模電-第8章數(shù)字邏輯基礎(chǔ)

u

u 數(shù)字信號(hào)波

分為通用型和型兩大類型。 第八章數(shù)字第八章數(shù)字邏輯基8.1與BCD8.1與BCD數(shù)制即指計(jì)數(shù)的方法，日常生活中最常用的是十進(jìn)制計(jì)數(shù)，而在數(shù)字電路和計(jì)算機(jī)中最常用的是二進(jìn)制、八進(jìn)制和十六進(jìn)制。 （位的權(quán)數(shù)）：在某一進(jìn)位制的數(shù)中，每一位8.1.1常用數(shù)數(shù)碼為：0～9；基數(shù)是10運(yùn)算規(guī)律：逢十進(jìn)一，即：9＋1＝10十進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式 ＋

５５即：(5555)10＝5×103又如：(209.04)10＝2×102＋0×101＋9×100＋0×10－1＋4數(shù)碼為：0、1；基數(shù)是2運(yùn)算規(guī)律：逢二進(jìn)一，即：1＋1＝10二進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式

二進(jìn)如：(101.01)2＝1×22＋0×21＋1×20＋0×2－1＋1各各數(shù)位的權(quán)是規(guī)運(yùn) 規(guī)運(yùn) 則：0.0=0，0.1=0數(shù)碼為：0～9、A～F；基數(shù)是16如：(D8.A)16＝13×161＋8×160＋10各各數(shù)位的權(quán)是16的數(shù)碼為：0～7；基數(shù)是8運(yùn)算規(guī)律 進(jìn)一，即：7＋1＝10八進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式如：(207.04)8＝2×82＋0×81＋7×80＋0×8－1＋4各各數(shù)位的權(quán)是8的 結(jié) (an-1an-2…a1a0·a－1a－2…(M)2＝an-1×Nn-1＋an-2×Nn-2＋ ＋a1×N1＋a0＋a－1×N-1＋a－2×N-2＋…＋a－m×N-③由權(quán)展開式很容易將一個(gè)N進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)（1）按權(quán)相加法：將例：求二進(jìn)制數(shù)11010.101（11010.101）=124+123+022+121+020+12-1+02-2+12-常用二進(jìn)制的- - - - 012 0.06250.1250.250.5124 16326412825651210242048(2)十進(jìn)制整數(shù)用除2取余例：將十進(jìn)制13 余6 因此63 31 1 十進(jìn)制凈小數(shù)用乘2取整例：將十進(jìn)制純小數(shù)0.5622-610001 5215212余低222220………

先得到的整數(shù)為，后得× 整0.750………×1.500………×1.000……… 低采用基數(shù)連除、連乘法，可將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為任意的N將其他進(jìn)制數(shù)按系數(shù)展開式展開，求 8.1.2幾種簡(jiǎn)單的編 的數(shù)碼、符二-十進(jìn)制代碼：用4位二進(jìn)制數(shù)b3b2b1b0進(jìn)制數(shù)中的0 9十個(gè)數(shù)碼。簡(jiǎn)稱BCD碼因各位的權(quán)值依次為8、4、2、1，故稱8421BCD碼。格雷碼僅有一位代碼不同，其它位相同。常用BCD十進(jìn)制數(shù)8421碼3碼格雷碼2421碼5421

