2022屆江蘇省常州市新北區(qū)奔牛初級中學十校聯考最后數學試題含解析

2021-2022中考數學模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．甲、乙兩人沿相同的路線由A地到B地勻速前進，A、B兩地間的路程為20km．他們前進的路程為s(km)，甲出發(fā)后的時間為t(h)，甲、乙前進的路程與時間的函數圖象如圖所示．根據圖象信息，下列說法正確的是（）A．甲的速度是4km/h B．乙的速度是10km/hC．乙比甲晚出發(fā)1h D．甲比乙晚到B地3h2．如圖，已知第一象限內的點A在反比例函數y=2x上，第二象限的點B在反比例函數y=kxA．﹣22 B．4 C．﹣4 D．223．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一動點（不與A、B重合），CD⊥AB于D，∠OCD的平分線交⊙O于P，則當C在⊙O上運動時，點P的位置（）

A．隨點C的運動而變化B．不變C．在使PA=OA的劣弧上D．無法確定4．如圖，等腰直角三角形紙片ABC中，∠C=90°，把紙片沿EF對折后，點A恰好落在BC上的點D處，點CE=1，AC=4，則下列結論一定正確的個數是（）①∠CDE=∠DFB；②BD＞CE；③BC=CD；④△DCE與△BDF的周長相等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．下列四張正方形硬紙片，剪去陰影部分后，如果沿虛線折疊，可以圍成一個封閉的長方體包裝盒的是()A． B． C． D．6．下列運算正確的是（）A．a3?a2=a6 B．（a2）3=a5 C．=3 D．2+=27．函數y=中，自變量x的取值范圍是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x=3 D．x≠38．若實數a，b滿足|a|＞|b|，則與實數a，b對應的點在數軸上的位置可以是（）A． B． C． D．9．如圖是一個空心圓柱體，其俯視圖是()A．B．C．D．10．已知x﹣2y=3，那么代數式3﹣2x+4y的值是（）A．﹣3 B．0 C．6 D．911．定義：若點P（a，b）在函數y=1x的圖象上，將以a為二次項系數，b為一次項系數構造的二次函數y=ax2+bx稱為函數y=1x的一個“派生函數”．例如：點（2，12）在函數y=1x的圖象上，則函數y=2x2+（1）存在函數y=1x（2）函數y=1xA．命題（1）與命題（2）都是真命題B．命題（1）與命題（2）都是假命題C．命題（1）是假命題，命題（2）是真命題D．命題（1）是真命題，命題（2）是假命題12．如圖，兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上，量得∠ABC=，∠ADC=，則竹竿AB與AD的長度之比為A． B． C． D．二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13．如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成．若較短的直角邊BC＝5，將四個直角三角形中較長的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數學風車”，若△BCD的周長是30，則這個風車的外圍周長是_____．14．當__________時，二次函數有最小值___________.15．同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，則兩枚硬幣全部正面向上的概率是．16．A、B兩地相距20km，甲乙兩人沿同一條路線從A地到B地．甲先出發(fā)，勻速行駛，甲出發(fā)1小時后乙再出發(fā)，乙以2km/h的速度度勻速行駛1小時后提高速度并繼續(xù)勻速行駛，結果比甲提前到達．甲、乙兩人離開A地的距離y(km)與時間t(h)的關系如圖所示，則甲出發(fā)_____小時后和乙相遇．17．如圖，⊙O的半徑為2，AB為⊙O的直徑，P為AB延長線上一點，過點P作⊙O的切線，切點為C．若PC=2，則BC的長為______．18．如圖,正△ABC的邊長為2，點A、B在半徑為2的圓上,點C在圓內,將正ΔABC繞點A逆時針針旋轉，當點C第一次落在圓上時，旋轉角的正切值為_______________三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19．（6分）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，若AB，求證：四邊形ABCD是正方形20．（6分）投資1萬元圍一個矩形菜園（如圖），其中一邊靠墻，另外三邊選用不同材料建造．墻長24m，平行于墻的邊的費用為200元/m，垂直于墻的邊的費用為150元/m，設平行于墻的邊長為xm設垂直于墻的一邊長為ym，直接寫出y與x之間的函數關系式；若菜園面積為384m2，求x的值；求菜園的最大面積．21．（6分）定義：和三角形一邊和另兩邊的延長線同時相切的圓叫做三角形這邊上的旁切圓．如圖所示，已知：⊙I是△ABC的BC邊上的旁切圓，E、F分別是切點，AD⊥IC于點D．（1）試探究：D、E、F三點是否同在一條直線上？證明你的結論．（2）設AB=AC=5，BC=6，如果△DIE和△AEF的面積之比等于m，，試作出分別以,為兩根且二次項系數為6的一個一元二次方程．22．（8分）二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，且a≠1）中的x與y的部分對應值如表x

