北京市大興區(qū)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高三上期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：2B2．作答2B一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1．某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對2019年這一年的收支情況，下列說法中錯誤的是（ ）A．月收入的極差為60 B．7月份的利潤最大C．這12個月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D．這一年的總利潤超過400萬元2．已知aR,bR，則直線ax2y10與直線(a1)x2ay10垂直是“a3”的( )C．充要條件

必要不充分條件D下列說法正確的是（ ）a1，則a1”的否命題是a1，則a21”在ABC中，AB是sinAsinB成立的必要不充分條件C．“tan1，則4

”是真命題D．存在x0

(,0)，使得2x

3x成立00上世紀(jì)末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）骨笛（圖，充分展示了我國古代高超的音律藝術(shù)及先進(jìn)的數(shù)2為骨笛測量春（秋）夏（冬）3是某骨笛的部分測量數(shù)據(jù)（骨笛的彎曲忽略不計，夏至（或冬至）日光（當(dāng)日正午太陽光線）與春秋分日光（陽光線）.00由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續(xù)減小，其正切值及對應(yīng)的年代如下表：黃赤交角正切值年代

23410.439公元元年

23570.4442000年

24130.4504000年

24280.4556000年

24440.461公元前8000年根據(jù)以上信息，通過計算黃赤交角，可估計該骨笛的大致年代( )A．公元前2000年到公元元年C60004000年

B．公元前4000年到公元前2000年D．早于公元前6000年設(shè)iz

2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位( )1 i第一象限

第二象限

第三象限 D．第四象限已知底面為邊長為2的正方形，側(cè)棱長為1ABCDABCDPABC

上的動點(diǎn).給出11 1 1 1 1 1 1以下四個結(jié)論中，正確的個數(shù)是（ ）①與點(diǎn)D距離為3的點(diǎn)P形成一條曲線，則該曲線的長度是；2DP//

DPACC

6 所成角的正切值取值范圍是 , 2 ； 1 11

3 DPA．0

3，則DP在該四棱柱六個面上的正投影長度之和的最大值為6 2.B．1 C．2 D．3ll⊥m，l⊥nl,l,則（）α∥β且l∥ααβ相交，且交線垂直于l

B．α⊥β且l⊥βD．α與β相交，且交線平行于l在等差數(shù)列

a

5，aaa

9，若b

3（n

，則數(shù)列

的最大值是（ ）

n 2 5

6 7 n a nn13D．3已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中三視圖的長、寬、高分別為2，a，b，且2ab此三棱錐外接球表面積的最小值為（ ）

5a0,b0，則2A．174

B．214

C．D．已知是第二象限的角，tan()3，則sin( )4A．12 B．12 C．2425 25 25

D．2425如圖是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體的體積為（ ）53

B．2 C．52

D．3y

5log

|x1|3

圖象的是（ ）x1A． B． C．D．a(chǎn)( a( 已知平面向量a，b的夾角為 ,3

，且|ab| 3，則|b|= 若奇函數(shù)fx滿足fx2fxgx為RxR都有g(shù)gx2x21，當(dāng)x時，fxgx，則f12 .2xOy中，A，BxO）yAB為直徑的圓與圓x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒為定值，則線段OP的長為 ．已知拋物線C:y2

4xP為拋物線CPMx3)2y2

4B，則線段AB長度的取值范圍.7017（12分）設(shè)不等式2x1x20的解集為，a,bM證明：

a1b1；136 413比較14ab與2ab的大小，并說明理.18（12分）已知f(x)x3ax2bxa2(a1)的圖象在x1處的切線方程為y0.ab的值；f(x)c在區(qū)間[4,1]上有兩個不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)c的值.19（12分）已知函數(shù)f(x)12x2a6alnx.xa的取值范圍；fxxx1 2

，且fx1

fx2

26e，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（e是自然對數(shù)的底數(shù)）20（12分）數(shù)列an

