2022-2023學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市儀征中學(xué)高二年級上冊學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市儀征中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線恒過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．B【分析】將直線變?yōu)辄c(diǎn)斜式，求出定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】變形為，故恒過點(diǎn).故選：B2．若平面內(nèi)兩條直線：，：平行，則實(shí)數(shù)（

）A． B．或 C． D．或D【分析】根據(jù)兩條直線平行，斜率相等，列出方程即可求解.【詳解】由題可知兩條直線的斜率顯然存在，且在軸上的截距不相等，，，因?yàn)榕c平行，所以，解得或故選：D3．直線被圓所截得的弦長為（

）A． B．4 C． D．A【分析】由已知，根據(jù)題中給出的圓的方程，寫出圓心坐標(biāo)與半徑，然后求解圓心到直線的距離，最后利用垂徑定理可直接求解弦長.【詳解】由已知，圓，圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以，直線被圓截得的弦長為.故選：A.4．在數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．C【分析】利用數(shù)列的遞推公式逐項(xiàng)計(jì)算可得的值.【詳解】由已知可得，，.故選：C.5．已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是過原點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓的一個交點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．D【分析】根據(jù)得，在中，求出可得的關(guān)系，求出離心率可得答案.【詳解】不妨設(shè)在第二象限。因?yàn)?，?又，所以，即為等邊三角形，∴，，∴，∴.故選：D.6．已知點(diǎn)、，若、關(guān)于直線對稱，則實(shí)數(shù)的值是（

）A．3 B．1 C． D．A【分析】的中點(diǎn)在直線上，從而列出方程，求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】由題意得；的中點(diǎn)在直線上，且直線與直線垂直，即，解得：，故選：A.7．阿基米德既是古希臘著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)、在軸上，橢圓的面積為，且離心率為，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．C【分析】根據(jù)“逼近法”求橢圓的面積公式，及離心率為，即可求得的值，進(jìn)而由焦點(diǎn)在軸上可得的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題意可知，橢圓的面積為，且、、均為正數(shù)，即，解得，因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.8．若點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最大值是（

）A． B． C． D．B【分析】分析可知兩圓圓心為雙曲線的兩個焦點(diǎn)，利用圓的幾何性質(zhì)以及雙曲線的定義可求得的最大值.【詳解】在雙曲線中，，，，易知兩圓圓心分別為雙曲線的兩個焦點(diǎn)，記點(diǎn)、，當(dāng)取最大值時(shí)，在雙曲線的左支上，所以，.故選：B.二、多選題9．已知點(diǎn)到直線的距離相等，則實(shí)數(shù)m的值可以是（

）A． B． C． D．AC【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離相等，所以有，化簡得：，解得，或，故選：AC10．已知三條直線不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A． B． C． D．2ABC【分析】由已知，設(shè)出直線，先求解出直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再分；；經(jīng)過點(diǎn)三種情況分別計(jì)算即可完成求解.【詳解】由已知，設(shè)，，，由可知，直線相交于點(diǎn)，直線恒過定點(diǎn)，因?yàn)槿龡l直線不能構(gòu)成三角形，所以；；經(jīng)過點(diǎn)；①當(dāng)時(shí)，，，所以，解得；②當(dāng)時(shí)，，，所以，解得；③當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，所以實(shí)數(shù)的取值集合為.故選：ABC.11．已知雙曲線的焦距為4，焦點(diǎn)到漸近線的距離是1，則下列說法正確的是（

）A．的離心率為B．的標(biāo)準(zhǔn)方程為C．的漸近線方程為D．直線經(jīng)過的一個焦點(diǎn)ABD【分析】A選項(xiàng)，求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式求出，從而得到，可以計(jì)算出離心率，得到雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程及漸近線方程，判斷出ABC選項(xiàng)，在直線上，D正確.【詳解】由題意得：雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，即，則，解得：，則，解得：，所以的離心率為，A正確；的標(biāo)準(zhǔn)方程為，B正確；的漸近線方程為，C錯誤；在直線上，故經(jīng)過的一個焦點(diǎn)，D正確.故選：ABD12．以下四個命題表述正確的是（