﹣1

1

1

3

y

﹣1

3

5

3

下列結論：①ac＜1；②當x＞1時，y的值隨x值的增大而減小．③3是方程ax2+（b﹣1）x+c=1的一個根；④當﹣1＜x＜3時，ax2+（b﹣1）x+c＞1．其中正確的結論是．23．（8分）計算：﹣（﹣2016）0+|﹣3|﹣4cos45°．24．（10分）在學習了矩形這節(jié)內容之后，明明同學發(fā)現生活中的很多矩形都很特殊，如我們的課本封面、A4的打印紙等，這些矩形的長與寬之比都為：1，我們將具有這類特征的矩形稱為“完美矩形”如圖（1），在“完美矩形”ABCD中，點P為AB邊上的定點，且AP＝AD．求證：PD＝AB．如圖（2），若在“完美矩形“ABCD的邊BC上有一動點E，當的值是多少時，△PDE的周長最?。咳鐖D（3），點Q是邊AB上的定點，且BQ＝BC．已知AD＝1，在（2）的條件下連接DE并延長交AB的延長線于點F，連接CF，G為CF的中點，M、N分別為線段QF和CD上的動點，且始終保持QM＝CN，MN與DF相交于點H，請問GH的長度是定值嗎？若是，請求出它的值，若不是，請說明理由．25．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，DE交AC于點E，且∠A＝∠ADE．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AD＝16，DE＝10，求BC的長．26．（12分）我市某中學對部分學生就校園安全知識的了解程度，采用隨機抽樣調查的方式，并根據收集到的信息進行統計，繪制了如圖兩幅尚不完整的統計圖，請你根據統計圖中所提供的信息解答下列問題：(1)接受問卷調查的學生共有______人，扇形統計圖中“了解”部分所對應扇形的圓心角為______°.(2)若該中學共有學生900人，請根據上述調查結果，估計該中學學生中對校園安全知識達到“了解”和“基本了解”程度的總人數為_______人.(3)若從對校園安全知識達到“了解”程度的3個女生A、B、C和2個男生M、N中分別隨機抽取1人參加校園安全知識競賽，請用樹狀圖或列表法求出恰好抽到女生A的概率.27．（12分）計算:

參考答案一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1、C【解析】甲的速度是：20÷4=5km/h；乙的速度是：20÷1=20km/h；由圖象知，甲出發(fā)1小時后乙才出發(fā)，乙到2小時后甲才到，故選C．2、C【解析】試題分析：作AC⊥x軸于點C，作BD⊥x軸于點D．則∠BDO=∠ACO=90°，則∠BOD+∠OBD=90°，∵OA⊥OB，∴∠BOD+∠AOC=90°，∴∠BOD=∠AOC，∴△OBD∽△AOC，∴SΔOBDSΔAOC又∵S△AOC=12×2=1，∴S△OBD故選C．考點：1.相似三角形的判定與性質；2.反比例函數圖象上點的坐標特征．3、B【解析】

因為CP是∠OCD的平分線，所以∠DCP=∠OCP，所以∠DCP=∠OPC，則CD∥OP，所以弧AP等于弧BP，所以PA=PB．從而可得出答案．【詳解】解：連接OP，∵CP是∠OCD的平分線，∴∠DCP=∠OCP，

