高中立體幾何模擬試題(附答案解析)

..高中立體幾何模擬題一．選擇題〔共9小題1．在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P〔x,y,z,下列敘述中正確的個(gè)數(shù)是〔①點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P1〔x,﹣y,z；②點(diǎn)P關(guān)于yOz平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P2〔x,﹣y,﹣z；③點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P3〔x,﹣y,z；④點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是P4〔﹣x,﹣y,﹣z．A．3 B．2 C．1 D．02．空間四邊形ABCD中,若向量=〔﹣3,5,2,=〔﹣7,﹣1,﹣4點(diǎn)E,F分別為線段BC,AD的中點(diǎn),則的坐標(biāo)為〔A．〔2,3,3 B．〔﹣2,﹣3,﹣3 C．〔5,﹣2,1 D．〔﹣5,2,﹣13．設(shè)平面α的一個(gè)法向量為,平面β的一個(gè)法向量為,若α∥β,則k=〔A．2 B．﹣4 C．﹣2 D．44．已知=〔3,﹣2,﹣3,=〔﹣1,x﹣1,1,且與的夾角為鈍角,則x的取值范圍是〔A．〔﹣2,+∞ B．〔﹣2,∪〔,+∞ C．〔﹣∞,﹣2 D．〔,+∞5．若=〔1,λ,2,=〔2,﹣1,1,與的夾角為60°,則λ的值為〔A．17或﹣1 B．﹣17或1 C．﹣1 D．16．設(shè)平面α內(nèi)兩個(gè)向量的坐標(biāo)分別為〔1,2,1、〔﹣1,1,2,則下列向量中是平面的法向量的是〔A．〔﹣1,﹣2,5 B．〔﹣1,1,﹣1 C．〔1,1,1 D．〔1,﹣1,﹣17．若=〔1,﹣2,2是平面α的一個(gè)法向量,則下列向量能作為平面α法向量的是〔A．〔1,﹣2,0 B．〔0,﹣2,2 C．〔2,﹣4,4 D．〔2,4,48．如圖,在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為〔A． B． C． D．9．如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=1,AC=2,BC=,D,E分別是AC1和BB1的中點(diǎn),則直線DE與平面BB1C1C所成的角為〔A． B． C． D．二．填空題〔共3小題10．設(shè)平面α的一個(gè)法向量為=〔1,2,﹣2,平面β的一個(gè)法向量為=〔﹣2,﹣4,k,若α∥β,則k=．11．在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A〔1,0,2,B〔1,﹣3,1,點(diǎn)M在y軸上,且M到A與到B的距離相等,則M的坐標(biāo)是．12．如圖所示,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,點(diǎn)E、F分別是棱AB、BB1的中點(diǎn),則直線EF和BC1的夾角是．三．解答題〔共18小題13．如圖,四邊形ABCD為矩形,四邊形ADEF為梯形,AD∥FE,∠AFE=60°,且平面ABCD⊥平面ADEF,AF=FE=AB==2,點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)．〔Ⅰ求證：EG∥平面ABF；〔Ⅱ求三棱錐B﹣AEG的體積；〔Ⅲ試判斷平面BAE與平面DCE是否垂直？若垂直,請(qǐng)證明；若不垂直,請(qǐng)說明理由．14．如圖,已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D是BC的中點(diǎn)．〔1求證：平面AB1D⊥平面B1BCC1；〔2求證：A1C∥平面AB1D．15．如圖,在△ABC中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把是BC上的△ABD折起,使∠BDC=90°．〔Ⅰ證明：平面ADB⊥平面BDC；〔Ⅱ設(shè)BD=1,求三棱錐D﹣ABC的表面積．16．三棱錐S﹣ABC中,SA⊥AB,SA⊥AC,AC⊥BC且AC=2,BC=,SB=．〔1證明：SC⊥BC；〔2求三棱錐的體積VS﹣ABC．17．如圖,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中點(diǎn)．求證：〔1PA∥平面BDE；〔2BD⊥平面PAC．18．如圖,在四棱錐V﹣ABCD中底面ABCD是正方形,側(cè)面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD〔1證明：AB⊥平面VAD；〔2求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值．