滿足a1

2a2

3a3

n2na n2 na n2n求數(shù)列n

的通項(xiàng)公式；ab na

T 2設(shè)n

1an

n1

Tn為

n的前n項(xiàng)和，求證：n 3.21（12分ft東省2020考生的高考總成績將由3門統(tǒng)一高考科目成績和自主選擇的3750分其中，統(tǒng)一高考科目為語文、數(shù)學(xué)、外語，自主選擇的3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級考試科目是從物理、化學(xué)、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目，語、數(shù)、外三科各占150分，選考科目成績采用“賦分制”，即原始分?jǐn)?shù)不直接用，而是按照學(xué)生分?jǐn)?shù)在本科目考試的排名來劃分等級并以此打分得到最后得分.根據(jù)高考綜合改革方案，將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為、、、 、、 、 、

、、共8個等級參照正態(tài)分布原則確定各等級人數(shù)所占比例分別為 、、 、 、.等級考試科目成績計入考生總成績時，將至等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八個分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級成績.舉例說明.某同學(xué)化學(xué)學(xué)科原始分為65分，該學(xué)科 等級的原始分分布區(qū)間為58～69，則該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的原始成績屬 等級而 等級的轉(zhuǎn)換分區(qū)間為61～70，那么該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的轉(zhuǎn)換分為：設(shè)該同學(xué)化學(xué)科的轉(zhuǎn)換等級分為，

，求得 .四舍五入后該同學(xué)化學(xué)學(xué)科賦分成績?yōu)?7.某校高一年級共2000人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，對六個選考科目進(jìn)行測試，其中物理考試原始成基本服從正態(tài)分布 .若小明同學(xué)在這次考試中物理原始分為84分，等級為 ，其所在原始分分布區(qū)間為82～93，求小明轉(zhuǎn)換后的物理成績；求物理原始分在區(qū)間 的人數(shù)；44人中等級成績在區(qū)間列和數(shù)學(xué)期望.

的人數(shù)，求的分布（附：若隨機(jī)變量 ，則 ， ，）22（10分）PABCD，PA平面ABCD，底面ABCD為矩形，AB3,AP4，E為PD的AEPC.AD的長.MBCBM1MPDA的余弦值.參考答案125601、D【解析】直接根據(jù)折線圖依次判斷每個選項(xiàng)得到答案.【詳解】由圖可知月收入的極差為903060A正確；11220，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利潤最高，故選項(xiàng)B正確；3803030CD錯誤.D.【點(diǎn)睛】2、B【解析】由兩直線垂直求得則a0或a3.【詳解】由題意，“ax2y10與直線(a1)x2ay10垂直”a(a1)2(2a)0，解得a0a3，所以“直線ax2y10與直線(a1)x2ay10垂直”是“a3”的必要不充分條件，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線的位置關(guān)系，及必要不充分條件的判定，其中解答中利用兩直線的位置關(guān)系求得a的值，同時熟記充要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】A：否命題既否條件又否結(jié)論，故A錯B：由正弦定理和邊角關(guān)系可判斷B錯.C：可判斷其逆否命題的真假，C正確.D：根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷D錯.【詳解】解：A：“a1a1”若a1，則a21”，故A錯.在ABC 中，ABab2RsinA2RsinB故“AB是“sinAsinB成立的必要充分條件故B錯.C：“tan1，則4

