高斯公式和斯托克斯公式

關于高斯公式和斯托克斯公式第1頁，共29頁，2022年，5月20日，18點8分，星期六定理22.3

設空間閉區(qū)域V

由分片光滑的

在V

上有連續(xù)的一階偏導數(shù),則有

閉曲面S

所圍成,S

的方向取外側,函數(shù)P,Q,R

一、高斯公式首頁×第2頁，共29頁，2022年，5月20日，18點8分，星期六下面先證:證明設為XY型區(qū)域,則首頁×第3頁，共29頁，2022年，5月20日，18點8分，星期六首頁×第4頁，共29頁，2022年，5月20日，18點8分，星期六所以若

不是XY–型區(qū)域,則可引進輔助面將其分割成若干個XY–型區(qū)域,

故上式仍成立.正反兩側面積分正負抵消,在輔助面類似可證三式相加,即得所證Gauss公式：首頁×第5頁，共29頁，2022年，5月20日，18點8分，星期六例1計算其中S

是由x=y=z=0,x=y=z=a

六個平面所圍的正立方體表面并取外側為正向.解首頁×第6頁，共29頁，2022年，5月20日，18點8分，星期六例計算所圍的空間區(qū)域的表面，方向取外側.解其中S

為錐面與平面首頁×第7頁，共29頁，2022年，5月20日，18點8分，星期六設S1

為上半球體的底面，例計算的外側.解其中S

是上半球面取下側.于是首頁×第8頁，共29頁，2022年，5月20日，18點8分，星期六斯托克斯公式建立了沿曲面S

的曲面積分與沿S

的邊界曲線L

的曲線積分之間的聯(lián)系.對曲面S

的側與其邊界曲線L

的方向作如下規(guī)定：設人站在曲面S

上的指定一側，沿邊界曲線L

行走，指定的側總在人的左方，則人前進的方向為邊界曲線

L

的正向.這個規(guī)定方法也稱為右手法則.首頁×第9頁，共29頁，2022年，5月20日，18點8分，星期六定理22.4

設光滑曲面S

的邊界L

是按段光滑曲線,同L

）上具有連續(xù)一階偏導數(shù)，則有

S

的側與L

的正向符合右手法則,

在

S

（連首頁×第10頁，共29頁，2022年，5月20日，18點8分，星期六注意:

則斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.如果S

是xoy

坐標平面上的一塊平面區(qū)域,首頁×第11頁，共29頁，2022年，5月20日，18點8分，星期六為便于記憶,斯托克斯公式還可寫作:或用第一類曲面積分表示:首頁×第12頁，共29頁，2022年，5月20日，18點8分，星期六證情形1

與平行z軸的直線只交于一點,設其方程為為確定起見,不妨設取上側(如圖).則(利用格林公式)首頁×第13頁，共29頁，2022年，5月20日，18點8分，星期六首頁×第14頁，共29頁，2022年，5月20日，18點8分，星期六因此同理可證三式相加,即得斯托克斯公式;首頁×第15頁，共29頁，2022年，5月20日，18點8分，星期六情形2

曲面與平行z軸的直線交點多于一個,則可通過作輔助線面把分成與z軸只交于一點的幾部分,在每一部分上應用斯托克斯公式,然后相加,由于沿輔助曲線方向相反的兩個曲線積分相加剛好抵消,所以對這類曲面斯托克斯公式仍成立.證畢首頁×第16頁，共29頁，2022年，5月20日，18點8分，星期六例2

利用斯托克斯公式計算積分

其中

L

為平面x+y+z=1與各坐標面的交線，解取逆時針方向為正向如圖所示.記三角形ABC為S,取上側,則首頁×第17頁，共29頁，2022年，5月20日，18點8分，星期六首頁×第18頁，共29頁，2022年，5月20日，18點8分，星期六例

利用斯托克斯公式計算積分

其中

L

為y2+z2

=1,x=y

所交的橢圓正向.解記以L

為邊界的橢圓面為S,其方向按右手法則確定，于是有首頁×第19頁，共29頁，2022年，5月20日，18點8分，星期六首頁×第20頁，共29頁，2022年，5月20日，18點8分，星期六例

為柱面

與平面y=z

的交線,從

z

軸正向看為順時針,計算解

設為平面z=y

上被

所圍橢圓域,

且取下側,利用斯托克斯公式得則其法線方向余弦首頁×第21頁，共29頁，2022年，5月20日，18點8分，星期六空間曲線積分與路徑無關的條件定理22.5

設Ω

是空間單連通區(qū)域,函數(shù)P,Q,R

在Ω上具有連續(xù)一階偏導數(shù),則下列四個條件相互等價:(1)對Ω

內任一按段光滑閉曲線L,有(2)對Ω

內任一按段光滑曲線L,與路徑無關首頁×第22頁，共29頁，2022年，5月20日，18點8分，星期六(4)在Ω

內處處有(3)在Ω

內存在某一函數(shù)u,使首頁×第23頁，共29頁，2022年，5月20日，18點8分，星期六與路徑無關,并求函數(shù)解

令

積分與路徑無關,因此例3

驗證曲線積分首頁×第24頁，共29頁，2022年，5月20日，18點8分，星期六內容小結1.高斯公式首頁×第25頁，共29頁，2022年，5月20日，18點8分，星期六2.斯托克斯公式首頁×第26頁，共29頁，2022年，5月20日，18點8分，星期六例計算其中S

為球面在第一卦限部分

例設S

與上例相同，取球面外側，分別計算下列積分

首頁×第27頁，共29頁，2022年，5月20日，18點8分，星期六德國數(shù)學家、天文學家和物理學家,是與阿基米德,牛頓并列的偉大數(shù)學家,他的數(shù)學成就遍及各個領域,在數(shù)論、級數(shù)、復變函數(shù)及橢圓函數(shù)論等方面均有一系列開創(chuàng)性的貢獻,他還十分重視數(shù)學的應用,地測量學和磁學的研究中發(fā)明和發(fā)展了最小二乘法、曲面論和位勢論等.他在學術上十分謹慎,原則