2020高中數(shù)學(xué) 第六章 平面向量及其應(yīng)用 .2.1 向量的加法運算應(yīng)用案鞏固提升 第二冊

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE8-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精6。2。1向量的加法運算［A基礎(chǔ)達標(biāo)]1．點O是平行四邊形ABCD的兩條對角線的交點，則eq\o（AO，\s\up6（→））＋eq\o（OC，\s\up6(→））＋eq\o(CB,\s\up6(→)）等于（）A.eq\o（AB,\s\up6（→)) B.eq\o(BC，\s\up6（→))C.eq\o（CD，\s\up6（→）) D.eq\o（DA,\s\up6(→））解析：選A.因為點O是平行四邊形ABCD的兩條對角線的交點，則eq\o(AO,\s\up6(→））＋eq\o（OC，\s\up6（→)）＋eq\o（CB，\s\up6（→))＝eq\o（AC,\s\up6(→））＋eq\o（CB,\s\up6(→)）＝eq\o(AB，\s\up6（→））。故選A.2．如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，對角線AC與BD相交于點O，則eq\o（OA，\s\up6(→)）＋eq\o（BC，\s\up6（→)）＋eq\o(AB，\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→)）＝()A。eq\o（CD，\s\up6（→)) B.eq\o（DC,\s\up6（→）)C.eq\o（DA，\s\up6(→）） D.eq\o(DO，\s\up6（→））解析：選B。eq\o(OA,\s\up6（→))＋eq\o(BC，\s\up6(→)）＋eq\o(AB，\s\up6(→））＋eq\o(DO,\s\up6（→））＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6（→））＋eq\o(AB,\s\up6(→)）＋eq\o（BC，\s\up6（→)）＝eq\o（DA，\s\up6(→）)＋eq\o（AB,\s\up6（→））＋eq\o(BC，\s\up6(→))＝eq\o(DB，\s\up6（→）)＋eq\o（BC，\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→）).3．若向量a表示“向東航行1km”,向量b表示“向北航行eq\r(3)km”，則向量a＋b表示(）A．向東北方向航行2kmB．向北偏東30°方向航行2kmC．向北偏東60°方向航行2kmD．向東北方向航行(1＋eq\r(3）)km解析：選B.如圖,易知tanα＝eq\f（1,\r(3)），所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏東30°。又｜a＋b|＝2km，故選B。4。如圖所示,在正六邊形ABCDEF中，若AB＝1，則|eq\o(AB，\s\up6(→））＋eq\o（FE，\s\up6(→)）＋eq\o（CD，\s\up6(→）)｜等于（)A．1 B．2C．3 D．2eq\r（3)解析：選B。由正六邊形知eq\o(FE,\s\up6(→）)＝eq\o(BC，\s\up6（→）），所以eq\o(AB，\s\up6(→)）＋eq\o（FE,\s\up6（→））＋eq\o(CD，\s\up6（→）)＝eq\o（AB，\s\up6（→)）＋eq\o(BC,\s\up6(→））＋eq\o（CD，\s\up6（→）)＝eq\o（AD,\s\up6（→)）,所以｜eq\o（AB，\s\up6（→）)＋eq\o（FE，\s\up6（→）)＋eq\o（CD,\s\up6（→）)｜＝|eq\o(AD,\s\up6(→)）|＝2.故選B.5．(2019·云南曲靖一中檢測)已知向量a，b皆為非零向量,下列說法不正確的是（）A．若a與b反向，且｜a｜>|b｜，則a＋b與a同向B．若a與b反向，且|a｜>｜b｜，則a＋b與b同向C．若a與b同向,則a＋b與a同向D．若a與b同向,則a＋b與b同向解析：選B。a與b反向，且|a｜〉|b|，則a＋b與a同向,所以B錯；a與b同向，則a＋b與a同向，也與b同向．6．