2020高中數(shù)學(xué) 第章 不等式 .2 一元二次不等式（第2課時）一元二次不等式的應(yīng)用講義 5

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第2課時一元二次不等式的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1。掌握一元二次不等式的實際應(yīng)用．(重點）2。理解三個“二次"之間的關(guān)系。3。會解一元二次不等式中的恒成立問題．（難點）1。通過分式不等式的解法及不等式的恒成立問題的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。2.借助一元二次不等式的應(yīng)用培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).1．分式不等式的解法主導(dǎo)思想:化分式不等式為整式不等式思考1：eq\f(x－3，x＋2）>0與（x－3)（x＋2）>0等價嗎？將eq\f（x－3，x＋2)>0變形為（x－3)（x＋2)〉0,有什么好處？[提示]等價;好處是將不熟悉的分式不等式化歸為已經(jīng)熟悉的一元二次不等式．2．(1)不等式的解集為R(或恒成立）的條件不等式ax2＋bx＋c〉0ax2＋bx＋c〈0a＝0b＝0，c〉0b＝0，c〈0a≠0eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a〉0,Δ<0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0））(2）有關(guān)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的方法f（x）≤a恒成立?f（x)max≤af（x)≥a恒成立?f(x）min≥a思考2:x－1>0在區(qū)間［2,3]上恒成立的幾何意義是什么？區(qū)間[2，3］與不等式x－1〉0的解集有什么關(guān)系？［提示］x－1〉0在區(qū)間[2，3]上恒成立的幾何意義是函數(shù)y＝x－1在區(qū)間[2,3］上的圖象恒在x軸上方．區(qū)間[2,3]內(nèi)的元素一定是不等式x－1>0的解,反之不一定成立，故區(qū)間［2,3］是不等式x－1〉0的解集的子集．3．從實際問題中抽象出一元二次不等式模型的步驟（1）閱讀理解，認(rèn)真審題，分析題目中有哪些已知量和未知量,找準(zhǔn)不等關(guān)系．（2）設(shè)出起關(guān)鍵作用的未知量，用不等式表示不等關(guān)系（或表示成函數(shù)關(guān)系）．（3）解不等式(或求函數(shù)最值）．(4）回扣實際問題．思考3:解一元二次不等式應(yīng)用題的關(guān)鍵是什么?[提示］解一元二次不等式應(yīng)用題的關(guān)鍵在于構(gòu)造一元二次不等式模型,選擇其中起關(guān)鍵作用的未知量為x，用x來表示其他未知量，根據(jù)題意，列出不等關(guān)系再求解．1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3｝，B＝eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－2，x）≤0））))，則A∩B等于(）A．{x|－1≤x<0} B．{x|0<x≤1｝C．{x｜0≤x<2｝ D．｛x|0≤x≤1}B［∵A＝｛x｜－1≤x≤1｝，B＝{x｜0〈x≤2｝，∴A∩B＝｛x|0<x≤1｝．］2．不等式eq\f（x＋1，x）≥5的解集是________．eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1（0〈x≤\f(1，4）)）)）[原不等式?eq\f（x＋1,x）≥eq\f(5x,x)?eq\f(4x－1，x)≤0?eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x4x－1≤0，,x≠0，））解得0〈x≤eq\f(1,4)。]3．已知關(guān)于x的不等式x2－ax＋2a〉0在R上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．（0,8)[因為x2－ax＋2a〉0在R上恒成立，所以Δ＝a2－4×2a〈0，所以0〈a<8.]4。在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x(單位:m)的取值范圍是________．［10，30］[設(shè)矩形高為y，由三角形相似得:eq\f（x,40）＝eq\f(40－y，40），且x>0，y〉0，x<40，y<40，xy≥300，整理得y＋x＝40，將y＝40－x代入xy≥300，整理得x2－40x＋300≤0，解得10≤x≤30。］分式不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)eq\f（x－3，x＋2)<0；（2）eq\f(x＋1，2x－3）≤1.［解］（1)eq\f（x－3,x＋2）<0?(x－3)(x＋2)<0?－2〈x<3,∴原不等式的解集為{x|－2<x〈3}．