《簡(jiǎn)明線性代數(shù)》4-3 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形

一、二次型及其對(duì)稱矩陣二、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形§4.3二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形

三、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形四、用配方法化二次形為標(biāo)準(zhǔn)形一、二次型及其對(duì)稱矩陣

二次型

記

n

階對(duì)稱陣A

(aij),x(x1,,xn)T,則有表示式

稱對(duì)稱陣A

為二次型f(x)的矩陣.

稱二次型f(x)為對(duì)稱陣A

的二次型.

稱秩R(A)為二次型f(x)的秩.二、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形

在解析幾何中,為了便于研究二次曲線的幾何性質(zhì),可以選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)旋轉(zhuǎn)變換把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形二、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形

化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

尋求一個(gè)可逆線性變換

x=

Cy,使二次型f(x)化為只含y1,,yn

的平方項(xiàng)的形式:

稱y

的表達(dá)式為二次型f(x)關(guān)于y的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形.

如果k1,,kn

只在1,-1,0三個(gè)數(shù)中取值,則稱規(guī)范形.

當(dāng)變?cè)獜膞

變換為y

時(shí),二次型f

的矩陣從

A

變?yōu)?/p>

合同矩陣

設(shè)A,B

為兩個(gè)n

階矩陣,若存在可逆矩陣C,使則稱矩陣A

與B合同.

矩陣的合同具有反身性、對(duì)稱性和傳遞性.

對(duì)稱陣的合同陣也為對(duì)稱陣.

可逆線性變換不改變二次型的秩.

合同變換不改變矩陣的秩.

二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題,也即對(duì)稱陣的合同對(duì)角化問(wèn)題.

二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中含有的項(xiàng)數(shù),就是二次型的秩.

當(dāng)變?cè)獜膞

變換為y

時(shí),二次型f

的矩陣從

A

變?yōu)?/p>

對(duì)稱陣合同對(duì)角化的初等變換解法例1

求一可逆線性變換

x=Cy,化如下二次型為

y的標(biāo)準(zhǔn)形.行變換相應(yīng)列變換解二次型f(x)的矩陣為所以可逆線性變換x=Cy,其中將所給二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形三、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

定理

設(shè)

A

為對(duì)稱陣,則存在正交陣P,使其中

L

為對(duì)角陣,以A的特征值為對(duì)角元素.

設(shè)二次型f(x)=

xTAx,則存在正交陣P,使其中l(wèi)1,,ln

是A的特征值.令

x=

Py,則f(x)的法式(標(biāo)準(zhǔn)形)例2

求一個(gè)正交變換

x=

Py,化二次型為

y的標(biāo)準(zhǔn)形.解二次型f(x)的矩陣為由§4.2節(jié)例1,求得正交陣使取正交變換x=Py,則

二次曲面2xy

2xz2yz1通過(guò)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)方程此方程表示一旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面.

因?yàn)檎蛔儞Q保持幾何形狀不變,所以二次曲面也是一旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面.四、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,具有保持幾何形狀不變的優(yōu)點(diǎn),但正交變換的算法較繁瑣.

如果只考慮二次型的代數(shù)特點(diǎn),我們可以更一般地討論,用可逆線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.

拉格朗日(Lagrange)配方法

如果有xi

的平方項(xiàng),則把含xi的所有項(xiàng)歸并配方;

如果沒(méi)有平方項(xiàng),則把x1xi

化為其中令解令即就將所給二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形例3

求一個(gè)可逆線性變換

x=

Cy,化二次型為

y的標(biāo)準(zhǔn)形.例