《簡明線性代數(shù)》4-3 二次型及其標準形_第1頁
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文檔簡介

一、二次型及其對稱矩陣二、二次型的標準形§4.3二次型及其標準形

三、用正交變換化二次型為標準形四、用配方法化二次形為標準形一、二次型及其對稱矩陣

二次型

記

n

階對稱陣A

(aij),x(x1,,xn)T,則有表示式

稱對稱陣A

為二次型f(x)的矩陣.

稱二次型f(x)為對稱陣A

的二次型.

稱秩R(A)為二次型f(x)的秩.二、二次型的標準形

在解析幾何中,為了便于研究二次曲線的幾何性質,可以選擇適當?shù)淖鴺诵D變換把方程化為標準形二、二次型的標準形

化二次型為標準形

尋求一個可逆線性變換

x=

Cy,使二次型f(x)化為只含y1,,yn

的平方項的形式:

稱y

的表達式為二次型f(x)關于y的一個標準形.

如果k1,,kn

只在1,-1,0三個數(shù)中取值,則稱規(guī)范形.

當變元從x

變換為y

時,二次型f

的矩陣從

A

變?yōu)?/p>

合同矩陣

設A,B

為兩個n

階矩陣,若存在可逆矩陣C,使則稱矩陣A

與B合同.

矩陣的合同具有反身性、對稱性和傳遞性.

對稱陣的合同陣也為對稱陣.

可逆線性變換不改變二次型的秩.

合同變換不改變矩陣的秩.

二次型的標準化問題,也即對稱陣的合同對角化問題.

二次型的標準形中含有的項數(shù),就是二次型的秩.

當變元從x

變換為y

時,二次型f

的矩陣從

A

變?yōu)?/p>

對稱陣合同對角化的初等變換解法例1

求一可逆線性變換

x=Cy,化如下二次型為

y的標準形.行變換相應列變換解二次型f(x)的矩陣為所以可逆線性變換x=Cy,其中將所給二次型化成標準形三、用正交變換化二次型為標準形

定理

設

A

為對稱陣,則存在正交陣P,使其中

L

為對角陣,以A的特征值為對角元素.

設二次型f(x)=

xTAx,則存在正交陣P,使其中l(wèi)1,,ln

是A的特征值.令

x=

Py,則f(x)的法式(標準形)例2

求一個正交變換

x=

Py,化二次型為

y的標準形.解二次型f(x)的矩陣為由§4.2節(jié)例1,求得正交陣使取正交變換x=Py,則

二次曲面2xy

2xz2yz1通過正交變換化為標準方程此方程表示一旋轉雙葉雙曲面.

因為正交變換保持幾何形狀不變,所以二次曲面也是一旋轉雙葉雙曲面.四、用配方法化二次型為標準形

用正交變換化二次型為標準形,具有保持幾何形狀不變的優(yōu)點,但正交變換的算法較繁瑣.

如果只考慮二次型的代數(shù)特點,我們可以更一般地討論,用可逆線性變換化二次型為標準形.

拉格朗日(Lagrange)配方法

如果有xi

的平方項,則把含xi的所有項歸并配方;

如果沒有平方項,則把x1xi

化為其中令解令即就將所給二次型化成標準形例3

求一個可逆線性變換

x=

Cy,化二次型為

y的標準形.例

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