《簡(jiǎn)明線性代數(shù)》1-3 逆矩陣

§1.3逆矩陣

一、伴隨矩陣二、逆矩陣一、伴隨矩陣由Laplace定理知

設(shè)A

(aij)為n

階方陣,Aij

為元素aij

的代數(shù)余子式,當(dāng)ij

時(shí),取b1

a1i,,bnani

,則i,j

列相同,于是

代數(shù)余子式的性質(zhì)代數(shù)余子式的性質(zhì)可寫(xiě)成兩個(gè)矩陣等式

代數(shù)余子式的性質(zhì)

伴隨矩陣

稱(chēng)

A

為方陣A

的[轉(zhuǎn)置]伴隨矩陣.

設(shè)Aij

為n

階方陣A

的(i,j)元的代數(shù)余子式,記代數(shù)余子式的性質(zhì)可寫(xiě)成兩個(gè)矩陣等式

n階方陣A

的伴隨陣

A

具有下列性質(zhì):

伴隨矩陣的性質(zhì)(1)(2)證明由(1)兩邊取行列式,得當(dāng)|A|0時(shí),由上式即得(2).注:

當(dāng)|A|0時(shí),記則

當(dāng)|A|0時(shí),|A

|0:從而A

O,與|A

|0矛盾.若不然,則(A)-1

存在,于是

方陣A可逆時(shí),其逆矩陣唯一,記為

A-1.證明

逆矩陣

如果存在矩陣B,使AB=BA=E那么稱(chēng)方陣A為可逆的,并稱(chēng)B

為A

的逆矩陣.二、逆矩陣設(shè)C

也為方陣A的逆矩陣,則E

AC,注:

當(dāng)|A|0時(shí),記則于是

逆矩陣計(jì)算公式

非奇異矩陣A

可逆,且其逆矩陣為

如果|A|0,那么稱(chēng)方陣A為非奇異矩陣.

如果|A|=0,那么稱(chēng)方陣A為奇異矩陣.

可逆方陣A

為非奇異矩陣,且|A-1|=|A|-1.證明由AA-1

=E,得|A||A-1|=1.于是|A|0,方陣A

為非奇異矩陣,且注:

當(dāng)|A|0時(shí),記則解

例1

設(shè)矩陣求

A-1

.解

例2

設(shè)且AX

A2X,求

X.由AX

A2X,得(A

2E)X

A,

設(shè)A可逆,則矩陣方程AX=B

有唯一解X=A-1

B.

設(shè)A可逆,則矩陣方程XA=B

有唯一解X=BA-1

.

設(shè)A可逆,則矩陣方程AX=B

有唯一解X=A-1

B.

設(shè)A可逆,則矩陣方程XA=B

有唯一解X=BA-1

.注:當(dāng)|A|

0時(shí),A可逆,方程組Ax=

b

有唯一解因此記

則

——Cramer法則解例3求線性變換的逆變換.線性變換的系數(shù)矩陣所求逆變換為

設(shè)A可逆,則線性變換

y=

Ax

的逆變換為x=A-1

y.證明由AB=E,

得|A||B|=1,

定理1

設(shè)A,B為n

階方陣,若AB=E,則A,B

可逆,且因此A,B可逆.于是|A|0,|B|0,例4

設(shè)A3

=O,證明

證明

因此等式E=AB

兩邊左乘A1

及右乘B1,得提示例5

設(shè)方陣

A滿(mǎn)足關(guān)系式A2

-2A-4E=O,證明A+2E可逆,并求其逆.證明

因此A+2E可逆,且

定理1

設(shè)A,B為n

階方陣,若AB=E,則A,B

可逆,且

逆矩陣的性質(zhì)

設(shè)A,B為n

階可逆矩陣,則有下列性質(zhì):