2010年考研數(shù)學(xué)一真題與答案

ssssss2010年考研數(shù)學(xué)一真題一、選擇題(1?8小題，每小題4分，共32分。下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的。)v2⑴極限嘰-8［丙莎詁=(A)l(B)e(C)ea~b(D)eb~a【考點】Co【解析】【方法一】這是一個“I00”型極限limXlimX2(x-a)(x+Z?)(a-b^x+ab(x-a)(x+Z?)【方法二】原式=昇％-a)a+Q)x->oo而limxln=limxln(l+@-")入+"x->00(x-a)(x+Z?)x->00(x-a)(x+Z?)limx?x->oo(a-b)x+ab(x-a)(x+Z?)(等價無窮小代換)Xlimx?x->oo(a-b)x+ab(x-a)(x+Z?)(等價無窮小代換)X2(x-a)(x+Z?)X【方法三】對于“100，，型極限可利用基本結(jié)論:若lima(x)=0,lim/?(%)=0,且"ma(%)/?(%)=A

則"m(l則"m(l+a(兀"，求極限由刊肌-如險尸您缶冊?龍.?(0一2?)咒2+口0尤則叭—百冷尹之…【方法四】X=嘰TOOX2(x-a)(x+Z?).X=嘰TOOX2(x-a)(x+Z?).=lim(1一-)_x?lim(1+X->OOXx->oo\(x-a)(x+Z?)'x2.-XbYxx)訂.e-b=ea-b綜上所述，本題正確答案是C。【考點】高等數(shù)學(xué)一函數(shù)、極限、連續(xù)一無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較，極限的四則運算，兩個重要極限(2)設(shè)函數(shù)z=z(s)由方程F(2D=O確定，其中F為可微函數(shù)，且fr,2工°，貝衣字+y乎=odxdy(D)—z(A)x(B)z(D)—z(Ci【答案】Bo【解析】因為I“0z_F；?y+F因為I“0z_F；?y+F；z+y亦—所以煖綜上所述，本題正確答案是(B)。【考點】高等數(shù)學(xué)一多元函數(shù)微分學(xué)一多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微ssssssSS(3)設(shè)m皿為正整數(shù)，則反常積分八歲)dx的收斂性(A)僅與m的取值有關(guān)(B)僅與Ti的取值有關(guān)(C)與m,71的取值都有關(guān)(D)與的取值都無關(guān)【答案】Do【解析】本題主要考察反常積分的斂散性，題中的被積函數(shù)分別在％T0+和兀T1一時無界‘冬加2(丄_羽=r^Vbi平已知反常積分f^dx收斂，則嚴帶)心也收斂。在反常積分￡汽廠)dx中，被積函數(shù)只在平已知反常積分f^dx收斂，則嚴帶)心也收斂。在反常積分￡汽廠)dx中，被積函數(shù)只在xt1-時無界，由于勺加珂1一尤)>0~~-UmJln2(l-x)2limx^Y-￥=lim"叫丁)=0(洛必達法則)蘆尤亠一(1-X)2且反常積分F隹收斂，所以￡峠巨心收斂綜上所述，無論m71取任何正整數(shù)，反常積分Q"Wdx收斂。Jo阪ax~Jo飯ax十號阪ax在反常積分Jp霉巨必中，被積函數(shù)只在"0+時無界。由于竺嚴N0,VX^；712(1-%)，-眾Alim=0XT0+1綜上所述，本題正確答案是D。【考點】高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)積分學(xué)一反常積分/imn^ooSuiSy=i(曲)(”2+嚴)=(A)J；dxJo(出爲2)dy(B)J；dxJ：而治dy?Adxfo爲(】+y)dy(D)J；dxj：(仆爲2)好【答案】Do【解析】因為硏=1(n+l)帶2+j2)="州_8器】羅“班1+細；(1+(護-嘰T8汕Xj=l(1+呂(1+0)2)*狂綜上所述，本題正確答案是C。【考點】高等數(shù)學(xué)一多元函數(shù)積分學(xué)一二重積分與三重積分的概念、性質(zhì)、計算和應(yīng)用設(shè)4為mxri矩陣，B為nxm矩陣，E為m階單位矩陣，若AB=E,則(A)秩r(4)=m,秩r(B)=m(B)秩r(4)=m,秩r(B)=n(C)秩r(4)=幾秩r(B)=m(D)秩r(4)=幾秩r(B)=n【答案】Ao【解析】因為AB=E為m階單位矩陣，矢ar(AB)=m