象的信息。BCD碼是用4位二進(jìn)制代碼代表1位十制數(shù)的編碼（按1：4展開獲得BCD碼，或按4：1收縮獲得對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)），有多種BCD碼形式，最常用的是8421BCD碼。8.2邏輯代數(shù)基邏輯代數(shù)事物的發(fā)展變化通常都是有一定因果關(guān)系的,這種因果關(guān)系一般稱為邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)又叫布爾代數(shù)或開關(guān)代數(shù)，是由英國數(shù)學(xué)家喬治·布爾于1847年創(chuàng)立的。邏輯代數(shù)與普通代數(shù)都由字母來代替變量，但邏輯代數(shù)與普通代數(shù)的概念不同，它不表示數(shù)量大小之間的關(guān)系，而是描述客觀事物之間一般邏輯關(guān)系邏輯變量的取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1，它們并不表示數(shù)量的大小，而是表示兩種對(duì)立的邏輯狀態(tài)，如開關(guān)的通與斷、電位的高與低、燈的亮與滅例如，在右圖的指示燈控制電路中，我們用字母Y表示指示燈，用、B表示兩個(gè)開關(guān)。指示燈Y的亮與滅兩種狀態(tài)取決于開關(guān)、B的通斷狀態(tài)。 、稱為輸入邏輯變量，將Y稱為輸出邏輯變量。邏輯代數(shù)有兩種邏輯體制，其中，正邏輯體制規(guī)定，高電平為邏輯低電平為邏輯0；負(fù)邏輯體制規(guī)定，低電平為邏輯1，高電平為邏輯08.2.18.2.111與邏輯運(yùn)ABEYAABEYABEYABEYABEYA、A、B都斷開，燈不亮A斷開、B接通，燈A接通、A接通、B斷開，燈A、B都接通，燈亮燈才亮。邏輯表達(dá)式為歸納為“有0出0，全1為1

低電平有功能功能真值開關(guān)開關(guān)開關(guān)開關(guān)斷斷滅斷閉滅閉斷滅閉閉亮ABY000010100111當(dāng)決定事件發(fā)生的條件具備一個(gè)或一個(gè)以上時(shí)，事件就發(fā)生；只有當(dāng)所有條件均不具備 件才不會(huì)發(fā)生。這種因果之間的關(guān)系就是“或”邏輯的運(yùn)算關(guān)系。如，在上圖所示的電路中，只要開關(guān)A、中任意一個(gè)接通或者兩個(gè)都接通，燈就亮；只有當(dāng)開關(guān)、B均斷開時(shí)，燈才不亮。AABEYABEYABEYA、BA、BA斷開、BAB A接A接通、B斷開，燈亮A、B都接通，燈亮燈就會(huì)亮。邏輯表達(dá)

高電平有運(yùn)算規(guī)則可以歸納為“全0出0，有1為1功能真功能真值燈 或邏輯符斷斷滅斷閉亮閉斷亮閉閉亮ABY000011101111非運(yùn)算關(guān)系是，當(dāng)條件具備件不發(fā)生；當(dāng)條件不具備件能發(fā)生。即某事件發(fā)生與否，僅取決于一個(gè)條件，而且是非邏輯關(guān)系電例如，在圖示電路中，當(dāng)開關(guān)A接通時(shí)，燈Y不亮；而當(dāng)開關(guān)A斷開時(shí)，燈Y亮。在邏輯代數(shù)中，非邏輯運(yùn)算又稱邏輯反。非有非邏輯符非邏輯運(yùn)算規(guī)則可以歸納為“有非邏輯符斷閉亮滅AY01108.2.2復(fù)合邏輯運(yùn)復(fù)合邏輯是指由與、或、非3種基本邏輯關(guān)系組合而成的邏輯關(guān)系。常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算主1.1.與非邏輯運(yùn)算是由與、非兩種基本運(yùn)算按照“先與后非”的A0011B0A0011B0101YY1110低電平有22A0B0 A0B0 1101真值Y1000YA高電平有&與或非邏 & 與或非門的與或非門的邏輯&YYAB與或非邏輯符異或是一種二變量邏輯運(yùn)算，當(dāng)兩個(gè)變量不同時(shí)，輸出為1；當(dāng)兩個(gè)變量相同時(shí)，輸出為0，即“不同為1，相同為0”。ABYABY 01100110 YABYABABA同或也是一種二變量邏輯運(yùn)算，當(dāng)兩個(gè)變量相同時(shí)，輸出為1；當(dāng)兩個(gè)變量不同時(shí)，輸出為0，即“相同為1，不同為0”。A⊙B＝AB＋A同或邏輯符