19．如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn),AB=1,PA=2．〔Ⅰ證明：直線CE∥平面PAB；〔Ⅱ求三棱錐E﹣PAC的體積．20．如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,BD交AC于點(diǎn)E,F是線段PC中點(diǎn),G為線段EC中點(diǎn)．〔Ⅰ求證：FG∥平面PBD；〔Ⅱ求證：BD⊥FG．21．如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,AC⊥AB,AC=AA1=1,AB=2,P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)．〔I求證：CA1⊥C1P；〔II若四面體P﹣AB1C1的體積為,求二面角C1﹣PB1﹣A1的余弦值．22．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1,AA1=2,點(diǎn)E為CC1中點(diǎn),點(diǎn)F為BD1中點(diǎn)．〔1證明EF為BD1與CC1的公垂線；〔2求點(diǎn)D1到面BDE的距離．23．如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,PA=AD=AB=2BC,M,N分別為PC,PB的中點(diǎn)．〔Ⅰ求證：PB⊥DM；〔Ⅱ求CD與平面ADMN所成的角的正弦值．24．在如圖所示的多面體中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC．BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G為BC的中點(diǎn)．〔1求證：AB∥平面DEG；〔2求證：BD⊥EG；〔3求二面角C﹣DF﹣E的正弦值．25．如圖,在四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,側(cè)棱SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA=AB=BC=2,AD=1．M是棱SB的中點(diǎn)．〔Ⅰ求證：AM∥面SCD；〔Ⅱ求面SCD與面SAB所成二面角的余弦值；〔Ⅲ設(shè)點(diǎn)N是直線CD上的動(dòng)點(diǎn),MN與面SAB所成的角為θ,求sinθ的最大值．26．如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=2,AC=AA1=2,∠ABC=．〔1證明：AB⊥A1C；〔2求二面角A﹣A1C﹣B的正弦值．27．如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,Q為AD的中點(diǎn)．〔1若PA=PD,求證：平面PQB⊥平面PAD；〔2點(diǎn)M在線段PC上,PM=tPC,試確定t的值,使PA∥平面MQB；〔3在〔2的條件下,若平面PAD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2,求二面角M﹣BQ﹣C的大小．28．如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)面AA1B1B為正方形,側(cè)面BB1C1C為菱形,∠CBB1=60°,AB⊥B1C．〔I求證：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；〔II求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．29．在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC與BD的交點(diǎn)M恰好是AC中點(diǎn),又PA=AB=4,∠CDA=120°,點(diǎn)N在線段PB上,且PN=．〔Ⅰ求證：BD⊥PC；〔Ⅱ求證：MN∥平面PDC；〔Ⅲ求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．30．如圖,平面ABCD⊥平面PAD,△APD是直角三角形,∠APD=90°,四邊形ABCD是直角梯形,其中BC∥AD,∠BAD=90°,AD=2BC,且AB=BC=PD=2,O是AD的中點(diǎn),E,F分別是PC,OD的中點(diǎn)．〔Ⅰ求證：EF∥平面PBO；〔Ⅱ求二面角A﹣PF﹣E的正切值．2017年03月25日1879804507的高中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．選擇題〔共9小題1．