又因廠(4B)<min(r(4),r(B)),故m<r(4),m<r(B)另一方面，A為mxn矩陣，B為nxm矩陣，又有r(4)<m,r(B)<m可得秩r(4)=m,秩r(B)=m綜上所述，本題正確答案是A。【考點】線性代數(shù)一矩陣一矩陣的秩(6)設(shè)力為4階實對稱矩陣，且護+4=0,若4的秩為3,貝(6)設(shè)力為4階實對稱矩陣，且護+4=0,若4的秩為3,貝M相似于(A)111(B)11-10.0.1-1(C)-1-10.(D)-1-10.【答案】Do【解析】由4比=Aa,a工0知=Ana,那么對于護+4=0推出來(久2+刃比=on，+久=o所以4的特征值只能是0、-1再由4是實對稱矩陣必有4~A,而A是力的特征值，那么由廠(4)=3,可知D正確綜上所述，本題正確答案是D。【考點】線性代數(shù)一特征值與特征向量一實對稱矩陣的特征值、特征向量及其相似對角矩陣ssss{0,x<0,p0<x<l,,則P{X=1-e_x,x>1.【答案】Co【解析】11P{X=1}=F(l)-F(1-0)=1-e"1--=--e~x綜上所述，本題正確答案是C。【考點】概率論與數(shù)理統(tǒng)計一隨機變量及其分布一隨機變量分布函數(shù)的概念及其性質(zhì)(8)設(shè)71(%)為標準正太分布的概率密度，f2(x)為［-1,3］上均勻分布得概率密度，若為概率密度，貝臨"應(yīng)滿足(A)2q+(A)2q+3b=4(B)3a+2b=4(C)a+b(D)q+b=2【答案】(C)a+b(D)q+b=2【答案】Ao【解析】根據(jù)密度函數(shù)的性質(zhì)ssssssssssSSf(x)dx=Iaf^x^dx+bff(x)dx=Iaf^x^dx+bf2Mdx=aIfi（x）dx+bIf2（x）dx

丿一8丿0/iO）為標準正態(tài)分布的概率密度，其對稱中心在x=0處，故乙仗）為［-1,3］上均勻分布的概率密度函數(shù)，即o,其他所以1=a?-+/??三,可得2a+3b=424綜上所述，本題正確答案是A?！究键c】概率論與數(shù)理統(tǒng)計一隨機變量及其分布一連續(xù)型隨機變量的概率密度，常見隨機變量的分布二、填空題（9?14小題，每小題4分，共24分。）【答案】0o【答案】0o【解析】【方法一】

【方法二】【方法二】d2yd2ydx2y〃(0)疋(O)—x〃(O)y'(O)X(O)Fxz(t)=-e~t,xn(t>)=e_t,xXO)=-l,x〃(O)=1yXO=加(i+嚴)，y〃億)=i+￡2，y'(o)=o,y〃(o)=o代入上式可得g|t_Q=0o【方法三】由x=e~l得，t=-Inx,貝ij?=--In(1?=--In(1+in2%)當t=0時%=1,則廠=0dx2\t=0綜上所述，本題正確答案是0。【考點】高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)微分學(xué)一基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法2]^y/xcosyfxdx=?！敬鸢浮?41T?！窘馕觥苛顏?匚則x=t2,dx=2tdtssssssSSSS綜上所述，本題正確答案是-4兀。【考點】高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)積分學(xué)一基本積分公式，不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法已知曲線厶的方程為y=1-kL%6[-1,1],起點是(—1,0),終點是(1,0),則曲線積分fLxydx+x2dy=?！敬鸢浮?o【解析】如圖所示L=L±+L2/其中L=1+X,(―1<x<0)丄2：y=1—兀，(0S兀<1)=^±[2x2+x]dx+—2x2]dx=0綜上所述，本題正確答案是0。

【考點】高等數(shù)學(xué)一多元函數(shù)積分學(xué)一兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計算設(shè)0={{x,y,z)\x2+y2<z<1},則。的形心坐標萬=【答案】|o【解析】fffnfffnzdxdydz_人勿ddJ：rdrzdzz<dxdydzde^rdr鶯dz7121Q石022綜上所述，本題正確答案是|。O【考點】高等數(shù)學(xué)一多元函數(shù)積分學(xué)一二重積分與三重積分的概念、性質(zhì)、計算和應(yīng)用設(shè)仇1=(1,2,—1,0)6比2=(1,1,0,2)603=(2,1,1,ayf若由alfa2,a2生成的向量空間的維數(shù)為2,貝ija=。【答案】6o【解析】av比2,生成的向量空間的維數(shù)為2,所以可知，廠(幻,比2，。3)=2