B＝A⊙B 主要邏輯關(guān)系的小異或：相異出特別提醒記住以上邏輯關(guān)系的相應(yīng)8.2.3邏輯函數(shù)常用的表示方法有5種真值表達(dá)邏輯波形卡諾真值相應(yīng)的函數(shù)值排列在一起組成的表格，一個(gè)確定邏輯真值表能夠直觀明了地反映變量取值起來比較繁瑣，它是將實(shí)際問題抽象為邏輯問題ABY001010100110邏輯函數(shù)表達(dá)邏輯函數(shù)的表達(dá)式不是惟一的，可以有多種簡(jiǎn)潔、抽象，便YA邏輯與、或、非等運(yùn)算關(guān)系用相應(yīng)的邏輯符號(hào)表示出來，就是函數(shù)的邏輯圖。例如，異或邏輯關(guān)AB&Y&AB&Y&異或邏輯關(guān)系異或邏輯關(guān)系的波形波形圖的優(yōu)點(diǎn)直觀反波形圖的優(yōu)點(diǎn)直觀反映變量與時(shí)間的關(guān)系和函數(shù)值變化的規(guī)律，它與實(shí)際電路中的5.5.同一邏輯函數(shù)可以用幾種不同的方式來同一邏輯函數(shù)可以用幾種不同的方式來表示，這幾種表示方法之間必然可以相互轉(zhuǎn)換。8.2.4基本定律和規(guī)與普通代數(shù)相似,邏輯代數(shù)中的運(yùn)算也遵循一定的定律和規(guī)律，下面我們介紹邏輯代數(shù)的基本定律和幾條常用的規(guī)則，熟悉這些內(nèi)容，對(duì)數(shù)字電路的分析和設(shè)8.2.4基本定律和規(guī)邏輯函數(shù)的相

ABCYY0000000111010000111110000101111101111111基本定0-10-1A0A1A1A0AAAA1與運(yùn)算00011011011101111非非運(yùn)算：1 0AAAAB

B

A交換律A

B

B

如證明

B)C

A

C)

B)C

A

C)A

C)

AB

AAB AB

(A

(AC)AB0000010AB0000010010001111反演律（摩根定律）

AB

A邏輯代數(shù)的三條規(guī)邏輯代數(shù)有3個(gè)重要的規(guī)則：代入規(guī)則、反演規(guī)代入規(guī)在任何一個(gè)邏輯等式中，如果以某個(gè)邏輯變量或邏輯B去代替等式中的B，則新的等式仍成立。

ABA

(AC)BACBAB反演規(guī)如果將邏輯函數(shù)表達(dá)式Y(jié)中的“·為變?yōu)椤?”；原變量變?yōu)榉醋兞?，反變量變?yōu)樵兞?，那么新得到的邏輯函?shù)表達(dá)式就是函數(shù)Y的反D方便地求ABABCDEAB)(CDEDYABCDEYABC

Y(AB)(CDEYABCD使用反演規(guī)則時(shí)，應(yīng)注意以下兩點(diǎn)要先括號(hào)，接著與，然后或，最后非。不屬于單個(gè)變量上的非號(hào)要?？谠E：“長(zhǎng)非、短非互換，與、或互換反反演律（摩根定律.BAABA若將邏輯函數(shù)Y中的“·”變?yōu)椤埃?，“＋”變?yōu)椤啊ぁ?；?”變?yōu)椤?”，“1”變?yōu)椤?”；而變量保持不變，那么得到的新邏輯函數(shù)表達(dá)式稱為函數(shù)Y的對(duì)偶式，用Y表示，也可以說和互為對(duì)偶式。對(duì)偶規(guī)則的內(nèi)容是：如果兩個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式相等，它們的對(duì)偶式也YABYABCD

Y(AB)(CDYABCD數(shù)也相等。利用對(duì)偶規(guī)則,可以使要證明及要的公式數(shù)目減少ABABA(BC)AB

(AB)(AB)ABC(AB)(AC)8.2.5邏8.2.5邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形同的表達(dá)方式，它們之間能互相