”“若=，則tan=1”，故C正確.4：由冪函數(shù)yxn(n0)在遞減，故D錯.故選：C【點(diǎn)睛】考查判斷命題的真假，是基礎(chǔ)題.4、D【解析】先理解題意，然后根據(jù)題意建立平面幾何圖形，在利用三角函數(shù)的知識計算出冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，即可得到正確選項(xiàng)．【詳解】解：由題意，可設(shè)冬至日光與垂直線夾角為，春秋分日光與垂直線夾角為則即為冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，將圖3近似畫出如下平面幾何圖形：tan161.6tan169.40.66，10 10)

tantan

1.60.66

0.457．1tantan 11.60.660.4550.4570.461，估計該骨笛的大致年代早于公元前6000年．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)解決實(shí)際問題的能力，運(yùn)用了兩角和與差的正切公式，考查了轉(zhuǎn)化思想，數(shù)學(xué)建模思想，以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題．5、A【解析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡z，求得z對應(yīng)的坐標(biāo)，由此判斷對應(yīng)點(diǎn)所在象限.【詳解】

21iz21iiz21i

1

，對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為

，位于第一象限.A.【點(diǎn)睛】6、C【解析】D距離為

132的點(diǎn)P形成以D為圓心半徑為 的圓弧MN利用弧長公式可得結(jié)論當(dāng)P在A（或321 4 16C)時，DP與面ACCA所成角DAO（或DCO)的正切值為 最小，當(dāng)P在O時，DP與面ACC6

所成角1 11 1 1 3 1 11DOO的正切值為1

最大可得正切值取值范圍是[ , 2]設(shè)P(x則x2y213即x2y226326

2，可得DP在前后、左右、上下面上的正投影長，即可求出六個面上的正投影長度之和．【詳解】如圖：DP2DP2DD211221MN1222

23 123 1222

D距離為

PD313

為圓心半徑為 的4 4 2②正確，因?yàn)槊鍭DC

//

，所以點(diǎn)P必須在面對角線AC

上運(yùn)動，當(dāng)PA（或

）時，DP與面ACCA1 1 1 1 1 1 1 116所成角DAO（或DCO）的正切值為6

最?。∣為下底面面對角線的交點(diǎn)，當(dāng)P在O時，DP與面ACCA1 1 3

1 11 6 所成角DOO的正切值為2最大，所以正切值取值范圍是

, 2；1 3 ③正確，設(shè)Pxy,1，則x2y213，即x2y22DP在前后、左右、上下面上的正投影長分別為

y21，

y21x21 x21，x2y2

，所以六個面上的正投影長度之2

y21 x21 2 22

2 26 2， P在O1時取等號C.【點(diǎn)睛】7、D【解析】試題分析：由m平面，直線l滿足lm，且l，所以l/，又n，lnl，所以l//，由mn為異面直線，且m平面n//則推出m//n，與mn異面矛盾，所以,相交，且交線平行于lD．8、D【解析】在等差數(shù)列

中,利用已知可求得通項(xiàng)公式a

2n9,進(jìn)而b

3

3 fx

3函數(shù)的的單調(diào)性n n可知當(dāng)n5時,b.n

n a 2n9 2x9n【詳解】因?yàn)閍a a5 6

9，所以3a6

9，即a6

3，又a2

5，所以公差d2，所以an

2n9，即bn

，因32n 93為函數(shù)fxx4.5fx0x4.5fx0.所以數(shù)列2x9 n的最大值是b，且b33，所以數(shù)列

的最大值是3.5 5 1 n故選:D.【點(diǎn)睛】難度較易9、B【解析】根據(jù)三視圖得到幾何體為一三棱錐，并以該三棱錐構(gòu)造長方體，于是得到三棱錐的外接球即為長方體的外接球，進(jìn)而得到外接球的半徑，求得外接球的面積后可求出最小值．【詳解】由已知條件及三視圖得，此三棱錐的四個頂點(diǎn)位于長方體ABCDABC