12'112'211—>013-10100a-6?02a..000.{alta2,a2)所以可得Q—6=0,a=6綜上所述，本題正確答案是6。【考點】線性代數(shù)一向量一向量組的秩,向量組的秩與矩陣的秩【考點】線性代數(shù)一向量一向量組的秩,向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系，向量空間及其相關(guān)概念設(shè)隨機變量X的概率分布為P{X=k}=^,k=0,1,2,?二則EX?=【答案】2o【解析】泊松分布的概率分布為P{X=k}=^-e~A,k=0,1,2,…'隨機變量X的概率分布為P{X=k}=^,k=0,1,2,…Av?對比可以看出C=0-i,X?P(l)所以EX=DX=1,而EX2=DX+(EX)2=1+l2=2綜上所述，本題正確答案是2?！究键c】概率論與數(shù)理統(tǒng)計一隨機變量及其分布一常見隨機變量的分布；概率論與數(shù)理統(tǒng)計一隨機變量的數(shù)字特征一隨機變量的數(shù)學(xué)期望(均值)、方差、標準差及其性質(zhì)三、解答題：15?23小題，共94分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。求微分方程y〃—3/+2y=2"尤的通解【解析】由齊次微分方程y〃-3才+2y=0的特征方程A2—3A+2=0=>=1&=2所以，齊次微分方程y〃—3y，+2y=0的通解為y=Crex+C2e2x設(shè)微分方程y〃-3才+2y=2洗尤的特解為y*=x(ax+b)ex則(*)'=(a/+2ax+bx+b)ex(y*)"=(ax?+4ax+bx+2a+2b)ex代入原方程，解得a=—1,b=—2故特解為y*=x(—x—2)ex所以原方程的通解為y=y++c2e2x+x(—x—2)ex【考點】高等數(shù)學(xué)一常微分方程一二階常系數(shù)齊次線性微分方程,簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程2求函數(shù)『(x2—t)eS的單調(diào)區(qū)間與極值【解析】函數(shù)yo)的定義域為(—8,+8),ssssssSSSSssx2令ffM=0,W%=0,x=±1,歹！J表如下令ffM=0,W%=0,x=±1,歹！J表如下X(-00,-1)-1(70)0(0,1)1(1,4-00)fM—0+0—0+frM極小/極人、極小/由上可知，fO)的單調(diào)增區(qū)間為(—1,0)和(1,+8);/(%)的單調(diào)減區(qū)同為(一8,—1)和(0,1),極小值為極人值為112(1_^「0112(1_^/(0)=I(―t)e_f2dt=Ite~t2dt/(0)A丿o【考點】高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)微分學(xué)一基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)單調(diào)性的判別函數(shù)的極值高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)積分學(xué)一基本積分公式，積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)(17)比較^\lnt\[ln(1+t)]ndt與￡凸|晌必(Ti=1,2,…)的大小，說明理由；記Un=^\lnt\[ln(1+t)]ndt(n=1,乙…)，求極限limn^uno

【解析】當OStSl時，因OS加(1+05匚所以0<\lnt\[ln(1+t)]n<tn\lnt\所以有^\lnt\[ln(1+t)]ndt<f^tn\lnt\dt,(n=1,2,—)【方法一】由上可知,0<un=f\lnt\[ln(1+t)]ndt<ftn\lnt\dt,

JoJo畫tn畫tn\lnt\dt=—Iqtnlntdttn+1n+1所以HmnTooJ：tn\lnt\dt=0由夾逼定理可得HmnT8“=0【方法二】由于Znx為單增函數(shù),則當tG［0,1］時，In(1+t)<ln2,從而有0<un=[\lnt\[ln(1+t)]ndt<lnn2f\lnt\dt,

丿0丿0[\lnt\dt=~[Intdt=+丿[\lnt\dt=~[Intdt=+丿oJoXZimln1l2=0,由夾逼定理知“尬八卄冷=0HT80【方法三】已知0<un=f\lnt\[ln(1+t)]ndt<ftn\lnt\dt

丿0丿01因為"771—0+學(xué)=”mtTo+-手=0,且也尬在(0,1］上連續(xù)，貝妝尬F莊ssssss在(0,1］上有界，從而存在M>0使得0<\tlnt\<M則￡tn\lnt\dt<MJq1=扌由"m—=0及夾逼定理知"m?2T8un=0n->oon【考點】高等數(shù)學(xué)一函數(shù)、極限、連續(xù)一極限存在的兩個準則:單調(diào)有界準則和夾逼準則高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)積分學(xué)一定積分的概念和基本性質(zhì)(18)求幕級數(shù)Xn=l^^X2n的收斂域及和函數(shù)?！窘馕觥縧imHT8Pn+ll=limlimHT8Pn+ll=limnT8x2n+2(2n-1)x2n(2n+1)%2<1=>-1<X<1即一1<x<1時，原幕級數(shù)絕對收斂x=±l時，級數(shù)為丫囂］第F，由萊布尼茨判別法顯然收斂，故原幕級數(shù)的收斂域為［-1,1］。vy00(_1)n_1r2n—ryoo(-l)n_12n-l令張)=^=1t^x2n-lfXG(7i)則廠(E=闊“(-1)-W(D=古所以/'(x)=ff(t)dt=acrtanx+C由于/'(0)=0,所以C=0所以f(x)=arctanx所以幕級數(shù)的收斂域為［-1,1］,和函數(shù)為xarctanx,x6［一1,1］。【考點】高等數(shù)學(xué)一無窮級數(shù)一幕級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間(指開區(qū)間)和收斂域，幕級數(shù)的和函數(shù)，簡單幕級數(shù)的和函數(shù)的求