又∵OC=OP，

∴∠OCP=∠OPC，

∴∠DCP=∠OPC，

∴CD∥OP，

又∵CD⊥AB，

∴OP⊥AB，

∴，

∴PA=PB．

∴點P是線段AB垂直平分線和圓的交點，

∴當C在⊙O上運動時，點P不動．

故選：B．【點睛】本題考查了圓心角、弦、弧之間的關系，以及平行線的判定和性質，在同圓或等圓中，等弧對等弦．4、D【解析】等腰直角三角形紙片ABC中，∠C=90°，∴∠A=∠B=45°，由折疊可得，∠EDF=∠A=45°，∴∠CDE+∠BDF=135°，∠DFB+∠B=135°，∴∠CDE=∠DFB，故①正確；由折疊可得，DE=AE=3，∴CD=，∴BD=BC﹣DC=4﹣＞1，∴BD＞CE，故②正確；∵BC=4，CD=4，∴BC=CD，故③正確；∵AC=BC=4，∠C=90°，∴AB=4，∵△DCE的周長=1+3+2=4+2，由折疊可得，DF=AF，∴△BDF的周長=DF+BF+BD=AF+BF+BD=AB+BD=4+（4﹣2）=4+2，∴△DCE與△BDF的周長相等，故④正確；故選D．點睛：本題主要考查了折疊問題，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．5、C【解析】A、剪去陰影部分后，組成無蓋的正方體，故此選項不合題意；B、剪去陰影部分后，無法組成長方體，故此選項不合題意；C、剪去陰影部分后，能組成長方體，故此選項正確；D、剪去陰影部分后，組成無蓋的正方體，故此選項不合題意；故選C．6、C【解析】

結合選項分別進行冪的乘方和積的乘方、同底數冪的乘法、實數的運算等運算，然后選擇正確選項．【詳解】解：A.a3a2=a5，原式計算錯誤，故本選項錯誤；B.(a2)3=a6，原式計算錯誤，故本選項錯誤；C.=3，原式計算正確，故本選項正確；D.2和不是同類項，不能合并，故本選項錯誤．故選C.【點睛】本題考查了冪的乘方與積的乘方，實數的運算，同底數冪的乘法，解題的關鍵是冪的運算法則.7、D【解析】由題意得，x﹣1≠0，解得x≠1．故選D．8、D【解析】

根據絕對值的意義即可解答．【詳解】由|a|＞|b|，得a與原點的距離比b與原點的距離遠，只有選項D符合，故選D．【點睛】本題考查了實數與數軸，熟練運用絕對值的意義是解題關鍵．9、D【解析】

根據從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案．【詳解】該空心圓柱體的俯視圖是圓環(huán)，如圖所示：故選D．【點睛】本題考查了三視圖，明確俯視圖是從物體上方看得到的圖形是解題的關鍵.10、A【解析】

解：∵x﹣2y=3，∴3﹣2x+4y=3﹣2（x﹣2y）=3﹣2×3=﹣3；故選A．11、C【解析】試題分析：（1）根據二次函數y=ax2+bx的性質a、b同號對稱軸在y軸左側，a、b異號對稱軸在y軸右側即可判斷．（2）根據“派生函數”y=ax2+bx，x=0時，y=0，經過原點，不能得出結論．（1）∵P（a，b）在y=上，∴a和b同號，所以對稱軸在y軸左側，∴存在函數y=的一個“派生函數”，其圖象的對稱軸在y軸的右側是假命題．（2）∵函數y=的所有“派生函數”為y=ax2+bx，∴x=0時，y=0，∴所有“派生函數”為y=ax2+bx經過原點，∴函數y=的所有“派生函數”，的圖象都進過同一點，是真命題．考點：（1）命題與定理；（2）新定義型12、B【解析】

在兩個直角三角形中，分別求出AB、AD即可解決問題；【詳解】在Rt△ABC中，AB=，在Rt△ACD中，AD=，∴AB：AD=：=，故選B．【點睛】本題考查解直角三角形的應用、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是學會利用參數解決問題．二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13、71【解析】分析：由題意∠ACB為直角，利用勾股定理求得外圍中一條邊，又由AC延伸一倍，從而求得風車的一個輪子，進一步求得四個．詳解：依題意，設“數學風車”中的四個直角三角形的斜邊長為x，AC=y，則x2=4y2+52，∵△BCD的周長是30，∴x+2y+5=30則x=13，y=1．∴這個風車的外圍周長是：4（x+y）=4×19=71．故答案是：71．點睛：本題考查了勾股定理在實際情況中的應用，注意隱含的已知條件來解答此類題．14、15【解析】二次函數配方，得：，所以，當x＝1時，y有最小值5，故答案為1，5.15、．【解析】試題分析：畫樹狀圖為：共有4種等可能的結果數，其中兩枚硬幣全部正面向上的結果數為1，所以兩枚硬幣全部正面向上的概率=．故答案為．考點：列表法與樹狀圖法．16、【解析】

