數(shù)字圖像處理-線代基礎(chǔ)-第三章

提投影2向量與矩問題:

b1

b 2N

2 2

M M

MN N

M3矩

a1NA

a2N M M MN單位矩陣

0 0 I 0 1 矩對稱矩陣和對角aaaaa1N2NaN1aNaNN

A

A

aMN

a1N

A

a2N

A

MN

M M

MN矩矩陣行數(shù)和列數(shù)都相同

=

+

= 矩矩陣

cpq

=APNN=apnbnqN交換性AB=矩矩陣CPQ

APNBNQ

a11β1a11β1a12β2

βa

2N

2

2 N

β

β P

PN

N

P

N T

bαb

α,α

,α

N

α α N1 N

NQ

2

N矩矩陣的若A的逆存在，稱其是非奇異的，否則是奇異矩陣

(AT)T(AT

矩矩陣的性質(zhì)rank(AB)

min(rank(Α),

B)

rank(A)

rank(C

A是可逆

A滿向列

u1uu2 行向量的

u Nu,vNv ,vN,uNuTu ,uN 向uvu向量的uvuu,

vTu

NN

unvn

vuuuvTu vTuvu

vvTvv

vvTuT向量的范uTu,u u,

=

22n n零空間與像空問題:

+h1NxNhx+

x

2 1x1+hM2x2 +hMNxN

線性組

+xNhN =零空間與像空

=+xNhN若僅當(dāng)x1x2 =xN=0時，等+xNhN101,1T線性無則稱h1,101,1T線性無

x1+x0

x11 2

= 2 0 12

x2僅當(dāng)x

0時，等式成立→10T01,

和0,1T的所有線性組合的集合零空間與像空向量空間

1 0n:所有 向量的集

+x21對加法、數(shù)乘運(yùn)算是封閉基線性無空間中任意向量可以用一組基線性表

1101

01T

2的一組空間空間一組基包含的向量的個2是2維向量空零空間與像空n對向量加法和數(shù)乘是閉合任何子空間都包含零向3的子空間：3、零空間與像空

h1h2

2,2,1,1, =b2h23一組基：2,2,0Tb2h23

,1,1,零空間與像空R(H)

{Hx;xX}N

X;Hx

0D}零空間與像空 2 3

2 3

x1

bH=

Hx

x2 4

4 2 b3 x 3 5

5 3

b4R(H)

4中的2N(H：

3中的1RR(H)的維數(shù)+N(H)的維數(shù)=X零空間與像空

(H)

R(H

(H)

XXHDNα120H零空間與像空

(H)

若s>0,則

的基含有s個向量，設(shè)為α1,α2

,αsαs+1,αs+2 ,αn擴(kuò)充成X的基,αs,Hαn,Hαn

0,

,Hαs 所 R(H

0,

span{Hα1,Hα2,Hαnspan{Hαs1,Hαsspan{Hα1,Hα2,Hαnspan{Hαs1,Hαs2 ,Hαn}ks+1ks+2 kn使

knHαn零空間與像空證明（續(xù)

k

)

s2

knαnN

ksαs由于α1,α2 ,αn是X的一組基，所k1

kn因此Hαs1,Hαs2, ,Hαn線性無關(guān)得證

n

dim

I-P的方bbI-P的方bbR(INP的方N(IR(P)Pa(IP)aaN(Ieebb^bb^R(H)vvuvTvvvvT投影算子R(P)N(I-R(I-P)

投影、正交投影和空間分ABX且AxX,能唯一表示為x=ab,aA,bA和B是X的直和分解，記作X=A

I-P的方

b

NX=A A

R(IbA和B是X的正交分解，記作X=A

P的方aA,b

，則A

N(I正交補(bǔ)

投影、正交投影和空間分I-P的方bI-P的方bbR(INP的方N(IXR(P)

XR(P)N

投影、正交投影和空間分hh2^h2h^h4^4投影、正交投影和空間分H和H*誘導(dǎo)的空間分H：X→DX

(H)N

XR(H)R(H)N

R

R(H)

投影