法，初等函數(shù)的幕級數(shù)展開式(19)設(shè)P為橢球面S：*+y2+z2_yz=1上的動點，若S在點P處的切線平面與xOy面垂直，求點P的軌跡C,并計算曲面積分I=見陽；饗加S,其中》是橢圓球面S位于曲線C上方的部分?！窘馕觥壳筌壽EC令F{x,y,z)=x2+y2+z2-yz-1,故動點P(x,y,z)的切平面的法向量為n={2x,2y-z,2z-y}由切平面垂直xOy面，得2z-y=0又已知P為橢球面S:送+y2+z2_yz=1上的動點，所以產(chǎn)+孑+/—卡=1=F+莎2=1為p的軌跡c(2z-y=0[2z-y=0再計算曲面積分因為曲線C在%Oy面的投影為x2+|y2=l又對方程*+y2+z2_yz=1兩邊分別對乙y求導(dǎo)可得2x+dzdz2x+dzdz2zd^~yd^=0dzdzdz_2xdxy-2zdz_2xdxy-2zdz_2y-zdyy_2zdS=+z?+dS=+z?+z^dxdy=1+(急)2+(怎)認切J4x2+5y2+5z2-8yz,,J4+y2+z2-4yz,,|y—2z||y—2z|dxdy=-__t1dxdy|y—2z||y—2z|ssssSSSS于是/=址=幾J"^)dxdy=a/3ffDdxdy=V3xzrxlx—=2zr<X*yyJ【考點】高等數(shù)學(xué)一多元函數(shù)積分學(xué)一兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計算A11a(20)設(shè)4=0A-10,b=1?已知線性方程組4%=b存在2個11A.1不同的解⑴求A,a；(II)求方程i&Ax=b的通解。【解析】(I)因為已知線性方程^Ax=b存在2個不同的解，所以r(i4)=r(i4)<n故SI=A10A-11110A=G-i)A11A=(A+1)(2-l)2=0知;I=1,—1當久=1時，111aA=000:1/1111.顯然r(4)=l,r(l)=2,此時方程組無解，久=1舍去,當人=—1時，-111a10-12I=0-201T010111-11000~2Q+2-因為Ax=b有解，所以a=-2即，A=—1fa=—2(II)A=-1,a=_2時,已知?310-120101000~2-0」所以Ax=b的通解為131X=--1+k02.0..1.其中k為任意常數(shù)。【考點】線性代數(shù)一線性方程組一非齊次線性方程組有解的充分必要條件，非齊次線性方程組的通解(21)已知二次型f{xltx2,X2)=xtAx在正交變換兀=Qy卜?的標準形為力2+疔,且Q的第三列為住鷗丫求矩陣4；證明A+E為正定矩陣，其中E為3階單位矩陣。【解析】⑴二次型f{xlfx2,x3)=尹4兀在正交變換％=Qy卜的標準形為兒2+乃2,可知二次型矩陣4的特征值是1,1,0。又因為Q的第三列為(%0,密丁，可知他=(1,0,1卩是矩陣A在特征值久=0的特征向量。根據(jù)實對稱矩陣，特征值不同特征向量相互正交，設(shè)4關(guān)于右=久2=1的特征向量為Q=(X1/X2,X3>)T,則/比3=0,即％1+%3=0ssssssss取比1=(0;l/0)r/a2=(-l；0,-l)rA=(a1,a2A=(a1,a2,0)(a1/a2/a3y10-100-11100100.010..011.01.0-1010101「11-1012°~2~22=0101111—0—--0—22」22」000.(II)由于矩陣4的特征值是“o那么4+E的特征值為221，因為A+E的特征值全大于0,所以A+E正定。【考點】線性代數(shù)一二次型一二次型及其矩陣表示，二次型的秩,二次型的標準形和規(guī)范形，二次型及其矩陣的正定性(22)設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為22f(x,y)=Ae~2x+