由圖象得出解析式后聯立方程組解答即可．【詳解】由圖象可得：y甲=4t（0≤t≤5）；y乙=；由方程組，解得t=．故答案為．【點睛】此題考查一次函數的應用，關鍵是由圖象得出解析式解答．17、2【解析】

連接OC，根據勾股定理計算OP=4，由直角三角形30度的逆定理可得∠OPC=30°，則∠COP=60°，可得△OCB是等邊三角形，從而得結論．【詳解】連接OC，∵PC是⊙O的切線，∴OC⊥PC，∴∠OCP=90°，∵PC=2，OC=2，∴OP===4，∴∠OPC=30°，∴∠COP=60°，∵OC=OB=2，∴△OCB是等邊三角形，∴BC=OB=2，故答案為2【點睛】本題考查切線的性質、等腰三角形的性質、等邊三角形的判定等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．18、3【解析】

作輔助線，首先求出∠DAC的大小，進而求出旋轉的角度，即可得出答案．【詳解】如圖，分別連接OA、OB、OD；∵OA=OB=2，AB=2，∴△OAB是等腰直角三角形，∴∠OAB=45°；同理可證：∠OAD=45°，∴∠DAB=90°；∵∠CAB=60°，∴∠DAC=90°?60°=30°，∴旋轉角的正切值是33故答案為：33【點睛】此題考查等邊三角形的性質，旋轉的性質，點與圓的位置關系，解直角三角形，解題關鍵在于作輔助線.三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19、詳見解析.【解析】

四邊形ABCD是正方形，利用已知條件先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再證明四邊形ABCD是矩形，再根據對角線垂直的矩形是正方形即可證明四邊形ABCD是正方形．【詳解】證明：在四邊形ABCD中，OA=OC,OB=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵OA=OB=OC=OD，又∵AC=AO+OC,BD=OB+DO，∴AC=BD，∴平行四邊形是矩形，在△AOB中，，∴△AOB是直角三角形，即AC⊥BD，∴矩形ABCD是正方形.【點睛】本題考查了平行四邊形的判定、矩形的判定、正方形的判定以及勾股定理的運用和勾股定理的逆定理的運用，題目的綜合性很強．20、（1）見詳解；(2)x=18；(3)416m2.【解析】