的四個頂點(diǎn)，即為三棱錐ACBD，且ABCDABC

的長、寬、高分別為2,a,b，

1 1 1 1 1 11 1 1 1ABCDABC

的外接球，1 1 1 1R

22a2b2 4a2b2，2 2 4a2b22

21∴三棱錐外接球表面積為 4a2b2 a2 ， 2 4a1b121．2 4B．【點(diǎn)睛】過構(gòu)造長方體，通過長方體的外球球來研究三棱錐的外接球的問題．10、D【解析】利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cos2.【詳解】因?yàn)閠an()3,4由誘導(dǎo)公式可得tan

sin

3,即sin3cos,4因?yàn)閟in2cos2116

cos 4所以cos2 ,25由二倍角的正弦公式可得,3sin2sincos cos2,2所以sin3

24.故選:D【點(diǎn)睛】

2 25 25本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的正弦公式;考查運(yùn)算求解能力和知識的綜合運(yùn)用能力;屬于中檔題.11、A【解析】由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓柱，半球的半徑為1，圓柱的底面半徑為1，高為1．再由球與圓柱體積公式求解．【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓柱，半球的半徑為1，圓柱的底面半徑為1，高為1． 1 4 則幾何體的體積為V 13 121 ．2 3 3故選：A．【點(diǎn)睛】12、C【解析】y5log3|x|x1y

5log |x|3 為x x奇函數(shù)，即可得到函數(shù)圖象關(guān)于(1,0)、Dx0B，即可得解.【詳解】∵y

5log3|x1|的定義域?yàn)閤|x1，x1y

5log3|x|的圖象沿x軸向左平移1個單位而得到，x∵y

5log3

|x

為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴y

x5log3

|x1|

的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)成中心對稱.x1A、D項(xiàng).x0y故選：C【點(diǎn)睛】

5log |x1|3x13

0，∴B項(xiàng)不正確.本題考查函數(shù)的性質(zhì)與識圖能力，一般根據(jù)四個選擇項(xiàng)來判斷對應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)，即可排除三個不符的選項(xiàng)，屬于中檔題.452013、1【解析】a23 12a，再根據(jù)平面向量數(shù)量積定義求得aa23 12aa( ，則

2，平面向量ab

1，則由平面向量數(shù)量積定義可得ababcos 2b b，13 3 2根據(jù)平面向量模的求法可知

ab a2b

3，代入可得42bbb1，【點(diǎn)睛】

3，本題考查了平面向量模的求法及簡單應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.1413【解析】fx2fx可得fx是以4為周期的函數(shù)，令gx2x2kgx2x1，從而可得fxgx2x1f12flog3.2 2【詳解】令gx2x2k，則gxk2x2，由ggx2x21，則gk1，所以gkk

21，解得k1，gx2x1，xfxgx，xfx2x1；fx2fxfx4fx2fx，fx是以4為周期的函數(shù)，flog12flog3log4flog32flog32，2 2 2 2 2又函數(shù)fx為奇函數(shù)，所以flog2

12flog2

322log31.3故答案為：133【點(diǎn)睛】3本題主要考查了換元法求函數(shù)解析式、函數(shù)的奇偶性、周期性的應(yīng)用，屬于中檔題.15、3【解析】分析：設(shè)O（，圓O的半徑為（變量OP=（常數(shù)，利用差角的正切公式，結(jié)合以AB為直徑的圓與圓x2+2 2（y-2）2=1相外切．且∠APB的大小恒為定值，即可求出線段OP的長．詳解：設(shè)O（，，圓O的半徑為（變量，OP=（常數(shù)，則2 2ar artanOPA t ,tanOPB t ,arartanAPB

t t

2rt1a24r1,a2(r1)24,

a2r2 t2a2r2t2tanAPB

2rt t22r3 t232r∵∠APB的大小恒為定值，33∴t＝ ，∴|OP|= ．333故答案為3點(diǎn)睛：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查差角的正切公式，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題16、2 2,4【解析】12PMMB，易得MAPAMBPBPMAB，可得四邊形PAMB12

