橢圓與雙曲線常見題型歸納

.PAGE.橢圓與雙曲線常見題型歸納一."曲線方程+直線與圓錐曲線位置關(guān)系"的綜合型試題的分類求解1.向量綜合型例1.在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和為4,設(shè)點(diǎn)的軌跡為,直線與交于兩點(diǎn)?！并駥懗龅姆匠?〔Ⅱ若,求的值。例2．設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).〔Ⅰ若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求的最大值和最小值;〔Ⅱ設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,且∠為銳角〔其中為坐標(biāo)原點(diǎn),求直線的斜率的取值范圍例3．設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),．〔Ⅰ若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求的最大值和最小值;〔Ⅱ若C為橢圓上異于B一點(diǎn),且,求的值；〔Ⅲ設(shè)P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求的周長的最大值.例4．已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為<2,0>,右頂點(diǎn)為<1>求雙曲線C的方程；<2>若直線l：與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,且<其中O為原點(diǎn)>,求k的取值范圍。例5．已知橢圓〔a＞b＞0的離心率,過點(diǎn)A〔0,-b和B〔a,0的直線與原點(diǎn)的距離為．〔1求橢圓的方程．〔2已知定點(diǎn)E〔-1,0,若直線y＝kx＋2〔k≠0與橢圓交于C、D兩點(diǎn)．問：是否存在k的值,使以CD為直徑的圓過E點(diǎn)?請說明理由．2．"中點(diǎn)弦型"例6.已知橢圓,試確定的值,使得在此橢圓上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱。例7.已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率,焦距為〔=1\*ROMANI求該雙曲線方程.〔=2\*ROMANII是否定存在過點(diǎn),的直線與該雙曲線交于,兩點(diǎn),且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)？若存在,請求出直線的方程,若不存在,說明理由.例8．已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)為F1,F2〔0,,且離心率?！睮求橢圓的方程；〔II直線l〔與坐標(biāo)軸不平行與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B,且線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求直線l傾斜角的取值范圍。3．"弦長型"例9．直線y＝kx＋b與橢圓交于A、B兩點(diǎn),記△AOB的面積為S．<I>求在k＝0,0＜b＜1的條件下,S的最大值；〔Ⅱ>當(dāng)｜AB｜＝2,S＝1時(shí),求直線AB的方程．例10．已知向量=〔0,x,=〔1,1,=〔x,0,=〔y2,1〔其中x,y是實(shí)數(shù),又設(shè)向量=+,=－,且//,點(diǎn)P〔x,y的軌跡為曲線C.〔Ⅰ求曲線C的方程；〔Ⅱ設(shè)直線與曲線C交于M、N兩點(diǎn),當(dāng)|MN|=時(shí),求直線l的方程.二．"基本性質(zhì)型"例11．設(shè)雙曲線的方程為,A、B為其左、右兩個(gè)頂點(diǎn),P是雙曲線上的任一點(diǎn),引,AQ與BQ相交于點(diǎn)Q。〔1求Q點(diǎn)的軌跡方程；〔2設(shè)〔1中所求軌跡為,、的離心率分別為、,當(dāng)時(shí),求的取值范圍。例12．P為橢圓上一點(diǎn),、為左右焦點(diǎn),若〔1求△的面積；〔2求P點(diǎn)的坐標(biāo)．例13．已知雙曲線與橢圓共焦點(diǎn),且以為漸近線,求雙曲線方程．例14.代表實(shí)數(shù),討論方程所表示的曲線.例1.解:〔Ⅰ設(shè)P〔x,y,由橢圓定義可知,點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn),長半軸為2的橢圓．它的短半軸,故曲線C的方程為．〔Ⅱ設(shè),其坐標(biāo)滿足消去y并整理得,故．若,即．而,于是,化簡得,所以．例2．解：〔Ⅰ解法一：易知,所以,設(shè),則因?yàn)?故當(dāng),即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí),有最小值當(dāng),即點(diǎn)為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí),有最大值解法二：易知,所以,設(shè),則〔以下同解法一〔Ⅱ顯然直線不滿足題設(shè)條件,可設(shè)直線,聯(lián)立,消去,整理得：∴由得：或又,∴又∵,即∴,故由①、②得或例3．解：〔Ⅰ易知,所以,設(shè),則因?yàn)?故當(dāng),即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí),有最小值當(dāng),即點(diǎn)為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí),有最大值〔Ⅱ設(shè)C〔,由得,又所以有解得〔Ⅲ因?yàn)閨P|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|∴周長≤4＋|BF2|＋|B|≤8．所以當(dāng)P點(diǎn)位于直線BF2與橢圓的交點(diǎn)處時(shí),周長最大,最大值為8．例4．解：〔Ⅰ設(shè)雙曲線方程為由已知得故雙曲線C的方程為〔Ⅱ?qū)⒂芍本€l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得即①設(shè),則而于是②由①、②得故k的取值范圍為例5．解析：〔1直線AB方程為：bx-ay-ab＝0．依題意解得∴橢圓方程為．〔2假若存在這樣的k值,由得．∴．①設(shè),、,,則②而要使以CD為直徑的圓過點(diǎn)E〔-1,0,當(dāng)且僅當(dāng)CE⊥DE時(shí),則即∴．③將②式代入③整理解得．經(jīng)驗(yàn)證,,使①成立．綜上可知,存在,使得以CD為直徑的圓過點(diǎn)E．例6.解：設(shè),的中點(diǎn),而相減得即,而在橢圓內(nèi)部,則即例7.〔1〔2設(shè),直線：,代入方程得〔則,解得,此時(shí)方程為,方程沒有實(shí)數(shù)根。所以直線不存在。例8．解：〔I設(shè)橢圓方程為解得a=3,所以b=1,故所求方程為〔II設(shè)直線l的方程為代入橢圓方程整理得由題意得解得又直線l與坐標(biāo)軸不平行故直線l傾斜角的取值范圍是例9<I>解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為<,點(diǎn)B的坐標(biāo)為,由,解得,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),．S取到最大值1．〔Ⅱ解：由得①,｜AB｜＝②又因?yàn)镺到AB的距離所以③③代入②并整理,得,解得,,代入①式檢驗(yàn),△＞0故直線AB的方程是：或或或．例10解：〔I由已知,即所求曲線的方程是：〔Ⅱ由解得x1=0,x2=分別為M,N的橫坐標(biāo).由所以直線l的方程x－y+1=0或x+y－1=0.例11.解：〔1設(shè),∵∴,∵,∴,∴,化簡得：,經(jīng)檢驗(yàn),點(diǎn)不合題意,∴點(diǎn)Q的軌跡方程為〔2由〔1得的方程為,,∵,∴,∴。例12．[解析]：∵a＝5,b＝3c＝4〔1設(shè),,則①②,由①2－②得〔2設(shè)P,由得4,將代入橢圓方程解得,或或