看成兩條平行線a和b,思考：要保證路徑最短就是要使哪些線段的和最?。繜o論點(diǎn)M,N在什么位置,MN的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？為什么？【生】合作交流.【師】結(jié)合學(xué)生討論的結(jié)果，強(qiáng)調(diào)MN為定值，問題的關(guān)鍵就是要保證AM+NB的和最小.【生】閱讀教材第87頁(yè)，合作交流思路.【師】小組匯報(bào)，教師點(diǎn)評(píng)，展示教材圖13.4-9的證明過程.證明AM+MN+NBvAM'+M'N'+N'B.證明:因?yàn)锳'BvA'N'+N'B,所以A'N+NBvAM'+N'B.又因?yàn)锳M=A'N,所以AM+NBvA'M+N'B.又MN=M'N',所以AM+MN+NBvAM'+M'N'+N'B.宿課堂小結(jié)最短路徑問題，常用的方法是借助軸對(duì)稱的知識(shí)轉(zhuǎn)化，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來求線段和的最小值，從而解決最短路徑問題.

作業(yè)布置：如圖所示,四邊形OABC為正方形,邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)A,C分別在x軸、y軸的正半軸上,點(diǎn)D在OA上，且D的坐標(biāo)為(1,0),P是OB上的一動(dòng)點(diǎn)，則“求PD+PA的最小值”要用到的依據(jù)是()兩點(diǎn)之間，線段最短軸對(duì)稱的性質(zhì)“兩點(diǎn)之間，線段最短”以及“軸對(duì)稱的性質(zhì)”以上都不正確如圖所示,已知點(diǎn)P在銳角zAOB內(nèi)部,』入0由口在OB邊上存在一點(diǎn)D,在OA邊上存在一點(diǎn)C,當(dāng)PD+DC最小時(shí),」PDC=如圖所示，要在公路MN上修建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站P,分別向A,B兩個(gè)開發(fā)區(qū)運(yùn)貨.若要求貨物中轉(zhuǎn)站P到A,B兩個(gè)開發(fā)區(qū)的距離相等,則貨站應(yīng)建在哪里？若要求貨物中轉(zhuǎn)站P到A,B兩個(gè)開發(fā)區(qū)的距離和最小,則貨物中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在哪里？(分別在圖上找出點(diǎn)P,并保留作圖痕跡.)如圖所示,BA,BC是兩條公路，在兩條公路夾角內(nèi)部的點(diǎn)P處有一油庫(kù),若在兩公路上分別建一個(gè)加油站，并使運(yùn)油的油罐車從油庫(kù)出發(fā)先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油庫(kù)的路程最短，則加油站應(yīng)如何選址？按要求作圖：(1)如圖(1)所示,在直線l兩側(cè)有兩點(diǎn)A,B,在直線l上找一點(diǎn)P,使|PA-PB|最大;⑵如圖⑵所示，在直線l同側(cè)有兩點(diǎn)A,B,在直線l上找一點(diǎn)P,使|PA-PB|最大;⑶如圖(3)所示,在直線l同側(cè)有兩點(diǎn)A,B,在直線l上找一點(diǎn)P,使|PA-PB|最小.【能力提升】如圖所示,P,Q分別為AABC的邊AB,AC上的定點(diǎn)，在BC上求作一點(diǎn)M,使APQM的周長(zhǎng)最小.A如圖所示,點(diǎn)A,B位于直線l同側(cè),定長(zhǎng)為a的線段MN在直線l上滑動(dòng)，則當(dāng)MN滑動(dòng)到何處時(shí)，折線AMNB的長(zhǎng)度最短？

【拓展探究】如圖所示，城市M與城市N在運(yùn)河l的同側(cè)，運(yùn)河沿線有無數(shù)個(gè)港口C1,C2,C3,...,Cn某快遞公司新增項(xiàng)目A,計(jì)劃在M城、N城和某港口間開通一條常用運(yùn)輸路線，為計(jì)算運(yùn)輸成本，以此三點(diǎn)形成的三角形周長(zhǎng)作為項(xiàng)目A的基本長(zhǎng)度.該公司人員在從左向右選擇港口過程中，項(xiàng)目A的基本長(zhǎng)度如何變化？為節(jié)約運(yùn)輸成本，該公司希望選擇使基本長(zhǎng)度最小的港口，這無數(shù)個(gè)基本長(zhǎng)度中有沒有最小值？如果有，請(qǐng)畫圖并說明這個(gè)港口的位置.【答案與解析】1.C2.2a(解析:如圖所示，作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P',作P'C±OA于C,交OB于D,此時(shí)PD=P'D,根據(jù)點(diǎn)到直線的垂線段最短可知PD+DC=P'C最短」.NPDAzP'DBHCDO^P'DB,.NCDO^PDB'.PCLoAzAOAa,』.」CDO=90°-a,.NPDC=180°-2(90°-a)=2a.故填2a.)3.解:(1)如圖(1)所示.(2)如圖(2)所示.⑴

4.解:如圖所示,C,D點(diǎn)即為所求.5.解:(1)如圖所示.(2)如圖所示.(3)如圖所示.解:作出點(diǎn)Q關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)Q',連接PQ',交BC于M,如圖所示，則M點(diǎn)即為所求.A解:如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'B交l于N,在直線l上截取MN等于a,(M在N左側(cè))連接AM,此時(shí)折線AMNB的長(zhǎng)度最短.解:(1)lMN的長(zhǎng)度不變,基本長(zhǎng)度與CM+CN的變化相同「.CM+CN先變小，后變大,「.項(xiàng)目A的基本長(zhǎng)度先變小后變大.(2)使基本長(zhǎng)度最小的港口C如圖所示.cc板書設(shè)計(jì)：13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題問題1.河邊飲馬問題問題2.造橋選址問題教學(xué)反思：本節(jié)課所要達(dá)成的目標(biāo),一是能將實(shí)際問題中的“地點(diǎn)”“河”抽象為數(shù)學(xué)中的“點(diǎn)”“線”，把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題;二是能利用軸對(duì)稱將和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題;三是能通過邏輯推理證明所求距離最短;四是在探索最短路徑的過程中,體會(huì)軸對(duì)稱的“橋梁”作用，感悟數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想.教師在教學(xué)過程中能積極調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，通過學(xué)生的互動(dòng)掌握了知識(shí)，教學(xué)效果較好.對(duì)于最短路徑的確定，教師講解不夠細(xì)致，學(xué)生理解時(shí)有難度.另外對(duì)于證明方法的