）A．圓與圓有且僅有兩條公共切線，則實(shí)數(shù)的取值可以是3B．圓上有且僅有3個點(diǎn)到直線的距離都等于1C．具有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，若，橢圓與雙曲線的離心率分別記作，則，D．已知圓，點(diǎn)為直線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引兩條切線為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過定點(diǎn)BC【分析】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，求出兩圓圓心距等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，有3條公共切線，A錯誤；B選項(xiàng)，求出圓心到直線的距離為1，圓的半徑為2，故有且僅有3個點(diǎn)到直線，B正確；C選項(xiàng)，設(shè)橢圓：，雙曲線：，，由橢圓定義和雙曲線定義得到，，求出，，由勾股定理得到，求出；D選項(xiàng)，設(shè)，則，由題意得：四點(diǎn)共圓，且為直徑，求出圓心和半徑，得到該圓的方程，求出切點(diǎn)弦方程，結(jié)合得到定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】圓變形為，故圓心為，半徑為，圓圓心為，半徑為，當(dāng)時(shí)，故圓心距，此時(shí)兩圓外切，故兩圓有3條公共切線，A錯誤；圓的圓心到直線的距離為，而圓的半徑為2，故有且僅有3個點(diǎn)到直線的距離都等于1，B正確；設(shè)橢圓：，雙曲線：，，因?yàn)?，所以，，解得：，，由勾股定理：，即，化簡得：，則橢圓的離心率，雙曲線的離心率，則，C正確；設(shè)，則，由題意得：四點(diǎn)共圓，且為直徑，則此圓圓心為，半徑為，故圓的方程為，與相減得：，因?yàn)?，所以過定點(diǎn)，即直線經(jīng)過定點(diǎn)，D錯誤.故選：BC過圓上一點(diǎn)的切線方程為：，過圓外一點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程為.三、填空題13．直線被圓截得的弦長為，則直線的傾斜角為________．【分析】由已知求得圓心到直線的距離，再由點(diǎn)到直線的距離公式列式求得k，然后利用斜率等于傾斜角的正切值求解．【詳解】直線被圓截得的弦長為，所以，圓心到直線的距離，即，解得．設(shè)直線的傾斜角為，則，則．因此，直線的傾斜角為．故．14．在等差數(shù)列中，，則___________.6【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，又，代入即可得解.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，所以又，所以，故15．美術(shù)繪圖中常采用“三庭五眼”作圖法.三庭：將整個臉部按照發(fā)際線至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下頦的范圍分為上庭?中庭?下庭，各占臉長的，五眼：指臉的寬度比例，以眼形長度為單位，把臉的寬度自左至右分成第一眼?第二眼?第三眼?第四眼?第五眼五等份.如圖，假設(shè)三庭中一庭的高度為，五眼中一眼的寬度為，若圖中提供的直線近似記為該人像的劉海邊緣，且該人像的鼻尖位于中庭下邊界和第三眼的中點(diǎn)，則該人像鼻尖到劉海邊緣的距離約為___________.2.5cm##cm【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出直線的方程，利用點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解【詳解】如圖，以鼻尖所在位置為原點(diǎn)O，中庭下邊界為x軸，垂直中庭下邊界為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，所以，利用點(diǎn)斜式方程可得到直線：，整理為，所以原點(diǎn)O到直線距離為，故2.5cm.16．已知，為實(shí)數(shù)，代數(shù)式的最小值是______.【分析】利用兩點(diǎn)間的距離公式的幾何意義，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題求解，即可得到答案；【詳解】如圖所示，構(gòu)造點(diǎn)，，，，，分別作關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，分別為與軸?軸的交點(diǎn)時(shí)，等號成立，故答案為.四、解答題17．設(shè)直線l的方程為（a∈R）.(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求a的值；(2)若l不經(jīng)過第三象限，求a的取值范圍.(1)0或3(2)【分析】（1）通過討論是否為0，求出a的值即可；（2）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)判斷a的范圍即可.【詳解】（1）當(dāng)直線l過原點(diǎn)時(shí)，該直線l在x軸和y軸上的截距為零，∴a＝3，方程即為4x+y＝0；若a≠3，則，即a+1＝1，∴a＝0，方程即為，∴a的值為0或3.（2）若l不經(jīng)過第三象限，直線l的方程化為，則，解得，∴a的取值范圍是.18．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（1）求這個數(shù)列的第10項(xiàng)；（2）是不是該數(shù)列中的項(xiàng)？為什么？（3）在區(qū)間內(nèi)是否有數(shù)列中的項(xiàng)？若有，求出有幾項(xiàng)；若沒有，請說明理由.（1）；（2）不是，理由見解析；（3）有，只有一項(xiàng).【分析】先化簡通項(xiàng)，（1）中令，計(jì)算即得解；（2）中令，結(jié)合即得解；（3）令，結(jié)合即得解【詳解】.（1）令，得第10項(xiàng).（2）令，得.