2020高中數(shù)學 第一章 立體幾何初步 7.1 簡單幾何體的側(cè)面積學案 2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE12學必求其心得，業(yè)必貴于專精7.1簡單幾何體的側(cè)面積[學習目標］1.通過幾何體的側(cè)面的展開過程，感知幾何體的形狀．2。通過對柱、錐、臺體的研究，會用公式求柱、錐、臺體的側(cè)面積和表面積．3.會區(qū)別側(cè)棱、高、斜高等概念，熟悉臺體與柱體和錐體之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系.【主干自填】1．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式幾何體側(cè)面展開圖的形狀側(cè)面積公式圓柱矩形S圓柱側(cè)＝eq\o(□,\s\up3(01））2πrl圓錐扇形S圓錐側(cè)＝eq\o(□，\s\up3（02））πrl圓臺扇環(huán)S圓臺側(cè)＝eq\o（□，\s\up3（03)）π（r1＋r2）l其中r為底面半徑,l為側(cè)面母線長，r1，r2分別為圓臺的上、下底面半徑．2．直棱柱、正棱錐、正棱臺的側(cè)面積幾何體側(cè)面積公式直棱柱S直棱柱側(cè)＝eq\o（□,\s\up3(04)）ch正棱錐S正棱錐側(cè)＝eq\o（□，\s\up3（05）)eq\f(1,2)ch′正棱臺S正棱臺側(cè)＝eq\o（□,\s\up3（06）)eq\f(1,2）（c＋c′）h′其中c′，c分別表示上、下底面周長，h表示高,h′表示斜高．【即時小測】1．思考下列問題(1)圓柱的側(cè)面展開圖是什么圖形？如果圓柱的底面半徑為r，母線長為l，那么圓柱的側(cè)面積公式是什么？提示：圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，S圓柱側(cè)＝2πrl.(2)圓錐的側(cè)面展開圖是什么圖形？如果圓錐的底面半徑為r，母線長為l，那么圓錐的側(cè)面積公式是什么？提示：如下圖,圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，扇形的面積即為圓錐的側(cè)面積，所以S圓錐側(cè)＝eq\f(1,2)×2πr×l＝πrl.(3）正棱錐的側(cè)面展開圖如下圖，設(shè)正棱錐底面周長為c，斜高為h′，如何求正棱錐的側(cè)面積？提示：正棱錐的側(cè)面積就是展開圖中各個等腰三角形面積之和,不難得到S正棱錐側(cè)＝eq\f（1，2)ch′。2．已知正四棱錐底面邊長為6，側(cè)棱長為5，則此棱錐的側(cè)面積為（）A．6B．12C．24D．48提示：D正四棱錐的斜高h′＝eq\r（52－32)＝4，S側(cè)＝4×eq\f(1,2）×6×4＝48。3．矩形的邊長分別為1和2,分別以這兩邊為軸旋轉(zhuǎn)，所形成的幾何體的側(cè)面積之比為(）A．1∶2B．1∶1C．1∶4D．4∶1提示：B以邊長為1的邊為軸旋轉(zhuǎn)得到的圓柱的側(cè)面積S1＝2π×2×1＝4π，以邊長為2的邊為軸旋轉(zhuǎn)得到的圓柱的側(cè)面積S2＝2π×1×2＝4π,∴S1∶S2＝4π∶4π＝1∶1.4．圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為R的半圓，則圓錐的高是________．提示：eq\f(\r（3），2)R設(shè)底面半徑是r，則2πr＝πR，∴r＝eq\f（R，2）,∴圓錐的高h＝eq\r(R2－r2）＝eq\f（\r(3），2）R.例1圓錐的高和底面半徑相等,它的一個內(nèi)接圓柱的高和圓柱底面半徑也相等．求圓柱的表面積和圓錐的表面積之比．［解]如圖，設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑分別為r、R，圓錐母線長為l，則有eq\f（r，R)＝eq\f(R－r,R)，即eq\f(r，R)＝eq\f(1，2）.