2022-2023學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾市八校高二年級上冊學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾市八校高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知直線l1的一個方向向量＝(2，4，x)，直線l2的一個方向向量＝(2，y，2)，若||＝6，且l1⊥l2，則x＋y的值是（

）A．－3或1 B．3或－1 C．－3 D．1A【分析】根據(jù)||＝6，且l1⊥l2，利用向量坐標的運算列出方程求解即可.【詳解】由條件可知||＝＝6，且·＝4＋4y＋2x＝0，解得或，∴x＋y＝1或－3.故選：A2．光線從點射出，到軸上的點后，被軸反射到軸上的點，又被軸反射，這時反射線恰好過點，則所在直線的方程是（

）A． B． C． D．A根據(jù)題意做出光線傳播路徑，求關(guān)于軸的對稱點，點關(guān)于軸的對稱點，進而得所在直線的方程即為直線方程，再根據(jù)兩點式求方程即可.【詳解】解：根據(jù)題意，做出如圖的光線路徑，則點關(guān)于軸的對稱點，點關(guān)于軸的對稱點，則所在直線的方程即為直線方程，由兩點是方程得直線方程為：，整理得：故選：A.本題解題的關(guān)鍵在于做出光線傳播路徑，將問題轉(zhuǎn)化為求關(guān)于軸的對稱點與關(guān)于軸的對稱點所在直線的方程，考查運算求解能力，是中檔題.3．已知，是兩個定點，且（是正常數(shù)），動點滿足，則動點的軌跡是（

）A．橢圓 B．線段 C．橢圓或線段 D．直線C【分析】討論與的大小關(guān)系，結(jié)合橢圓定義可知.【詳解】解：因為（當且僅當時，等號成立，所以，當且時，，此時動點的軌跡是橢圓；當時，，此時動點的軌跡是線段．故選：C．4．已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），則點A到直線BC的距離為（

）A． B．1 C． D．A【分析】利用向量的模，向量的夾角及三角函數(shù)即可求出點到直線的距離.【詳解】∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），＝（1，0，0），＝（﹣1，2，﹣2），∴點A到直線BC的距離為：d＝＝1×＝．故選：A本題主要考查了向量坐標的運算，向量的模，向量的夾角，屬于容易題.5．已知直三棱柱中，，，且直線A1B與平面ABC所成的角為，D為的中點，則異面直線與AD所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．A【分析】在直三棱柱中，由直線A1B與平面ABC所成的角為，可得，從而，取中點，中點，連接，則，，所以或其補角即為異面直線與AD所成角，從而可得答案.【詳解】解：因為三棱柱是直三棱柱，則平面，所以即為直線A1B與平面ABC所成的角，所以，所以，取中點，中點，連接，則，，所以或其補角即為異面直線與AD所成角，設(shè)，則，，在中，，，在中，，，∴，因為異面直線所成的角為銳角或直角，所以異面直線與AD所成角的余弦值為.故選：A.6．已知點，若直線與線段有交點，則實數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．C【分析】根據(jù)題意知A、B兩點在直線的異側(cè)或在直線上，得出不等式（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，求出解集即可．【詳解】根據(jù)題意，若直線l：kx﹣y﹣1＝0與線段AB相交，則A、B在直線的異側(cè)或在直線上，則有（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，即（2k﹣3）（k+4）≥0，解得k≤﹣4或k≥，即k的取值范圍是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．故選C．本題考查直線與線段AB相交的應(yīng)用問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．7．已知橢圓的左焦點，過點作傾斜角為的直線與圓相交的弦長為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．B【詳解】過點傾斜角為的直線方程為：，即，則圓心到直線的距離：，由弦長公式可得：，整理可得：則.本題選擇B選項.點睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．8．如圖，三棱錐中，為邊長為的等邊三角形，是線段的中點，，且，，，則與平面所成角的正切值為A． B． C． D．A【分析】可證平面，過作于，從而為與平面所成的角，利用解直角三角形可求其正切值．【詳解】由勾股定理，過作于，由可得平面，所以為與平面所成的角，在直角三角形中,,.故選：A．本題考查線面角的計算，此類問題可根據(jù)線面垂直構(gòu)造線面角，并將其放置在可解的三角形來求．二、多選題9．直線與曲線恰有一個交點，則實數(shù)b可取下列哪些值（

）A． B． C．1 D．AC【分析】先畫直線與曲線圖象，再結(jié)合題意判斷實數(shù)b的取值范圍即可解題.【詳解】解：曲線，整理得，，畫出直線與曲線的圖象，如圖，直線與曲線恰有一個交點，則故選：AC.本題考查根據(jù)直線與半圓的交點個數(shù)求參數(shù)，是基礎(chǔ)題.10．已知是橢圓上一點，橢圓的左?右焦點分別為，且，則（