此方程無正整數(shù)解，∴不是該數(shù)列中的項(xiàng).（3）令，則，解得.又，∴.∴區(qū)間內(nèi)有數(shù)列中的項(xiàng)，且只有一項(xiàng).19．已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，橢圓的短軸長為.(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，交拋物線于兩點(diǎn)，請問是否存在實(shí)常數(shù)，使為定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，說明理由.(1)(2)存在時(shí)，為定值【分析】（1）求出，結(jié)合短軸長求出，從而求出，寫出橢圓方程；（2）先考慮直線斜率為0時(shí)，直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，不合要求，直線斜率不為0時(shí)，設(shè)出，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)焦點(diǎn)弦公式求出，再把直線與橢圓聯(lián)立，由弦長公式得到，從而得到，列出方程，求出的值及定值.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故，且，解得：，從而，所以橢圓的方程為；（2）當(dāng)直線斜率為0時(shí)，直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，不合要求，故直線的斜率不為0，設(shè)方程為，聯(lián)立與，可得，設(shè)，故，則，故，聯(lián)立與，可得：，設(shè)，則，則，所以，令，解得：，此時(shí)為定值.圓錐曲線定值問題，設(shè)出直線方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，應(yīng)用設(shè)而不求的思想，進(jìn)行求解；注意考慮直線方程的斜率存在和不存在的情況，本題中由于直線l過點(diǎn)，故用含的式子來表達(dá)，計(jì)算上是更為簡單，此時(shí)考慮的是直線斜率為0和不為0兩種情況.20．已知雙曲線：與有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)(1)求雙曲線的方程；(2)是否存在以為中點(diǎn)作雙曲線的一條弦，如果存在，求弦所在直線的方程.(1)(2)存在，且弦所在直線的方程為【分析】（1）先求解出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)可求，再結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上求解出雙曲線的方程，并求解出漸近線方程；（2）利用點(diǎn)差法求解出直線的斜率，再結(jié)合直線過點(diǎn)，則可求直線的方程.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又因?yàn)樵陔p曲線上，所以，所以，所以雙曲線的方程為：；（2）假設(shè)存在，設(shè)，所以，兩式相減可得，所以，又因?yàn)椋?，所以弦所在直線的方程為：，即，由得，所以，所求直線與雙曲線有2個交點(diǎn)，故存在，且弦所在直線的方程為.21．已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸，到直線的距離為.點(diǎn)，不過點(diǎn)的直線l與拋物線交于兩點(diǎn)，且.(1)求拋物線方程及拋物線的準(zhǔn)線方程(2)求證：直線過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).(1)拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為(2)證明過程見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）設(shè)出拋物線方程為，，得到焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線距離列出方程，求出，得到拋物線方程和準(zhǔn)線方程；（2）考慮直線的斜率為0時(shí)不合要求，得到直線的斜率不為0，設(shè)直線：，且，聯(lián)立直線與拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，利用斜率列出方程，得到，即，結(jié)合得到，從而直線的方程為，求出定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)拋物線方程為，，則，故到直線的距離為，因?yàn)?，解得：，故拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為；（2）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線與拋物線方程無交點(diǎn)，舍去；故直線的斜率不為0，設(shè)直線：，因?yàn)橹本€不過點(diǎn)，故，聯(lián)立與聯(lián)立，，設(shè)，則，則，整理得：，即，因?yàn)?，所以，故，直線方程為，變形為，過定點(diǎn).圓錐曲線定點(diǎn)問題，設(shè)出直線方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，應(yīng)用設(shè)而不求的思想，進(jìn)行求解；注意考慮直線方程的斜率存在和不存在的情況，本題中由于圓錐曲線方程為，故用含的式子來表達(dá)，計(jì)算上是更為簡單，此時(shí)考慮的是直線斜率為0和不為0兩種情況.22．已知圓心在第一象限，半徑為的圓與軸相切，且與軸正半軸交于，兩點(diǎn)（A在左側(cè)），（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)任作一條直線與圓相交于兩點(diǎn).①證明：為定值；②求的最小值.(1)；(2)；【分析】（1）由已知，根據(jù)題意設(shè)出圓心，先利用垂