∴R＝2r，l＝eq\r(2）R.∴eq\f(S圓柱表，S圓錐表)＝eq\f(2πr2＋2πr2，πR·\r（2）R＋πR2)＝eq\f（4πr2,4\r(2）πr2＋4πr2)＝eq\f（4πr2，4\r（2）＋1πr2）＝eq\f（1，\r（2）＋1)＝eq\r（2）－1.類題通法在解與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的問題時,經(jīng)常需要畫出其軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。eq\a\vs4\al(［變式訓練1])圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為6π和4π的矩形，則圓柱的全面積為()A．6π(4π＋3）B．8π（3π＋1)C．6π（4π＋3）或8π(3π＋1)D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2）答案C解析圓柱的側(cè)面積S側(cè)＝6π×4π＝24π2.①以邊長為6π的邊為軸時,4π為圓柱底面周長，則2πr＝4π,即r＝2，∴S底＝4π，S全＝S側(cè)＋2S底＝24π2＋8π＝8π(3π＋1）．②以邊長為4π的邊為軸時，6π為圓柱底面周長，則2πr＝6π，即r＝3,∴S底＝9π，∴S全＝S側(cè)＋2S底＝24π2＋18π＝6π(4π＋3）.例2正三棱錐S－ABC的側(cè)面積是底面積的2倍,它的高SO＝3，求此正三棱錐的表面積．［解]設(shè)正三棱錐底面邊長為a，斜高為h′，如圖所示，過O作OE⊥AB，連接SE，則SE⊥AB，且SE＝h′.因為S側(cè)＝2S底，所以eq\f（1,2）×3a×h′＝eq\f（\r（3)，4）a2×2。所以a＝eq\r（3)h′。因為SO⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2。所以32＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（\r(3），6）×\r（3)h′)）2＝h′2。所以h′＝2eq\r（3)。所以a＝eq\r（3)h′＝6。所以S底＝eq\f(\r（3），4）a2＝eq\f（\r(3），4）×62＝9eq\r（3）.所以S側(cè)＝2S底＝18eq\r(3）.則S表＝S側(cè)＋S底＝27eq\r（3）。類題通法1正棱錐和正棱臺的側(cè)面分別是等腰三角形和等腰梯形,只要弄清相對應(yīng)的元素求解很簡單.2多面體的表面積等于各側(cè)面與底面的面積之和，對正棱錐中的計算問題往往要構(gòu)造直角三角形求解，對正棱臺則需要構(gòu)造直角梯形或等腰梯形求解。eq\a\vs4\al([變式訓練2］）五棱臺的上、下底面均是正五邊形，邊長分別是8cm和18cm，側(cè)面是全等的等腰梯形，側(cè)棱長是13cm,求它的側(cè)面積．解如圖是五棱臺的其中一個側(cè)面,它是一個上底、下底分別為8cm和18cm,腰長為13cm的等腰梯形，由點A向BC作垂線,設(shè)垂足為E,由點D向BC作垂線，設(shè)垂足為F,易知BE＝CF。∵BE＋EF＋FC＝2BF－AD＝BC，∴BF＝eq\f(BC＋AD，2)＝eq\f（18＋8,2）＝13?！郆E＝BF－AD＝13－8＝5.又AB＝13，∴AE＝12.∴S四邊形ABCD＝eq\f(1，2)（AD＋BC)·AE＝eq\f（1，2）×(18＋8)×12＝156（cm2)．故其側(cè)面積為156×5＝780(cm2)。例3已知一個圓錐的底面半徑為R,高為H，在其內(nèi)部有一個高為x的內(nèi)接圓柱．（1)求圓柱的側(cè)面積;（2）x為何值時，圓柱的側(cè)面積最大？［解]如圖是圓錐及內(nèi)接圓柱的軸截面圖．