化簡（eq\o(AB,\s\up6(→）)＋eq\o（MB,\s\up6（→）））＋（eq\o(BO,\s\up6（→)）＋eq\o(BC,\s\up6（→))）＋eq\o（OM,\s\up6（→)）＝________．解析：原式＝(eq\o(AB，\s\up6（→））＋eq\o(BO,\s\up6（→)））＋（eq\o（OM,\s\up6（→））＋eq\o（MB,\s\up6(→)）)＋eq\o(BC,\s\up6（→)）＝eq\o(AO,\s\up6(→)）＋eq\o（OB，\s\up6(→））＋eq\o（BC，\s\up6（→））＝eq\o（AB,\s\up6(→））＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC，\s\up6（→)).答案：eq\o（AC,\s\up6（→）)7．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°,｜eq\o(AB，\s\up6(→））｜＝1,則|eq\o（BC,\s\up6（→)）＋eq\o(CD,\s\up6（→))｜＝________．解析：在菱形ABCD中，連接BD,因為∠DAB＝60°，所以△BAD為等邊三角形，又因為｜eq\o(AB，\s\up6（→))｜＝1，所以|eq\o(BD,\s\up6(→))｜＝1，所以｜eq\o(BC，\s\up6(→）)＋eq\o（CD，\s\up6(→))｜＝｜eq\o（BD，\s\up6(→））|＝1。答案：18．已知平行四邊形ABCD,設(shè)eq\o(AB，\s\up6(→))＋eq\o(CD，\s\up6(→)）＋eq\o(BC,\s\up6(→）)＋eq\o(DA,\s\up6(→））＝a，且b是一非零向量，給出下列結(jié)論：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④｜a＋b|〈｜a｜＋|b｜.其中正確的是________．解析:因為在平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6（→)）＋eq\o(CD,\s\up6（→）)＝0，eq\o（BC，\s\up6（→））＋eq\o（DA,\s\up6(→））＝0，所以a為零向量，因為零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于這個向量本身，所以①③正確,②④錯誤．答案:①③9．根據(jù)下列條件，分別判斷四邊形ABCD的形狀：（1）eq\o(AD，\s\up6（→）)＝eq\o（BC,\s\up6（→)）;（2）eq\o（AB,\s\up6（→)）＝eq\o(DC,\s\up6(→）)且|eq\o(AB,\s\up6（→)）|＝｜eq\o(AD,\s\up6(→))|.解：(1)因為eq\o(AD,\s\up6(→））＝eq\o（BC，\s\up6(→）），所以AD∥BC，AD＝BC,所以四邊形ABCD是平行四邊形．（2）因為eq\o(AB，\s\up6(→））＝eq\o（DC，\s\up6（→)）且|eq\o(AB,\s\up6(→)）|＝|eq\o(AD,\s\up6(→)）|,所以四邊形ABCD是有一組鄰邊相等的平行四邊形，即四邊形ABCD是菱形．10．已知|eq\o（OA,\s\up6(→)）|＝|a｜＝3，｜eq\o(OB,\s\up6（→））｜＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求｜a＋b｜。解：如圖,因為|eq\o(OA,\s\up6(→）)｜＝|eq\o（OB，\s\up6(→））｜＝3，所以四邊形OACB為菱形，連接OC,AB，則OC⊥AB，設(shè)垂足為D。因為∠AOB＝60°，所以AB＝|eq\o（OA,\s\up6(→)）｜＝3。所以在Rt△BDC中，CD＝eq\f(3\r(3),2).所以｜eq\o（OC,\s\up6（→）)|＝|a＋b｜＝eq\f(3\r(3）,2）×2＝3eq\r（3）.［B能力提升］11．已知有向線段eq\o（AB,\s\up6(→)），eq\o(CD,\s\up6（→))不平行，則（）A．｜eq\o（AB，\s\up6（→))＋eq\o(CD，\s\up6(→)）|>|eq\o(AB，\s\up6(→））｜B．｜eq\o（AB,\s\up6(→）)＋eq\o（CD,\s\up6(→）)｜≥｜eq\o(CD，\s\up6(→）)|C．|eq\o（AB，\s\up6（→））＋eq\o（CD,\s\up6(→））|≥｜eq\o（AB，\s\up6（→))|＋|eq\o(CD,\s\up6(→))｜D．