高二數(shù)學(xué)：專(zhuān)題4-1 數(shù)列的概念（B卷提升篇）【解析版】

專(zhuān)題4.1數(shù)列的概念（B卷提升篇）（人教A版第二冊(cè),浙江專(zhuān)用）參考答案與試題解析第Ⅰ卷（選擇題）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．（2019·陜西省商丹高新學(xué)校期末（文））若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（）A．27 B．21 C．15 D．13【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，故選：A.2．（2019·黑龍江哈師大青岡實(shí)驗(yàn)中學(xué)開(kāi)學(xué)考試）在數(shù)列中，，（，），則A． B． C．2 D．6【答案】D【解析】，（，），，，則.3.（2019·綏德中學(xué)高二月考）數(shù)列的通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和為，則A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)三角函數(shù)的周期性可，同理得，可知周期為4，．4．（2020·四川涼山·期末（文））德國(guó)數(shù)學(xué)家科拉茨1937年提出了一個(gè)著名的猜想：任給一個(gè)正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半（即）；如果是奇數(shù)，則將它乘3加1（即），不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限步后，一定可以得到1．猜想的數(shù)列形式為：為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列中必存在值為1的項(xiàng)．若，則的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以，，，，，故選：B5．（2020·云南其他（理））數(shù)學(xué)上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指對(duì)于任意一個(gè)正整數(shù)，如果是奇數(shù)，則乘3加1．如果是偶數(shù)，則除以2，得到的結(jié)果再按照上述規(guī)則重復(fù)處理，最終總能夠得到1．對(duì)任意正整數(shù)，記按照上述規(guī)則實(shí)施第次運(yùn)算的結(jié)果為，則使的所有可能取值的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】由題意知，，由，得，，或．①當(dāng)時(shí)，，，或，或．②若，則，或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，或，綜上，滿足條件的的值共有6個(gè)．故選：D．6．（2020·貴州威寧·）觀察數(shù)列21，，，24，，，27，，，…，則該數(shù)列的第20項(xiàng)等于（）A．230 B．20 C． D．【答案】C【解析】觀察數(shù)列得出規(guī)律，數(shù)列中的項(xiàng)中，指數(shù)、真數(shù)、弧度數(shù)是按正整數(shù)順序排列，且指數(shù)、對(duì)數(shù)、余弦值以3為循環(huán)，，可得第20項(xiàng)為.故選：C.7．（2020·邵東縣第一中學(xué)月考）已知數(shù)列滿足：，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，an＝f(n)＝，n∈N*，要使{an}是遞增數(shù)列，必有，據(jù)此有：，綜上可得2<a<3.本題選擇D選項(xiàng).8．（2020·河北新華·石家莊新世紀(jì)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為（），若為單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知得，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，所以有，即恒成立，所以，所以只需，即，所以，故選：A.9．（2020·邵東縣第一中學(xué)期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則數(shù)列的最小項(xiàng)為（）A．第3項(xiàng) B．第4項(xiàng) C．第5項(xiàng) D．第6項(xiàng)【答案】A【解析】∵,∴,則,即,∴.易知,∵,當(dāng)時(shí),,∴當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,又,∴當(dāng)時(shí),有最小值.故選：A10．（2020·浙江其他）已知數(shù)列滿足，，，則（）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】C【解析】因?yàn)?，所以遞增，從而，當(dāng)時(shí)，，所以，排除A.當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以，所以，從而，故?故選：C.第Ⅱ卷（非選擇題）二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．（2020·上海市七寶中學(xué)期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則________.【答案】【解析】由得，所以數(shù)列以為周期，又，，所以.故答案為：.12.（2020·云南昆明·高二期末（理））數(shù)列中，已知，，若，則數(shù)列的前6項(xiàng)和為_(kāi)_____．【答案】32【解析】∵數(shù)列中，，，，∴，，，，，，解得，∴數(shù)列的前6項(xiàng)和為：，故答案為：32.13．（2020·潛江市文昌高級(jí)中學(xué)期末）觀察下列數(shù)表：設(shè)1025是該表第m行的第n個(gè)數(shù)，則______.【答案】12【解析】根據(jù)上面數(shù)表的數(shù)的排列規(guī)律，1、3、5、7、9、…都是連續(xù)奇數(shù)，第一行1個(gè)數(shù)；第二行個(gè)數(shù)，且第一個(gè)數(shù)是；第三行個(gè)數(shù)，且第一個(gè)數(shù)是；第四行個(gè)數(shù)，且第一個(gè)數(shù)是；…第10行有個(gè)數(shù)，且第一個(gè)數(shù)是，第二個(gè)數(shù)是1025，所以1025是該表第10行的第2個(gè)數(shù)，所以，，則故答案為：12.14．（2018·浙江溫州·高一期中）已知數(shù)列對(duì)任意的滿足，且，則_______，_______.【答案】【解析】由題意，根據(jù)條件得，則，而，所以，…，由此可知，從而問(wèn)題可得解.15．（2020·浙江省高一期末）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，則_________；_________.【答案】；【解析】（1）

當(dāng)時(shí)，，解得.