AB

(A

B)(

C)與非-與非表達(dá)式：Y

AB

AB

A

AB8.2.6邏輯函數(shù)的化在邏輯電路設(shè)計(jì)中，對(duì)邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)具有十分重要的意義。邏輯函數(shù)表達(dá)式越簡(jiǎn)單，實(shí)現(xiàn)該函數(shù)所用的邏輯元件就越少，電路的可靠性就越高。一般情況下，都將邏輯函數(shù)化為最簡(jiǎn)與或表達(dá)式（8.2.6邏輯函數(shù)的化1YYABEABACACEBCBCDABACAB方方法2:在真值表中尋找輸出原變量,列出與或表達(dá)式2、最簡(jiǎn)與非-與非YYABACABACAB 3、最簡(jiǎn)或與表達(dá) 方法方法2:在真值表中尋找輸出反變量,列出與或表達(dá)式再利用反演律轉(zhuǎn)化為或與表達(dá)YABYABAC(AB)(AC)YABAC(AB)(AC)ABACBCABY(AB)(AC4、最簡(jiǎn)或非-或非YAB

(A

B)(

C

(A

B)(

C)

AB

A

５、最簡(jiǎn)與或非表達(dá)

面去②的掉用非大摩號(hào)非根YYABACABACAB公式化簡(jiǎn)(1)并項(xiàng)利用公式Ａ＋Ａ＝1Y1Y1ABCABCBC(AA)BCBCBCB(CC)

變并相和包量成同反含的一時(shí)變同若因項(xiàng)，量一兩。并這而因乘消兩其子積Y2ABCAB

ABC

C

去項(xiàng)他的項(xiàng)ABC

A(BCBC)

互可因原中為以子變分

反合都量別(2)吸收（１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，Y1ABABCD(EF)AB

Y2Y2ABCDADBABCDAD(AAD)(BBCD)A

是另項(xiàng)是多外的另余一因外如的個(gè)子一果。乘，個(gè)乘積則乘積項(xiàng)這積項(xiàng)YABACYABACBCAB(ABABABYABCACDBCDABCC(AB)DABC(AB)DABCABDABC的則個(gè)。這乘(3)配項(xiàng) YYABBCBCABABBC(AA)BCAB(CCABBCABCABCABCABCAB(1C)BC(1A)AC(BABBCAC（２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，YYABCABCABC(ABCABC)(ABCABC)(ABCABC)ABAC(4)消項(xiàng)利用冗余律AB(ACCDADEABACCDYY2ABBCAC(DEABBCYY(BD)(BDAG)(CE)(CG)(AE解：①先求出Y的對(duì)偶函數(shù)Y＇，并對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)YYBDBDAGCECGBDCECG②求Y＇的對(duì)偶函數(shù)，便得Ｙ的最簡(jiǎn)或與表達(dá)式Y(jié)(BD)(CE)(C公公式法的小可遵循，有時(shí)要靈活、綜合、甚至重復(fù)地使用某些公式，才能將函數(shù)化為最簡(jiǎn)的形式。能否盡快地將函數(shù)化為最簡(jiǎn)形式，取決于對(duì)公式的熟練程適適用范圍：多變量的邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)（5個(gè)以上卡諾圖化簡(jiǎn)在應(yīng)用公式法對(duì)邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，不僅要求對(duì)公式能熟練應(yīng)用，而且要判斷最后結(jié)果是否最簡(jiǎn)，遇到較復(fù)雜的邏輯函數(shù)時(shí)，此方法有一定難度。下面介紹的卡諾圖化簡(jiǎn)法，只要掌握了其要領(lǐng)，化簡(jiǎn)邏ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、mm0ABC、m1ABC、m2ABC、m3m4ABC、m5ABC、m6ABC、m73

部最小值 值

YAA(B

B

C)

(A

ABCABC

ABCABC

ABCABC

ABCABC

ABC

ABCY0000ABCY00000011010101111000101111001110m2＝ABCm3＝ABCY

ABC

ABC

ABC

ABC

求Y的與或表達(dá)

求Y的或與表達(dá)

鄰兩個(gè)變最量小的項(xiàng)最與小它項(xiàng)相圖 二變量的卡諾相同，又稱為邏輯相鄰項(xiàng)）相最小3鄰小項(xiàng)變項(xiàng)有量3