〔2016春?XX期末在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P〔x,y,z,下列敘述中正確的個(gè)數(shù)是〔①點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P1〔x,﹣y,z；②點(diǎn)P關(guān)于yOz平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P2〔x,﹣y,﹣z；③點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P3〔x,﹣y,z；④點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是P4〔﹣x,﹣y,﹣z．A．3 B．2 C．1 D．0[解答]解：P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P1〔x,﹣y,﹣z；關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)為P2〔﹣x,y,z；關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P3〔﹣x,y,﹣z；點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是P4〔﹣x,﹣y,﹣z．故①②③錯(cuò)誤．故選C．2．〔2015秋?XX校級(jí)期末空間四邊形ABCD中,若向量=〔﹣3,5,2,=〔﹣7,﹣1,﹣4點(diǎn)E,F分別為線段BC,AD的中點(diǎn),則的坐標(biāo)為〔A．〔2,3,3 B．〔﹣2,﹣3,﹣3 C．〔5,﹣2,1 D．〔﹣5,2,﹣1[解答]解：∵點(diǎn)E,F分別為線段BC,AD的中點(diǎn),∴=,,=．∴=﹣==[〔3,﹣5,﹣2+〔﹣7,﹣1,﹣4]==〔﹣2,﹣3,﹣3．故選：B．3．〔2015?鄒城市校級(jí)模擬設(shè)平面α的一個(gè)法向量為,平面β的一個(gè)法向量為,若α∥β,則k=〔A．2 B．﹣4 C．﹣2 D．4[解答]解：平面α的一個(gè)法向量為,平面β的一個(gè)法向量為,∵α∥β,由題意可得,∴k=4．故選：D．4．〔2014秋?越城區(qū)校級(jí)期末已知=〔3,﹣2,﹣3,=〔﹣1,x﹣1,1,且與的夾角為鈍角,則x的取值范圍是〔A．〔﹣2,+∞ B．〔﹣2,∪〔,+∞ C．〔﹣∞,﹣2 D．〔,+∞[解答]解：∵與的夾角為鈍角,∴cos＜,＞＜0．且與不共線∴?＜0．且〔3,﹣2,﹣3≠λ〔﹣1,x﹣1,1∴﹣3﹣2〔x﹣1﹣3＜0．且x≠∴x的取值范圍是〔﹣2,∪〔,+∞．故選B．5．〔2014秋?從化市校級(jí)期末若=〔1,λ,2,=〔2,﹣1,1,與的夾角為60°,則λ的值為〔A．17或﹣1 B．﹣17或1 C．﹣1 D．1[解答]解：∵,,,cos60°=．∴,化為λ2+16λ﹣17=0,解得λ=﹣17或1．故選B．6．〔2015春?XX校級(jí)期中設(shè)平面α內(nèi)兩個(gè)向量的坐標(biāo)分別為〔1,2,1、〔﹣1,1,2,則下列向量中是平面的法向量的是〔A．〔﹣1,﹣2,5 B．〔﹣1,1,﹣1 C．〔1,1,1 D．〔1,﹣1,﹣1[解答]解：∵〔﹣1,1,﹣1?〔1,2,1=﹣1+2﹣1=0,〔﹣1,1,﹣1?〔﹣1,1,2=1+1﹣2=0,∴向量〔﹣1,1﹣1是此平面的法向量．故選B．7．〔2016秋?興慶區(qū)校級(jí)期末若=〔1,﹣2,2是平面α的一個(gè)法向量,則下列向量能作為平面α法向量的是〔A．〔1,﹣2,0 B．〔0,﹣2,2 C．〔2,﹣4,4 D．〔2,4,4[解答]解：∵〔2,﹣4,4=2〔1,﹣2,2,∴向量〔2,﹣4,4與平面α的一個(gè)法向量平行,它也是此平面的法向量．故選C．8．〔2015?株洲一模如圖,在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為〔A． B． C． D．[解答]解：以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA、DC、DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系〔圖略,則A〔2,0,0,B〔2,2,0,C〔0,2,0,C1〔0,2,1∴=〔﹣2,0,1,=〔﹣2,2,0,且為平面BB1D1D的一個(gè)法向量．∴cos＜,＞═=．∴BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為故答案為D．9．〔2015?廣西模擬如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=1,AC=2,BC=,D,E分別是AC1和BB1的中點(diǎn),則直線DE與平面BB1C1C所成的角為〔A． B． C． D．