｜eq\o（AB,\s\up6（→）)＋eq\o（CD，\s\up6（→））｜〈｜eq\o（AB,\s\up6（→))｜＋｜eq\o(CD,\s\up6（→))|解析：選D。由向量加法的幾何意義得｜|a|－|b||≤|a＋b｜≤｜a｜＋｜b|，等號當(dāng)且僅當(dāng)a，b共線的時候取到，所以本題中，｜eq\o（AB，\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6（→））|<｜eq\o（AB，\s\up6（→)）｜＋｜eq\o（CD,\s\up6(→））|。12．若P為△ABC的外心,且eq\o(PA，\s\up6(→））＋eq\o（PB，\s\up6（→))＝eq\o（PC，\s\up6(→)）,則∠ACB＝______.解析：因為eq\o(PA,\s\up6(→））＋eq\o（PB,\s\up6(→)）＝eq\o(PC,\s\up6(→)），則四邊形APBC是平行四邊形．又P為△ABC的外心，所以｜eq\o（PA,\s\up6（→））|＝｜eq\o(PB，\s\up6（→）)|＝|eq\o(PC，\s\up6（→）)|。因此∠ACB＝120°.答案：120°13．如圖，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°，則下列結(jié)論中正確的是________．①|(zhì)eq\o（AB,\s\up6(→))＋eq\o（AC,\s\up6（→))｜＝|eq\o（BC,\s\up6(→)）｜；②｜eq\o(AB，\s\up6（→))＋eq\o（CA,\s\up6(→）)｜＝｜eq\o（BC，\s\up6（→））｜;③|eq\o(AB,\s\up6（→）)|2＋｜eq\o（AC，\s\up6(→))｜2＝|eq\o(BC，\s\up6（→））|2.解析：①正確．以AB,AC為鄰邊作?ABDC，又∠A＝90°，所以?ABDC為矩形，所以AD＝BC,所以|eq\o（AB，\s\up6(→）)＋eq\o（AC，\s\up6(→)）｜＝|eq\o（AD,\s\up6(→））｜＝｜eq\o（BC，\s\up6(→））|.②正確．|eq\o（AB,\s\up6(→））＋eq\o(CA，\s\up6(→))|＝|eq\o(CB，\s\up6（→）)｜＝｜eq\o（BC,\s\up6（→）)|.③正確．由勾股定理知|eq\o(AB,\s\up6(→）)｜2＋|eq\o(AC,\s\up6（→））|2＝｜eq\o（BC，\s\up6（→））|2。答案：①②③14．如圖,已知向量a，b，c，d。(1)求作a＋b＋c＋d；（2）設(shè)|a｜＝2,e為單位向量，求｜a＋e|的最大值．解：（1)在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o（OA,\s\up6（→）)＝a，eq\o(AB,\s\up6(→)）＝b，eq\o（BC，\s\up6（→)）＝c，eq\o(CD，\s\up6（→）)＝d,則eq\o（OD,\s\up6（→)）＝a＋b＋c＋d。(2）在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o（OA,\s\up6(→)）＝a，eq\o(AB,\s\up6(→)）＝e，則a＋e＝eq\o（OA，\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)）＝eq\o(OB,\s\up6(→））,因為e為單位向量，所以點B在以點A為圓心的單位圓上(如圖所示),由圖可知當(dāng)點B在點B1時，O，A，B1三點共線，|eq\o（OB,\s\up6（→））|即｜a＋e｜最大，最大值是3。[C拓展探究］15．如圖，在重300N的物體上拴兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側(cè)，與鉛垂線的夾角分別為30°，60°，要使整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，兩根繩子的拉力為多少?解:如圖,作?OACB,使∠AOC＝30°,∠BOC＝60°,則∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.設(shè)向量eq\o(OA，\s\up6(→