）A．的周長為 B．C．點到軸的距離為 D．BCD【分析】A．根據(jù)橢圓定義分析的周長并判斷；B．根據(jù)橢圓定義以及已知條件先求解出的值，結(jié)合三角形的面積公式求解出并判斷；C．根據(jù)三角形等面積法求解出點到軸的距離并判斷；D．根據(jù)向量數(shù)量積運算以及的值求解出結(jié)果并判斷.【詳解】A．因為，所以，故錯誤；B．因為，，所以，所以，所以，故正確；C．設(shè)點到軸的距離為，所以，所以，故正確；D．因為，故正確；故選：BCD.11．圓和圓的交點為A，B，則（

）A．公共弦AB所在直線的方程為B．線段AB中垂線方程為C．公共弦AB的長為D．P為圓上一動點，則P到直線AB距離的最大值為ABD【分析】兩圓方程作差后可得公共弦方程，從而可判斷A的正誤，求出圓的圓心坐標后求出垂直平分線的方程后可判斷B的正誤，利用垂徑定理計算弦長后可判斷C的正誤，求出到直線的距離后可求動點到直線距離的最大值，從而可判斷D的正誤.【詳解】對于A，因為圓，，兩式作差可得公共弦AB所在直線的方程為，即，故A正確；對于B，圓的圓心為（1，0），，則線段AB中垂線的斜率為，即線段AB中垂線方程為，整理可得，故B正確；對于C，圓心到的距離為，又圓的半徑，所以，故C不正確；對于D，P為圓上一動點，圓心到的距離為，又圓的半徑，所以P到直線AB距離的最大值為，故D正確.故選：ABD.12．已知實數(shù)，滿足方程，則下列說法錯誤的是A．的最大值為 B．的最大值為C．的最大值為 D．的最大值為CD【分析】B中表示到原點距離的平方，求出原點到圓心距離可得圓上點到原點距離的最大值的最小值，可判斷B，A，C，D中均可以令對應(yīng)式子，解得后代入圓方程，由判別式可得最值．從而得到判斷．本題用了幾何意義求解，轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點，由圓心到直線的距離不大于半徑可得結(jié)論．【詳解】對于A，設(shè)，則，表示直線的縱截距，當直線與圓有公共點時，，解得，所以的最大值為，故A說法正確；對于B，的幾何意義是表示圓上的點到原點距離的平方，易知原點到圓心的距離為2，則原點到圓上的最大距離為，所以的最大值為，故B說法正確；對于C，設(shè)，把代入圓方程得，則，解得，最大值為，故C說法錯誤；對于D，設(shè)，則，表示直線的縱截距，當直線與圓有公共點時，，解得，所以的最大值為，故D說法錯誤.故選：CD.本題考查命題的真假判斷，實質(zhì)考查直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)圓心到直線的距離不大于半徑易得解，對平方式可用幾何意義：兩點間距離的平方求解．三、填空題13．在平面直角坐標系中，已知直線和直線，，若與平行，則與之間的距離為_________.利用兩直線平行求出參數(shù)的值，然后利用平行線間的距離公式可求得直線與之間的距離.【詳解】由于直線與平行，則，解得，所以，直線的方程為，直線的方程為，因此，直線與之間的距離為.故答案為.14．詞語“塹堵”、“陽馬”、“鱉臑”等出現(xiàn)自中國數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)?商功》，是古代人對一些特殊錐體的稱呼.在《九章算術(shù)?商功》中，把四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，現(xiàn)有如圖所示的“鱉臑”四面體PABC，其中PA⊥平面ABC，PA=AC=1，BC=，則四面體PABC的外接球的表面積為________.根據(jù)“鱉臑”四面體PABC的特征，可確定外接球球心為的中點，即可求解.【詳解】如圖，由題意,則取的中點為點，可得，即為球心，則其半徑，則其表面積為，故15．圓心在直線上，且過兩圓和的交點的圓的方程為______.【分析】設(shè)出圓系方程，求得圓心坐標，代入已知直線方程求得參數(shù)值得圓方程．【詳解】由題意設(shè)圓方程為，整理得，圓心坐標為，所以，解得，所以圓方程為，即．故．16．已知為橢圓C：的兩個焦點，P，Q為C上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為________．【分析】根據(jù)已知可得，設(shè)，利用勾股定理結(jié)合，求出，四邊形面積等于，即可求解.【詳解】因為為上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，且，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，所以，，即四邊形面積等于.故答案為.四、解答題17．已知直線，半徑為2的圓C與相切，圓心C在軸上且在直線右上方.(1)求圓C的方程；(2)問題：是否存在______的直線被圓C截得的弦長等于？若存在，則求直線的方程；若不存在，請說明理由.請從下面給出的三個條件中任選一個，補充在上面的問題中，并進行解答.①過點；②在軸上的截距和在軸上的截距相等；③方程為.(1)(2)選①，存在，直線的方程為或；選②，存在，直線的方程為；選③，不存在直線，理由見解析【分析】（1）設(shè)圓心坐標為，，由圓心到切線距離等于半徑求得得圓方程；（2）由弦長得圓心到直線的距離，選①，檢驗斜率不存在的直線符合要求，斜率存在的直線設(shè)出直線方程后由點到直線距離公式求解；選②，分類討論，截距為0，直線過原點時檢驗可得，截距不為0時設(shè)出直線方程，由點到直線距離公式求解；選③，直接由點到直線距離公式求解．