2020高中數(shù)學 第一章 立體幾何初步 1.1.2.2 棱錐和棱臺練習（含解析）2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE10-學必求其心得，業(yè)必貴于專精第2課時棱錐和棱臺對應學生用書P5知識點一棱錐概念的理解1．給出下列幾個命題：①棱柱的側(cè)面都是平行四邊形;②棱錐的側(cè)面為三角形，且所有側(cè)面都有一個公共頂點；③多面體至少有四個面．其中,假命題的個數(shù)是(）A．0B．1C．2D．3答案A解析顯然命題①②均是真命題．對于命題③，顯然一個圖形要成為空間幾何體，則它至少需有四個頂點，因為三個頂點只圍成一個平面圖形是三角形，當有四個頂點時，易知它可圍成四個面，因而一個多面體至少應有四個面,而且這樣的面必是三角形，故命題③是真命題．2．能保證棱錐是正棱錐的是（）A．底面為正多邊形B．各側(cè)棱都相等C．側(cè)面與底面都是全等的正三角形D．各側(cè)面都是等腰三角形答案C解析由正棱錐的定義逐一判斷．知識點二棱臺及其相關(guān)概念3．下列三個命題,其中正確的有（）①用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺;②兩個底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面體是棱臺；③有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺．A．0個B．1個C．2個D．3個答案A解析利用棱臺的定義和特殊幾何體加以說明．①中的平面不一定平行于底面，故①錯誤．②③可用反例圖去檢驗，②③錯誤．知識點三棱錐中基本量的運算4．已知正三棱錐的底面周長為3,側(cè)棱長為2，則該三棱錐的高為________．答案eq\f(\r（33),3）解析由題意，可得側(cè)棱長為2，底面邊長為1，則底面正三角形外接圓的半徑為r＝eq\f（\r（3),3），所以正三棱錐的高為h＝eq\r(22－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（\r(3),3)）)2）＝eq\f(\r（33）,3)．知識點四棱臺中基本量的運算5．正三棱臺的上、下底面的邊長分別為3，6，高為1，求這個棱臺的側(cè)棱長和斜高．解如圖所示的正三棱臺ABC－A1B1C1，設上、下兩底面的中心分別是O1，O，連接O1O,則O1O為棱臺的高,O1O＝1．連接A1O1，AO并延長分別與B1C1和BC相交于點D1，D，由平面幾何的知識，得D1,D分別是B1C1和BC的中點，連接D1D，則D1D為棱臺的斜高，∵B1C1＝3，BC＝6，∴A1O1＝3×eq\f(\r(3）,2）×eq\f（2，3）＝eq\r(3),O1D1＝eq\f(\r（3）,2），AO＝6×eq\f(\r(3），2)×eq\f（2，3）＝2eq\r（3)，OD＝eq\r（3)．在直角梯形AOO1A1中,A1A＝eq\r(12＋2\r(3）－\r(3)2）＝2；在直角梯形DOO1D1中，D1D＝eq\r（12＋\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\r(3)－\f(\r（3),2））)2）＝eq\f(\r(7）,2）．故這個棱臺的側(cè)棱長為2，斜高為eq\f（\r(7）,2)．對應學生用書P5一、選擇題1．觀察如圖所示的四個幾何體,其中判斷不正確的是(）A．①是棱柱B．②不是棱錐C．③不是棱錐D．④是棱臺答案B解析結(jié)合棱柱、棱錐、棱臺的定義可知①是棱柱,②是棱錐，④是棱臺，③不是棱錐，故B錯誤．2．如圖所示，在三棱臺A′B′C′－ABC中，截去三棱錐A′－ABC，則剩余部分是()A．三棱錐B．四棱錐C．三棱柱D．四棱柱答案B解析剩余部分是四棱錐A′－BB′C′C,故選B．3．在四棱錐的四個側(cè)面中,直角三角形最多可有(）A．1個B．2個C．3個D．4個答案D解析在長方體ABCD－A1B1C1D1中,取四棱錐A1－ABCD，則此四棱錐的四個側(cè)面都是直角三角形．4．下列命題中，真命題的個數(shù)是()①棱柱被平面分成的兩部分可以都是棱柱；②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；③棱臺的相對側(cè)棱延長后交于一點．A．0B．1C．2D．3答案C解析棱柱被平行于底面的平面分成的兩部分都是棱柱,故①正確；在三棱錐P－ABC中，若有AB＝BC＝AC＝PA＝PB＝2，PC＝1，滿足底面ABC是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形，但它不是正三棱錐，故②錯誤；棱臺可以“還原”成棱錐，即側(cè)棱延長一定相交，故③正確．5．一個正四面體的各條棱長都是a，那么這個正四面體的高是(）A．eq\f（\r（3）,3）aB．eq\f（\r（6），3)aC．eq\f（\r(2），2)aD．eq\f(a,2)答案B解析正四面體底面外接圓的半徑為eq\f（\r(3),3)a，故正四面體的高是h＝eq\r（a2－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\r（3），3)a）)2)＝eq\f(\r（6),3)a．二、填空題6．下列命題中正確的是________．(1)棱柱的底面一定是平行四邊形;(2）棱錐的底面一定是三角形;(3）棱錐被平面分成的兩部分不可能都是棱錐；（4)棱柱被平面分成的兩部分可以都是棱柱．答案（4)解析根據(jù)棱柱、棱錐的性質(zhì)及截面性質(zhì)判斷．7．棱臺的上、下底面面積分別為9cm2，16cm2，則它的中截面面積為________(注：中截面特指經(jīng)過高的中點且平行于底面的幾何體的截面）．答案eq\f（49，4）cm2解析設棱臺上、下底面面積分別為S1，S2,中截面面積為S0．由上下底面、中截面的相似性及梯形中位線定理可知2eq\r(S0）＝eq\r（S1)＋eq\r（S2）,從而S0＝eq\f（\r(S1）＋\r(S2)，2）2＝eq\f(49，4）cm2．8．在側(cè)棱長為2eq\r(3）的正三棱錐P－ABC中，∠APB＝40°，E，F(xiàn)分別是PB,PC上的點,過點A，E，F(xiàn)作截面AEF，則△AEF周長的最小值是________．答案6解析將正三棱錐的三個側(cè)面展開．如圖．則當E，F(xiàn)為AA1與PB，PC交點時，△AEF的周長最小,最小值為2AP·cos30°＝2×2eq\r（3）×eq\f(\r(3）,2）＝6．三、解答題9．如圖，正六棱錐的底面周長為24,H是BC的中點,∠SHO＝60°．求：（1)棱錐的高；（2）斜高;(3）側(cè)棱長．解∵正六棱錐的底面周長為24，∴正六棱錐的底面邊長為4．在正六棱錐S－ABCDEF中，∵H是BC的中點，∴SH⊥BC．(1)在Rt△SOH中，OH＝eq\f（\r(3)，2）BC＝2eq\r(3)，∵∠SHO＝60°，∴高SO＝OH·tan60°＝6．（2)在Rt△SOH中，斜高SH＝2OH＝4eq\r（3)．（3)如圖，連接OB，在Rt△SOB中，SO＝6,OB＝BC＝4，∴側(cè)棱長SB＝eq\r(SO2＋OB2)＝2eq\r（13）．10．正三棱臺A′B′C′－ABC上底面面積為4,下底面面積為64，上底面中心為O′，下底面中心為O，過O′O的三等分點分別作平行于底面的截面,求各截面面積．解將棱臺A′B′C′－ABC還原為棱錐S－ABC,則有eq\f（S△A′B′C′，S△ABC)＝eq\f（4,6