[解答]解：取AC的中點(diǎn)為F,連接BF、DF．因?yàn)樵谥比庵鵄BC﹣A1B1C1中,CC1∥BB1,又因?yàn)镈F是三角形ACC1的中位線,故DF=CC1=BB1=BE,故四邊形BEDF是平行四邊形,所以ED∥BF．過點(diǎn)F作FG垂直與BC交BC與點(diǎn)G,由題意得∠FBG即為所求的角．因?yàn)锳B=1,AC=2,BC=,所以∠ABC=,∠BCA=,直角三角形斜邊中線BF是斜邊AC的一半,故BF=AC=CF,所以∠FBG=∠BCA=．故選A．二．填空題〔共3小題10．〔2016秋?碑林區(qū)校級(jí)期末設(shè)平面α的一個(gè)法向量為=〔1,2,﹣2,平面β的一個(gè)法向量為=〔﹣2,﹣4,k,若α∥β,則k=4．[解答]解：∵α∥β,∴∥,∴存在實(shí)數(shù)λ使得．∴,解得k=4．故答案為：4．11．〔2009?XX在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A〔1,0,2,B〔1,﹣3,1,點(diǎn)M在y軸上,且M到A與到B的距離相等,則M的坐標(biāo)是〔0,﹣1,0．[解答]解：設(shè)M〔0,y,0由12+y2+4=1+〔y+32+1可得y=﹣1故M〔0,﹣1,0故答案為：〔0,﹣1,0．12．〔2016秋?XX期末如圖所示,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,點(diǎn)E、F分別是棱AB、BB1的中點(diǎn),則直線EF和BC1的夾角是．[解答]解：如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系．由于AB=BC=AA1,不妨取AB=2,則E〔0,1,0,F〔0,0,1,C1〔2,0,2．∴=〔0,﹣1,1,=〔2,0,2．∴===．∴異面直線EF和BC1的夾角為．故答案為：．三．解答題〔共18小題13．〔2015?XX校級(jí)模擬如圖,四邊形ABCD為矩形,四邊形ADEF為梯形,AD∥FE,∠AFE=60°,且平面ABCD⊥平面ADEF,AF=FE=AB==2,點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)．〔Ⅰ求證：EG∥平面ABF；〔Ⅱ求三棱錐B﹣AEG的體積；〔Ⅲ試判斷平面BAE與平面DCE是否垂直？若垂直,請(qǐng)證明；若不垂直,請(qǐng)說明理由．[解答]〔I證明：取AB中點(diǎn)M,連FM,GM．∵G為對(duì)角線AC的中點(diǎn),∴GM∥AD,且GM=AD,又∵FE∥AD,∴GM∥FE且GM=FE．∴四邊形GMFE為平行四邊形,即EG∥FM．又∵EG?平面ABF,FM?平面ABF,∴EG∥平面ABF．…〔4分〔Ⅱ解：作EN⊥AD,垂足為N,由平面ABCD⊥平面AFED,面ABCD∩面AFED=AD,得EN⊥平面ABCD,即EN為三棱錐E﹣ABG的高．∵在△AEF中,AF=FE,∠AFE=60°,∴△AEF是正三角形．∴∠AEF=60°,由EF∥AD知∠EAD=60°,∴EN=AE?sin60°=．∴三棱錐B﹣AEG的體積為．…〔8分〔Ⅲ解：平面BAE⊥平面DCE．證明如下：∵四邊形ABCD為矩形,且平面ABCD⊥平面AFED,∴CD⊥平面AFED,∴CD⊥AE．∵四邊形AFED為梯形,FE∥AD,且∠AFE=60°,∴∠FAD=120°．又在△AED中,EA=2,AD=4,∠EAD=60°,由余弦定理,得ED=．∴EA2+ED2=AD2,∴ED⊥AE．又∵ED∩CD=D,∴AE⊥平面DCE,又AE?面BAE,∴平面BAE⊥平面DCE．…〔12分14．〔2014?XX模擬如圖,已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D是BC的中點(diǎn)．〔1求證：平面AB1D⊥平面B1BCC1；〔2求證：A1C∥平面AB1D．[解答]證明：〔1因?yàn)锽1B⊥平面ABC,AD?平面ABC,所以AD⊥B1B〔2分因?yàn)镈為正△ABC中BC的中點(diǎn),所以AD⊥BD〔2分又B1B∩BC=B,所以AD⊥平面B1BCC1〔4分又AD?平面AB1D,故平面AB1D⊥平面B1BCC1〔6分〔2連接A1B,交AB1于E,連DE〔7分因?yàn)辄c(diǎn)E為矩形A1ABB1對(duì)角線的交點(diǎn),所以E為AB1的中點(diǎn)〔8分又D為BC的中點(diǎn),所以DE為△A1BC的中位線,所以DE∥A1C〔10分又DE?平面AB1D,所以A1C∥平面AB1D〔12分15．〔2011?XX如圖,在△ABC中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把是BC上的△ABD折起,使∠BDC=90°．