【詳解】（1）直線與軸交點為，依題意設(shè)所求圓的圓心C的坐標為，則，解得或（舍去）.故所求圓C的方程為；（2）由題意易得圓心C到直線的距離為選①：直線過點.若直線的斜率不存在，則直線的方程為，易知符合題意；若直線的斜率存在，不妨設(shè)直線的方程為，即，則，解得，此時直線的方程為.綜上，存在符合題設(shè)的直線且其方程為或選②：直線在x，y兩坐標軸上的截距相等.若直線的截距都為0，則直線過原點O即圓心C，不合題意；若直線的截距都不為0，不妨設(shè)直線的方程為，即.則有，解得.綜上，存在符合題設(shè)的直線且其方程為.選③：直線方程為.由題意，得整理，得，（）因為，所以方程（）無解，所以不存在符合題設(shè)的直線．18．已知動點M(x，y)到直線l：x＝4的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍．(1)求動點M的軌跡C的方程；(2)過點P(0,3)的直線m與軌跡C交于A，B兩點，若A是PB的中點，求直線m的斜率．（1）；（2）或【詳解】試題分析：（Ⅰ）直接由題目給出的條件列式化簡即可得到動點M的軌跡C的方程；（Ⅱ）經(jīng)分析當直線m的斜率不存在時，不滿足A是PB的中點，然后設(shè)出直線m的斜截式方程，和橢圓方程聯(lián)立后整理，利用根與系數(shù)關(guān)系寫出，，結(jié)合得到關(guān)于k的方程，則直線m的斜率可求試題解析：如圖，設(shè)點到直線的距離為，根據(jù)題意，，由此化簡得：所以動點的軌跡的方程為（2）設(shè)，，由A是PB的中點，得，橢圓的上下頂點分別是，不滿足，即m的斜率存在.設(shè)直線的方程為，，如圖所示.將代入，得其中，且…①，…②又是的中點，故…③將③代入①②，得，所以，且解得或所以直線的斜率為或.直線與圓錐曲線的綜合問題；曲線與方程19．如圖,四邊形ABCD是正方形，平面ABCD，，，分別為的中點．（1）求證：平面PED；（2）求平面與平面夾角的大小．（1）證明見解析；（2）.（1）因為分別為中點，得到，結(jié)合線面平行的判定定理，即可求解；（2）以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，分別求得平面和平面的一個法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）因為分別為中點，所以，又因為平面，平面，平面.（2）因為平面，且，所以平面，又因為四邊形為矩形，所以兩兩垂直，故以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，可得設(shè)平面的法向量為，則，即，取，可得，所以平面的一個法向量為，同理可取平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，又由，所以平面與平面夾角為.利用空間向量計算二面角的常用方法：1、法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大小；2、方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.20．已知橢圓的離心率為，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構(gòu)成的三角形的周長為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于、兩點，若以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點，求的值．（1）；（2）或．（1）根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，可得出的值，進而可得出橢圓的方程；（2）設(shè)點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，由題意可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算，并代入韋達定理，可求得實數(shù)的值.【詳解】（1）因為橢圓上一點和它的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為，所以，又橢圓的離心率為，即，所以，可得，，所以，橢圓的方程為；（2）由，消去得，設(shè)、，則有，，①.因為以為直徑的圓過點，所以．由，，得．將，代入上式，得．將①代入上式，可得，整理可得，解得或．方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.21．橢圓：（）的離心率為，其左焦點到點的距離是．（1）求橢圓的方程；（2）若直線：被圓：截得的弦長為3，且與橢圓交于，兩點，求△面積的最大值．（1）；（2）．【詳解】試題分析：（1）借助條件布列的方程組；（2）聯(lián)立方程組，借助維達定理構(gòu)建面積函數(shù)，轉(zhuǎn)求最值.試題解析：（1）由題意可得，，解得，，，即有橢圓的方程為；（2）∵到的距離，∴，∴．設(shè)，，把代入得，∴，，∴，∵，∴當，即時，．1、待定系數(shù)法求橢圓方程；2、設(shè)而不求法表示面積.【思路點睛】本題綜合考查了直線、圓、橢圓的知識，難度中等.第一問通過待定系數(shù)法確定橢圓的方程，注意對橢圓基本性質(zhì)的理解；第二問考查了三角形的面積問題，如何表示面積手段是非常靈活的，除了熟知的底乘高除以二以外，還有面積的正弦形式，特別是割補思想表示面積，本題比較常規(guī)，難點是包