（2）當(dāng)時(shí)，令可得，，即，

令可得，,

解得：，

則.16．（2020·安徽省六安一中高三其他（文））已知在數(shù)列中，且，設(shè)，，則________，數(shù)列前n項(xiàng)和________．【答案】【解析】，為常數(shù)列，，，適合上式．∴，，，∴．故答案為：；．17．（2020·湖南開(kāi)?！ぶ苣现袑W(xué)二模（理））已知數(shù)列{}對(duì)任意的n∈N*，都有∈N*，且=①當(dāng)=8時(shí)，_______②若存在m∈N*，當(dāng)n>m且為奇數(shù)時(shí)，恒為常數(shù)P，則P=_______【答案】【解析】，則故從第二項(xiàng)開(kāi)始形成周期為的數(shù)列，故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，故若為奇數(shù)，則，故，不滿足；若為偶數(shù)，則，直到為奇數(shù)，即故，當(dāng)時(shí)滿足條件，此時(shí)，即故答案為：①；②三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．（2017·山東省單縣第五中學(xué)高二月考（文））數(shù)列的通項(xiàng)，試問(wèn)該數(shù)列有沒(méi)有最大項(xiàng)？若有，求出最大項(xiàng)；若沒(méi)有，說(shuō)明理由.【答案】最大項(xiàng)為【解析】設(shè)是該數(shù)列的最大項(xiàng)，則∴解得∵，∴，∴最大項(xiàng)為點(diǎn)睛：求數(shù)列最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的方法（1）可以利用不等式組找到數(shù)列的最大項(xiàng)；利用不等式找到數(shù)列的最小項(xiàng)．（2）從函數(shù)的角度認(rèn)識(shí)數(shù)列，注意數(shù)列的函數(shù)特征，利用函數(shù)的方法研究數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)．19．（2020·黑龍江龍鳳·大慶四中月考（文））數(shù)列滿足：，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的最小正整數(shù).【答案】（1）；（2）10.【解析】（1）∵．n=1時(shí)，可得a1＝4，n≥2時(shí)，．與．兩式相減可得＝（2n﹣1）+1=2n，∴．n=1時(shí)，也滿足，∴.（2）=∴Sn，又，可得n>9，可得最小正整數(shù)n為10．20．（2020·上海市七寶中學(xué)期中）數(shù)列滿足，且，.規(guī)定的通項(xiàng)公式只能用的形式表示.（1）求的值；（2）證明3為數(shù)列的一個(gè)周期，并用正整數(shù)表示；（3）求的通項(xiàng)公式.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析；.（3）【解析】（1）當(dāng)a1＝1，a2＝2，a1a2a3＝a1+a2+a3，解得a3＝3；（2）當(dāng)n＝2時(shí)，6a4＝2+3+a4，解得a4＝1，當(dāng)n＝3時(shí)，3a5＝1+3+a5，解得a5＝2，…，可得an+3＝an，當(dāng)a1＝1，a2＝2，a3＝3；故3為數(shù)列{an}的一個(gè)周期，則＝3，k∈N*，則；（3）由（2）可得an＝Asin（n+φ）+c，則1＝Asin（+φ）+c，2＝﹣Asin（+φ）+c，3＝Asinφ+c，即1＝A?cosφ﹣A?sinφ+c，①2＝﹣A?cosφ﹣A?sinφ+c，②由①+②，可得3＝﹣Asinφ+2c，∴c＝2，Asinφ＝1，①﹣②，可得﹣1＝A?cosφ，則tanφ＝﹣，∵|φ|＜，∴φ＝﹣，∴A＝﹣，故．21．（2020·湖北宜昌·其他（文））數(shù)列中，，.（1）求，的值；（2）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，，中的一個(gè)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為，若，求的取值范圍．【答案】（1），（2），且是正整數(shù)【解析】（1）∵，∴∴（2）由數(shù)列的通項(xiàng)公式是，，中的一個(gè)，和得數(shù)列的通項(xiàng)公式是由可得∴∴∵，∴即由，得，解得或∵是正整數(shù)，∴所求的取值范圍為，且是正整數(shù)22．（2020·上海市七寶中學(xué)期末）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列可以是無(wú)窮數(shù)列，也可以是有窮數(shù)列，如取時(shí)，可得無(wú)窮數(shù)列：1，2，，，...；取時(shí)，可得有窮數(shù)列：，，0.（1）若，求的值；（2）若對(duì)任意，恒成立.求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)數(shù)列滿足，，求證：取數(shù)列中的任何一個(gè)數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列.【答案】（1）