2PAMAPMPMABPAMA，2PAMAPM從而可得

AB

4 ，進(jìn)而求出PM 的取值范圍，可求得AB 的范圍.14PM2【詳解】14PM2PMMBMAPAMBPBPMABPAMB的面積為

1212PMAB，且四1212邊形PAMB的面積為三角形PAM 面積的兩倍，所以

PMABPAMA，所以2PAMAPM4 PM24PM12PAMAPM4 PM24PM14PM當(dāng)PM最小時，AB最小，設(shè)點(diǎn)P(x,y)，則PM (x3)2y2 x26x94x x22x9，x1

22，則ABmin

min

4142 2，8當(dāng)點(diǎn)P(x,y)的橫坐標(biāo)x時，PM，此時AB4，因?yàn)锳B隨著PM的增大而增大，所以AB的取值范圍為2 2,4故答案為：2 2,4.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查拋物線上的動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的求法，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析；(2)|14ab|2|ab|.【解析】|1-4ab|＞2|a-b|.試題解析：（Ⅰ）證明：記f(x)=|x-1|-|x+2|， 3， x2則f(x)=-2x1, 2x1，所以解得-1＜x＜1，故M=(-1,1). 3, x1.

2 2 2 2所以，|ab|1|a|+1|b|1×11×1=1.3 6 3 6 3 2 6 2 41 1（Ⅱ）由（Ⅰ）得0≤a2＜，0≤b2＜.4 4|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=4(a2-1)(b2-1)>0.所以，|1-4ab|＞2|a-b|.a218（） （）c 0或c4.9【解析】（1）求出f(x)，由f(1)0,f(1)0，建立a,b方程求解，即可求出結(jié)論；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，做出函數(shù)在[4,1]的圖象，即可求解.【詳解】（1）fx)3x2

6axb，由題意知 f(1)036ab f(1)0 1ba20a1 a2解得 （舍去）或 .3 9（2）當(dāng)a2,b9fx)3x2

12x93(x3)(x1)故方程f(x)0有根，根為x3或x1，xx(,3)3(3,1)1)f(x)+0-0+f(x)極大值極小值由表可見，當(dāng)x1時，f(x)有極小值0.f(x的減函數(shù)區(qū)間為(3,1)遞增區(qū)間為(3).因?yàn)閒(4)0,f(3)4,f(1)0,f(0)4，f(1)20.由數(shù)形結(jié)合可得c 0或c4.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，應(yīng)用函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵，意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計算能力，屬于中檔題.19（）4,（）e,.9 【解析】fxa的取值范圍；fx1

fx2

的值，再根據(jù)fx1

fx2

26ea的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)fx的定義域?yàn)槭?,，fx2

2x26ax2a，x2 x x2若fx有兩個極值點(diǎn)，則方程2x26ax2a0一定有兩個不等的正根，xx1

x1

x，236a216a0 4所以xx 3a0 解得a ，1 2 9xx a012此時fx

2xx1

xx2 ，x2當(dāng)0xx1

時，fx0，當(dāng)xxx1

時，fx0，當(dāng)xx2

時，fx0，xx1

是極小值點(diǎn)，a的取值范圍是4；99（2）由（1）知，xx1 2

，xx12

a，則fx1

fx2

12x1

2ax1

6alnx1

12x2

2ax2

6alnx，222

x

2ax1

x2

6alnxx，1 2 xx 1212223a2a3a6alna26alna，a由fx1

fx2

26e，得26alna26e，即alnae，galnaa

geelnee，99所以alnaegge，ga1lna1ln41ln

0，9 e所以ga在4,上為增函數(shù)， 9 9ggeae，a的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)和單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式，屬于難題.120（1）an

（2）證明見解析2n【解析】（1）Snan的關(guān)系即可求解.（2）利用裂項(xiàng)求和法即可求解.【詳解】（）當(dāng)n1時，

312 ；1 22n

na 2n22n1n

a 1當(dāng) ， n 2n

2n1

2n，可得n

2n， 1又∵當(dāng)n1時也成立，a ；n 2n1b 2n

2n1

2 1 1 1（2）n 1

1 n

n1

2n

，n1

2