〔Ⅰ證明：平面ADB⊥平面BDC；〔Ⅱ設(shè)BD=1,求三棱錐D﹣ABC的表面積．[解答]解：〔Ⅰ∵折起前AD是BC邊上的高,∴當(dāng)△ABD折起后,AD⊥DC,AD⊥DB,又DB∩DC=D,∴AD⊥平面BDC,∵AD?平面ABD．∴平面ADB⊥平面BDC〔Ⅱ由〔Ⅰ知,DA⊥DB,DB⊥DC,DC⊥DA,∵DB=DA=DC=1,∴AB=BC=CA=,從而所以三棱錐D﹣ABC的表面積為：16．〔2016?徐匯區(qū)一模三棱錐S﹣ABC中,SA⊥AB,SA⊥AC,AC⊥BC且AC=2,BC=,SB=．〔1證明：SC⊥BC；〔2求三棱錐的體積VS﹣ABC．[解答]解：〔1∵SA⊥ABSA⊥ACAB∩AC=A∴SA⊥平面ABC,∴AC為SC在平面ABC內(nèi)的射影,又∵BC⊥AC,由三垂線定理得：SC⊥BC〔2在△ABC中,AC⊥BC,AC=2,BC=,∴AB==,∵SA⊥AB,∴△SAB為Rt△,SB=,∴SA==2,∵SA⊥平面ABC,∴SA為棱錐的高,∴VS﹣ABC=××AC×BC×SA=×2××=．17．〔2016秋?XX期末如圖,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中點(diǎn)．求證：〔1PA∥平面BDE；〔2BD⊥平面PAC．[解答]證明〔1連接OE,在△CAP中,CO=OA,CE=EP,∴PA∥EO,又∵PA?平面BDE,EO?平面BDE,∴PA∥平面BDE．〔2∵PO⊥底面ABCD,BD?平面ABCD,∴BD⊥PO又∵四邊形ABCD是正方形,∴BD⊥AC∵AC∩PO=O,AC,PO?平面PAC∴BD⊥平面PAC18．〔2014?嘉定區(qū)校級(jí)二模如圖,在四棱錐V﹣ABCD中底面ABCD是正方形,側(cè)面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD〔1證明：AB⊥平面VAD；〔2求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值．[解答]證明：〔1平面VAD⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB?平面ABCD,平面VAD∩平面ABCD=AD,∴AB⊥面VAD〔2取VD中點(diǎn)E,連接AE,BE,∵△VAD是正三角形,∴∵AB⊥面VAD,AE,VD?平面VAD∴AB⊥VD,AB⊥AE∴AE⊥VD,AB⊥VD,AB∩AE=A,且AB,AE?平面ABE,DVD⊥平面ABE,∵BE?平面ABE,∴BE⊥VD,∴∠AEB即為所求的二面角的平面角．在RT△ABE中,,cos∠AEB=19．〔2012?XX模擬如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn),AB=1,PA=2．〔Ⅰ證明：直線CE∥平面PAB；〔Ⅱ求三棱錐E﹣PAC的體積．[解答]解：〔1取AD中點(diǎn)F,連接EF、CF∴△PAD中,EF是中位線,可得EF∥PA∵EF?平面PAB,PA?平面PAB,∴EF∥平面PAB∵Rt△ABC中,AB=1,∠BAC=60°,∴AC==2又∵Rt△ACD中,∠CAD=60°,∴AD=4,結(jié)合F為AD中點(diǎn),得△ACF是等邊三角形∴∠ACF=∠BAC=60°,可得CF∥AB∵CF?平面PAB,AB?平面PAB,∴CF∥平面PAB∵EF、CF是平面CEF內(nèi)的相交直線,∴平面CEF∥平面PAB∵CE?面CEF,∴CE∥平面PAB〔2∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,∴PA⊥CD又∵AC⊥CD,PA、AC是平面PAC內(nèi)的相交直線∴CD⊥平面PAC∵CD?平面DPC,∴平面DPC⊥平面PAC過E點(diǎn)作EH⊥PC于H,由面面垂直的性質(zhì)定理,得EH⊥平面PAC∴EH∥CDRt△ACD中,AC=2,AD=4,∠ACD=90°,所以CD==2∵E是CD中點(diǎn),EH∥CD,∴EH=CD=∵PA⊥AC,∴SRt△PAC==2因此,三棱錐E﹣PAC的體積V=S△PAC×EH=20．〔2016春?XX校級(jí)月考如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,BD交AC于點(diǎn)E,F是線段PC中點(diǎn),G為線段EC中點(diǎn)．〔Ⅰ求證：FG∥平面PBD；〔Ⅱ求證：BD⊥FG．[解答]證明：〔Ⅰ連接PE,G、F為EC和PC的中點(diǎn),∴FG∥PE,FG?平面PBD,PE?平面PBD,∴FG∥平面PBD…〔6分〔Ⅱ∵菱形ABCD,∴BD⊥AC,又PA⊥面ABCD,BD?平面ABCD,∴BD⊥PA,∵PA?平面PAC,AC?平面PAC,且PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,FG?平面PAC,∴BD⊥FG…〔14分21．