(1）設(shè)所求圓柱的底面半徑為r，則eq\f（r，R)＝eq\f（H－x，H)，∴r＝R－eq\f（R,H)x，∴S圓柱側(cè)＝2πrx＝2πRx－eq\f(2πR,H）·x2(x∈(0，H))．(2）∵S圓柱側(cè)是關(guān)于x的二次函數(shù)，∴當x＝－eq\f(2πR,2×\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(2πR,H))））＝eq\f(H，2）時，S圓柱側(cè)有最大值，即當圓柱的高是圓錐的高的一半時，它的側(cè)面積最大．類題通法求組合體表面積的方法解決組合體的表面積問題，要充分考慮組合體各部分的量之間的關(guān)系，將其轉(zhuǎn)化為簡單多面體與旋轉(zhuǎn)體的表面積問題進行求解．eq\a\vs4\al（[變式訓練3］)已知底面半徑為eq\r(3)cm，母線長為eq\r（6）cm的圓柱，挖去一個以圓柱上底面圓心為頂點，下底面為底面的圓錐，求所得幾何體的表面積．解如圖，由題意易知圓錐的母線長為3cm.則S＝S底＋S柱側(cè)＋S圓錐側(cè)＝π×(eq\r(3))2＋2π×eq\r(3)×eq\r(6)＋π×eq\r(3)×3＝(3＋6eq\r(2)＋3eq\r（3）)π（cm2)．易錯點?對幾何體的表面積考慮不全致錯［典例］如圖所示，從底面半徑為2a，高為eq\r（3）a的圓柱中,挖去一個底面半徑為a且與圓柱等高的圓錐，求圓柱的表面積S1與挖去圓錐后的幾何體的表面積S2之比．[錯解］由題意，知S1＝2π·2a·eq\r（3）a＋2π·（2a）2＝（4eq\r（3)＋8）πa2,S2＝S1－πa2＝（4eq\r(3)＋7）πa2.故S1∶S2＝（4eq\r(3）＋8)∶(4eq\r(3)＋7)．[錯因分析]挖去圓錐的幾何體的表面積去掉了一個半徑為a的圓的面積,但同時增加了一個圓錐的側(cè)面的面積，錯解中未考慮到增加的部分．［正解]由題意，知S1＝2π·2a·eq\r（3)a＋2π·(2a）2＝(4eq\r（3)＋8）πa2，S2＝S1＋πa·(2a)－πa2＝（4eq\r(3)＋9）πa2。故S1∶S2＝(4eq\r(3)＋8）∶(4eq\r(3）＋9）．課堂小結(jié)1.多面體的表面積為圍成多面體的各個面的面積之和．棱柱的表面積等于它的側(cè)面積加底面積；棱錐的表面積等于它的側(cè)面積加底面積；棱臺的表面積等于它的側(cè)面積加兩個底的面積.2.有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的表面積的計算要充分利用其軸截面，就是說將已知條件盡量歸結(jié)到軸截面中求解．而對于圓臺有時需要將它還原成圓錐，再借助相似的相關(guān)知識求解.3.S圓柱表＝2πr（r＋l）；S圓錐表＝πr（r＋l);S圓臺表＝π（r2＋rl＋Rl＋R2)。1．若圓錐的正視圖是正三角形，則它的側(cè)面積是底面積的（)A。eq\r（2)倍B．3倍C．2倍D．5倍答案C解析設(shè)底面半徑為r，則S側(cè)＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2。故選C。2．長方體的高為1，底面積為2，垂直于底的對角面的面積是eq\r(5），則長方體的側(cè)面積等于（）A．2eq\r(7)B．4eq\r（3)C．6D．3答案C解析設(shè)底面邊長分別為a和b，則ab＝2且a2＋b2＝5,解得a＝1,b＝2，或a＝2,b＝1，故側(cè)面積為6.3．圓柱的一個底面積為S,側(cè)面展開圖為一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是（)A．4πSB．2πSC．πSD.eq\f（2\r（3),3)πS答案A解析設(shè)底面半徑為r，故S＝πr2。由側(cè)面展開圖為正方形，則高h＝2πr,則圓柱的側(cè)面積為2πrh＝4π（πr2)＝4πS,故選A。4．底面是菱形的直棱柱，它的兩條體對角線長分別為9和15，高是5，則這個棱柱的側(cè)面