高一數(shù)學(xué)：第2單元 一元二次函數(shù)、方程與不等式（強(qiáng)化篇）（原卷版）

第2單元一元二次函數(shù)、方程與不等式（強(qiáng)化篇）基礎(chǔ)知識(shí)講解一．不等式定理【基礎(chǔ)知識(shí)】①對(duì)任意的a，b，有a＞b?a﹣b＞0；a＝b?a﹣b＝0；a＜b?a﹣b＜0，這三條性質(zhì)是做差比較法的依據(jù)．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推論：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．二．不等式大小比較【技巧方法】不等式大小比較的常用方法（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果；（2）作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；（7）尋找中間量或放縮法；（8）圖象法．其中比較法（作差、作商）是最基本的方法．三．基本不等式【基礎(chǔ)知識(shí)】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：≥（a≥0，b≥0），變形為ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．四、基本不等式的應(yīng)用【基礎(chǔ)知識(shí)】1、求最值2、利用基本不等式證明不等式3、基本不等式與恒成立問題4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用【技巧方法】技巧一：湊項(xiàng)需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值．技巧二：湊系數(shù)遇到無法直接運(yùn)用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分離技巧四：換元一般，令t＝x+1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值．技巧五：結(jié)合函數(shù)f（x）＝x+的單調(diào)性．技巧六：整體代換多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)．技巧七：取平方兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造條件．總結(jié)我們利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式．五．二次函數(shù)的性質(zhì)【基礎(chǔ)知識(shí)】二次函數(shù)相對(duì)于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個(gè)自變量，因變量隨著自變量的變化而變化．它的一般表達(dá)式為：y＝ax2+bx+c（a≠0）【技巧方法】①開口、對(duì)稱軸、最值與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)a＞0（＜0）時(shí)，圖象開口向上（向下）；對(duì)稱軸x＝；最值為：f（）；判別式△＝b2﹣4ac，當(dāng)△＝0時(shí)，函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；△＞0時(shí)，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)△＜0時(shí)無交點(diǎn)．②根與系數(shù)的關(guān)系．若△≥0，且x1、x2為方程y＝ax2+bx+c的兩根，則有x1+x2＝，x1?x2＝；③二次函數(shù)其實(shí)也就是拋物線，所以x2＝2py的焦點(diǎn)為（0，），準(zhǔn)線方程為y＝，含義為拋物線上的點(diǎn)到到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離．④平移：當(dāng)y＝a（x+b）2+c向右平移一個(gè)單位時(shí)，函數(shù)變成y＝a（x﹣1+b）2+c；六．一元二次不等式【基礎(chǔ)知識(shí)】含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是實(shí)數(shù)域內(nèi)的二次三項(xiàng)式．【技巧方法】（1）當(dāng)△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）（x﹣x2）（2）當(dāng)△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c＝0僅有一個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）2．（3）當(dāng)△＝b2﹣4ac＜0時(shí)．一元二次方程ax2+bx+c＝0沒有實(shí)根，那么ax2+bx+c與x軸沒有交點(diǎn)．二.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根軸法）．步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的討論；②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的討論．（2）分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，．（3）無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解．（4）指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式（5）對(duì)數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式（6）含絕對(duì)值不等式①應(yīng)用分類討論思想去絕對(duì)值；②應(yīng)用數(shù)形思想；③應(yīng)用化歸思想等價(jià)轉(zhuǎn)化．七．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【基礎(chǔ)知識(shí)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系其實(shí)可以用一個(gè)式子來表達(dá)，即當(dāng)ax2+bx+c＝0（a≠0）有解時(shí)，不妨設(shè)它的解為x1，x2，那么這個(gè)方程可以寫成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1?x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1?x2＝0．它表示根與系數(shù)有如下關(guān)系：x1+x2＝﹣，x1?x2＝．習(xí)題演練選擇題（共12小題）1．關(guān)于x的不等式的解集為，且：，則a=（）A． B． C． D．2．已知a，b為非零實(shí)數(shù)，且，則下列命題成立的是（）A． B． C． D．3．若，則下列不等式中一定成立的是（）A． B．C． D．4．兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，，成等差數(shù)列，則不等式恒成立時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．設(shè)，，，則的最小值為（）A． B． C． D．6．已知，則的最小值為（）.A．9 B． C．5 D．7．若，，，則的最大值為（）A． B． C． D．8．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A．10 B．11 C．13 D．219．關(guān)于的不等式的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．10．已知0<b<1+a，若關(guān)于x的不等式（x－b）2>（ax）2的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，則（）A．－1<a<0 B．0<a<1 C．1<a<3 D．3<a<611．若存在正實(shí)數(shù)y，使得，則實(shí)數(shù)x的最大值為（）A． B． C．1 D．412．若、、均大于0，且，則的最大值為（）A． B． C． D．填空題（共6小題）13．已知正數(shù)滿足：，則的最小值是_____________．14對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，若，，則的最大值為.15．設(shè)，，是三個(gè)正實(shí)數(shù)，且，則的最大值為______.16．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是______.17．設(shè),則的最大值為________．18．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，，且，則的最小值為________．三．解析題（共6小題）19．已知，不等式的解集是．（1）求的值；（2）若存在實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．已知，且．（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍．21．已知函數(shù)f（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|．（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若存在實(shí)數(shù)x0，使得f（x0）≤5+m﹣m2成立的m的最大值為M，且實(shí)數(shù)a，b滿足a3+b3＝M，證明：0＜a+b≤2．22．