〔2009?XX二模如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,AC⊥AB,AC=AA1=1,AB=2,P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)．〔I求證：CA1⊥C1P；〔II若四面體P﹣AB1C1的體積為,求二面角C1﹣PB1﹣A1的余弦值．[解答]〔I證明：連接AC1,∵側(cè)棱AA1⊥底面ABC,∴AA1⊥AB,又∵AB⊥AC．∴AB⊥平面A1ACC1．又∵CA1?平面A1ACC1,∴AB⊥CA1．〔2分∵AC=AA1=1,∴四邊形A1ACC1為正方形,∴AC1⊥CA1．∵AC1∩AB=A,∴CA1⊥平面AC1B．〔4分又C1P?平面AC1B,∴CA1⊥C1P．〔6分〔II解：∵AC⊥AB,AA1⊥AC,且C1A1⊥平面ABB1A,BB1⊥AB,由,知=,解得PA=1,P是AB的中點(diǎn)．〔8分連接A1P,則PB1⊥A1P,∵C1A1⊥平面A1B1BA,∴PB1⊥C1A1,∴PB1⊥C1P,∴∠C1PA1是二面角的平面角,〔10分在直角三角形C1PA1中,,∴,即二面角的余弦值是22．〔2003?天津已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1,AA1=2,點(diǎn)E為CC1中點(diǎn),點(diǎn)F為BD1中點(diǎn)．〔1證明EF為BD1與CC1的公垂線；〔2求點(diǎn)D1到面BDE的距離．[解答]解：〔1取BD中點(diǎn)M．連接MC,FM．∵F為BD1中點(diǎn),∴FM∥D1D且FM=D1D．又ECCC1且EC⊥MC,∴四邊形EFMC是矩形∴EF⊥CC1．又FM⊥面DBD1．∴EF⊥面DBD1．∵BD1?面DBD1．∴EF⊥BD1．故EF為BD1與CC1的公垂線．〔Ⅱ解：連接ED1,有VE﹣DBD1=VD1﹣DBE．由〔Ⅰ知EF⊥面DBD1,設(shè)點(diǎn)D1到面BDE的距離為d．則．∵AA1=2,AB=1．∴,,∴．∴故點(diǎn)D1到平面DBE的距離為．23．〔2013?XX三模如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,PA=AD=AB=2BC,M,N分別為PC,PB的中點(diǎn)．〔Ⅰ求證：PB⊥DM；〔Ⅱ求CD與平面ADMN所成的角的正弦值．[解答]〔本題滿分13分解：〔Ⅰ解法1：∵N是PB的中點(diǎn),PA=AB,∴AN⊥PB．∵PA⊥平面ABCD,所以AD⊥PA．又AD⊥AB,PA∩AB=A,∴AD⊥平面PAB,AD⊥PB．又AD∩AN=A,∴PB⊥平面ADMN．∵DM?平面ADMN,∴PB⊥DM．…〔6分解法2：如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz,設(shè)BC=1,可得,A〔0,0,0,P〔0,0,2,B〔2,0,0,C〔2,1,0,,D〔0,2,0．因?yàn)?所以PB⊥DM．…〔6分〔Ⅱ解法1：取AD中點(diǎn)Q,連接BQ和NQ,則BQ∥DC,又PB⊥平面ADMN,∴CD與平面ADMN所成的角為∠BQN．設(shè)BC=1,在Rt△BQN中,則,,故．所以CD與平面ADMN所成的角的正弦值為．…〔13分解法2：因?yàn)椋訮B⊥AD,又PB⊥DM,所以PB⊥平面ADMN,因此的余角即是CD與平面ADMN所成的角．因?yàn)椋訡D與平面ADMN所成的角的正弦值為．…〔13分24．〔2014?XX二模在如圖所示的多面體中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC．BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G為BC的中點(diǎn)．〔1求證：AB∥平面DEG；〔2求證：BD⊥EG；〔3求二面角C﹣DF﹣E的正弦值．[解答]〔1證明：∵AD∥EF,EF∥BC,∴AD∥BC,∵BC=2AD,G為BC的中點(diǎn),∴AD∥BG,且AD=BG,∴四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥DG因?yàn)锳B不在平面DEG中,DG在平面DEG內(nèi),∴AB∥平面DEG．〔2證明：∵EF⊥平面AEB,AE?平面AEB,BE?平面AEB,∴EF⊥AE,EF⊥BE,∵AE⊥EB,∴EB、EF、EA兩兩垂直．以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn),EB、EF、EA所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,由已知得：A〔0,0,2,B〔2,0,0,C〔2,4,0,D〔0,2,2,F〔0,3,0,G〔2,2,0．∵,∴∴BD⊥EG．