（1）根據“垂直于墻的長度=可得函數解析式；（2）根據矩形的面積公式列方程求解可得；（3）根據矩形的面積公式列出總面積關于x的函數解析式，配方成頂點式后利用二次函數的性質求解可得．【詳解】(1)根據題意知，y＝＝－x＋；(2)根據題意，得(－x＋)x＝384，解得x＝18或x＝32.∵墻的長度為24m，∴x＝18.(3)設菜園的面積是S，則S＝(－x＋)x＝－x2＋x＝－(x－25)2＋.∵－＜0，∴當x＜25時，S隨x的增大而增大.∵x≤24，∴當x＝24時，S取得最大值，最大值為416.答：菜園的最大面積為416m2.【點睛】本題主要考查二次函數和一元二次方程的應用，解題的關鍵是將實際問題轉化為一元二次方程和二次函數的問題．21、(1)D、E、F三點是同在一條直線上．(2)6x2﹣13x+6=1．【解析】（1）利用切線長定理及梅氏定理即可求證；（2）利用相似和韋達定理即可求解.解：（1）結論：D、E、F三點是同在一條直線上．證明：分別延長AD、BC交于點K，由旁切圓的定義及題中已知條件得：AD=DK，AC=CK，再由切線長定理得：AC+CE=AF，BE=BF，∴KE=AF．∴，由梅涅勞斯定理的逆定理可證，D、E、F三點共線，即D、E、F三點共線．（2）∵AB=AC=5，BC=6，∴A、E、I三點共線，CE=BE=3，AE=4，連接IF，則△ABE∽△AIF，△ADI∽△CEI，A、F、I、D四點共圓．設⊙I的半徑為r，則：，∴，即，，∴由△AEF∽△DEI得：，∴．∴，因此，由韋達定理可知：分別以、為兩根且二次項系數為6的一個一元二次方程是6x2﹣13x+6=1．點睛：本是一道關于圓的綜合題.正確分析圖形并應用圖形的性質是解題的關鍵.22、①③④．【解析】試題分析：∵x=﹣1時y=﹣1，x=1時，y=3，x=1時，y=5，∴，解得，∴y=﹣x2+3x+3，∴ac=﹣1×3=﹣3＜1，故①正確；對稱軸為直線，所以，當x＞時，y的值隨x值的增大而減小，故②錯誤；方程為﹣x2+2x+3=1，整理得，x2﹣2x﹣3=1，解得x1=﹣1，x2=3，所以，3是方程ax2+（b﹣1）x+c=1的一個根，正確，故③正確；﹣1＜x＜3時，ax2+（b﹣1）x+c＞1正確，故④正確；綜上所述，結論正確的是①③④．故答案為①③④．【考點】二次函數的性質．23、1．【解析】

根據二次根式性質，零指數冪法則，絕對值的代數意義，以及特殊角的三角函數值依次計算后合并即可．【詳解】解：原式=1﹣1+3﹣4×=1．【點睛】本題考查實數的運算及特殊角三角形函數值．24、（1）證明見解析（2）（3）【解析】

（1）根據題中“完美矩形”的定義設出AD與AB，根據AP=AD，利用勾股定理表示出PD，即可得證；（2）如圖，作點P關于BC的對稱點P′，連接DP′交BC于點E，此時△PDE的周長最小，設AD=PA=BC=a，表示出AB與CD，由AB-AP表示出BP，由對稱的性質得到BP=BP′，由平行得比例，求出所求比值即可；（3）GH=，理由為：由（2）可知BF=BP=AB-AP，由等式的性質得到MF=DN，利用AAS得到△MFH≌△NDH，利用全等三角形對應邊相等得到FH=DH，再由G為CF中點，得到HG為中位線，利用中位線性質求出GH的長即可．【詳解】（1）在圖1中，設AD=BC=a，則有AB=CD=a，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵PA=AD=BC=a，∴PD==a，∵AB=a，∴PD=AB；（2）如圖，作點P關于BC的對稱點P′，連接DP′交BC于點E，此時△PDE的周長最小，設AD=PA=BC=a，則有AB=CD=a，∵BP=AB-PA，∴BP′=BP=a-a，∵BP′∥CD，∴；（3）GH=，理由為：由（2）可知BF=BP=AB-AP，∵AP=AD，∴BF=AB-AD，∵BQ=BC，∴AQ=AB-BQ=AB-BC，∵BC=AD，∴AQ=AB-AD，∴BF=AQ，∴QF=BQ+BF=BQ+AQ=AB，∵AB=CD，∴QF=CD，∵QM=CN，∴QF-QM=CD-CN，即MF=DN，∵MF∥DN，∴∠NFH=∠NDH，在△MFH和△NDH中，，∴△MFH≌△NDH（AAS），∴FH=DH，∵G為CF的中點，∴GH是△CFD的中位線，∴GH=CD=×2=．【點睛】此題屬于相似綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，三角形中位線性質，平行線的判定與性質，熟練掌握相似三角形的性質是解本題的關鍵．25、（1）證明見解析；（2）15.【解析】

（1）先連接OD，根據圓周角定理求出∠ADB=90°，根據直角三角形斜邊上中線性質求出DE=BE，推出∠EDB=∠EBD，∠ODB=∠OBD，即可求出∠ODE=90°，根據切線的判定推出即可．

（2）首先證明AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC=12，設BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2-202，可得x2+122=（x+16）2-202，解方程即可解決問題．【詳解】（1）證明：連結OD，∵∠AC