圖 三變量的卡諾它個(gè)最項(xiàng)最最也右左是列列相的的鄰相最的應(yīng)小最項(xiàng)小與

每個(gè)4變量的最小項(xiàng)有44m10m14m11m15m13m12ABCABCAB(CC)BCDABCDACD卡諾圖形象、直觀地反映了最小項(xiàng)之間的邏輯相鄰關(guān)系，但變量增多時(shí)，卡諾圖會(huì)變得更為復(fù)雜。當(dāng)變量的個(gè)數(shù)在5個(gè)或5個(gè)以上時(shí)，就不能僅用二的幾何相鄰來代表其邏輯相鄰，故邏輯函數(shù)的卡諾圖表0100100011110100100011110110m m6

01000100100000011或變或變表換達(dá)為式與Y(AD)(BCYADBC用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函1化簡(jiǎn)依任何兩個(gè)（21個(gè)）標(biāo)1并消去一個(gè)變量（消去互為反變量的因子，保留公因子）

ABC

ABCABCABC0100000100010100

BCABCD

ABDABCD

ABDABAB01ABCABCABCABC(ABABABABABCABCABCABC(ACACACAC)B11110110010100111101100100C10010110011010010110100110010110ＢＢ化到成包個(gè)簡(jiǎn)的的含才邏邏圈的能小輯輯越最合結(jié)函表大小并：的式消數(shù)一鄰基就去目項(xiàng)最原簡(jiǎn)變多并項(xiàng)理單量，消的這就由1就越這2是多些3為用從小個(gè)2須卡而項(xiàng)諾所所圖得形\\\\ＤＤ00001111111100001001100110011001卡諾0011011011110000Y(A,B,C,11112200100110112200100110111010103的將乘代積表項(xiàng)每相個(gè)加圈同目不畫須能方在為 漏

2i個(gè)個(gè)個(gè)何否圈。圈一則內(nèi)中個(gè)它，同標(biāo)標(biāo)就但一合合并最小3最簡(jiǎn)與或表達(dá)Y(A,B,C,D)BDCDAC3最簡(jiǎn)與或表達(dá)①在有些情況下，最小項(xiàng)的圈法不只一種，得到10001100011011101000110001101110特別要注意特別要注意最左與最右列、最上與最下列相鄰000000②在有些情況下，不同圈法得到的與或表達(dá)00000011011100011101101110001110小用卡諾圖化簡(jiǎn)時(shí)，為了保證結(jié)果的最簡(jiǎn)化和正確性，在選取可合并的最小項(xiàng)即畫包圍圈時(shí)，應(yīng)遵循以下幾個(gè)每個(gè)包圍圈只能包含2n個(gè)填1的小方格，而且必包圍圈個(gè)數(shù)越少越好。因個(gè)數(shù)越少，乘積項(xiàng)就越圍圈中至少應(yīng)有一個(gè)最小項(xiàng)是單獨(dú)屬于自己的，以保證具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化邏輯函數(shù)中的無關(guān)的變量取值所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)稱為隨意項(xiàng)，也叫做無關(guān)項(xiàng)ABCYABCY00011001000010000011101×不會(huì)出0010101×不會(huì)出0101110×不會(huì)出0100110×不會(huì)出0111111×不會(huì)出0110111×不會(huì)出11×100×000××11××Y(A,B,C,D)0的條件等式表示。F(A,B,C,D)m(0,2,4,6,8)d10011100110011001由于無關(guān)項(xiàng)要么不在邏輯函數(shù)中出現(xiàn)，要么出現(xiàn)時(shí)取值是1還是為0對(duì)邏輯函數(shù)的結(jié)果沒有影響，因此對(duì)具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)時(shí)，無關(guān)項(xiàng)既可取0，也可取1，具體地講，如果無關(guān)項(xiàng)對(duì)化簡(jiǎn)有利，則取1；如果隨意項(xiàng)對(duì)化簡(jiǎn)不利，則取0。YADACDY3、變量互相排斥的邏輯函數(shù)的化 ABCY00000ABCY000000110101011×1001101×110×111×C01011×××1×YABYA111卡諾圖化簡(jiǎn)的小邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)有公式法和圖形法等。公式法是利用邏輯代數(shù)的公式、定理和規(guī)則來