〔3解：由已知得是平面EFDA的法向量,設(shè)平面DCF的法向量為∵,∴,令z=1,得x=﹣1,y=2,即．設(shè)二面角C﹣DF﹣E的大小為θ,則,∴∴二面角C﹣DF﹣E的正弦值為．25．〔2015?XX模擬如圖,在四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,側(cè)棱SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA=AB=BC=2,AD=1．M是棱SB的中點(diǎn)．〔Ⅰ求證：AM∥面SCD；〔Ⅱ求面SCD與面SAB所成二面角的余弦值；〔Ⅲ設(shè)點(diǎn)N是直線CD上的動(dòng)點(diǎn),MN與面SAB所成的角為θ,求sinθ的最大值．[解答]解：〔Ⅰ以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A〔0,0,0,B〔0,2,0,D〔1,0,0,,S〔0,0,2,M〔0,1,1．則,,．設(shè)平面SCD的法向量是,則,即令z=1,則x=2,y=﹣1．于是．∵,∴．又∵AM?平面SCD,∴AM∥平面SCD．〔Ⅱ易知平面SAB的法向量為．設(shè)平面SCD與平面SAB所成的二面角為α,則==,即．∴平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值為．〔Ⅲ設(shè)N〔x,2x﹣2,0,則．∴===．當(dāng),即時(shí),．26．〔2011?瓊海一模如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=2,AC=AA1=2,∠ABC=．〔1證明：AB⊥A1C；〔2求二面角A﹣A1C﹣B的正弦值．[解答]解：〔1證明：在△ABC中,由正弦定理可求得∴AB⊥AC以A為原點(diǎn),分別以AB、AC、AA1為x、y、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖則A〔0,0,0B〔2,0,0即AB⊥A1C．〔2由〔1知設(shè)二面角A﹣A1C﹣B的平面角為α,=∴27．〔2012?日照二模如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,Q為AD的中點(diǎn)．〔1若PA=PD,求證：平面PQB⊥平面PAD；〔2點(diǎn)M在線段PC上,PM=tPC,試確定t的值,使PA∥平面MQB；〔3在〔2的條件下,若平面PAD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2,求二面角M﹣BQ﹣C的大?。甗解答]〔1證明：連BD,∵四邊形ABCD菱形,∠BAD=60°,∴△ABD為正三角形,∵Q為AD中點(diǎn),∴AD⊥BQ∵PA=PD,Q為AD的中點(diǎn),∴AD⊥PQ又BQ∩PQ=Q,∴AD⊥平面PQB,AD?平面PAD∴平面PQB⊥平面PAD；〔2當(dāng)t=時(shí),使得PA∥平面MQB,連AC交BQ于N,交BD于O,連接MN,則O為BD的中點(diǎn),又∵BQ為△ABD邊AD上中線,∴N為正三角形ABD的中心,令菱形ABCD的邊長為a,則AN=a,AC=a．∴PA∥平面MQB,PA?平面PAC,平面PAC∩平面MQB=MN∴PA∥MN∴==即：PM=PC,t=；〔3由PA=PD=AD=2,Q為AD的中點(diǎn),則PQ⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,所以PQ⊥平面ABCD,以Q為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以QA、QB、QP所在的直線為x,y,z軸,建立如圖所示的坐標(biāo)系,則各點(diǎn)坐標(biāo)為A〔1,0,0,B〔0,,0,Q〔0,0,0,P〔0,0,設(shè)平面MQB的法向量為,可得,而PA∥MN,∴,∴y=0,x=∴取平面ABCD的法向量∴cos=∴二面角M﹣BQ﹣C的大小為60°．28．〔2015?玉山縣校級(jí)模擬如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)面AA1B1B為正方形,側(cè)面BB1C1C為菱形,∠CBB1=60°,AB⊥B1C．〔I求證：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；〔II求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．[解答]證明：〔Ⅰ由側(cè)面AA1B1B為正方形,知AB⊥BB1．又AB⊥B1C,BB1∩B1C=B1,∴AB⊥平面BB1C1C,又AB?平面AA1B1B,∴平面AA1B1B⊥BB1C1C．〔Ⅱ由題意,CB=CB1,設(shè)O是BB1的中點(diǎn),連接CO,則CO⊥B