（2）∵eq\f(x＋1，2x－3）≤1，∴eq\f（x＋1,2x－3）－1≤0，∴eq\f(－x＋4，2x－3）≤0，即eq\f(x－4,x－\f（3,2）)≥0。此不等式等價于(x－4）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f（3,2)））≥0且x－eq\f(3，2）≠0,解得x<eq\f(3,2）或x≥4，∴原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1（x〈\f(3,2)或x≥4））））。1．對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．2．對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母）,使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零,然后再用上述方法求解．1．解下列不等式：（1)eq\f(x＋1,x－3）≥0；（2)eq\f(5x＋1，x＋1）<3.［解]（1）根據(jù)商的符號法則，不等式eq\f（x＋1,x－3)≥0可轉(zhuǎn)化成不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋1x－3≥0,,x≠3.）)解這個不等式組，可得x≤－1或x>3.即知原不等式的解集為｛x｜x≤－1或x〉3｝．（2）不等式eq\f（5x＋1,x＋1)<3可改寫為eq\f(5x＋1，x＋1)－3〈0，即eq\f（2x－1，x＋1)〈0?？蓪⑦@個不等式轉(zhuǎn)化成2(x－1)（x＋1)〈0，解得－1<x<1。所以，原不等式的解集為｛x｜－1<x<1}．一元二次不等式的應(yīng)用【例2】國家原計劃以2400元/噸的價格收購某種農(nóng)產(chǎn)品m噸．按規(guī)定，農(nóng)戶向國家納稅為:每收入100元納稅8元(稱作稅率為8個百分點，即8%)．為了減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān)，制定積極的收購政策．根據(jù)市場規(guī)律，稅率降低x個百分點，收購量能增加2x個百分點．試確定x的范圍，使稅率調(diào)低后,國家此項稅收總收入不低于原計劃的78%.思路探究：將文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言:“稅率降低x個百分點"即調(diào)節(jié)后稅率為(8－x）％；“收購量能增加2x個百分點"，此時總收購量為m（1＋2x％)噸，“原計劃的78%”即為2400m×8%×78％.[解]設(shè)稅率調(diào)低后“稅收總收入”為y元．y＝2400m(1＋2x％）·（8－x)%＝－eq\f(12,25)m（x2＋42x－400)(0〈x≤8）．依題意，得y≥2400m×8%×78％，即－eq\f(12,25）m(x2＋42x－400)≥2400m×8%×78％，整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2。根據(jù)x的實際意義，知0〈x≤8，所以x的范圍為（0，2]．解不等式應(yīng)用題的步驟2．某校園內(nèi)有一塊長為800m，寬為600m的長方形地面，現(xiàn)要對該地面進行綠化,規(guī)劃四周種花卉(花卉帶的寬度相同),中間種草坪，若要求草坪的面積不小于總面積的一半，求花卉帶寬度的范圍．[解］設(shè)花卉帶的寬度為xm(0〈x〈600),則中間草坪的長為(800－2x）m，寬為（600－2x）m。根據(jù)題意可得（800－2x)(600－2x)≥eq\f(1,2)×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即（x－600）(x－100)≥0，所以0<x≤100或x≥600，x≥600不符合題意，舍去．故所求花卉帶寬度的范圍為(0，100]m。不等式恒成立問題［探究問題]1．若函數(shù)f(x）＝ax2＋2x＋2對一切x∈R，f（x)〉0恒成立，如何求實數(shù)a的取值范圍？[提示]若a＝0，顯然f（x)〉0不能對一切x∈R都成立．所以a≠0，此時只有二次函數(shù)f（x）＝ax2＋2x＋2的圖象與直角坐標(biāo)系中的x軸無交點且拋物線開口向上時，才滿足題意，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0,Δ＝4－8a<0，))解得a>eq\f（1,2）。2．若函數(shù)f（x)＝x2－ax－3對x∈［－3，－1]上恒有f(x)<0成立，如何求a的范圍？[提示］要使f（x）〈0在［－3，－1］上恒成立，則必使函數(shù)f(x）＝x2－ax－3在[－3，－1]上的圖象在x軸的下方，由f（x)的圖象可知，此時a應(yīng)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（f－3<0,,f－1<0，））即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（3a＋6<0，，a－2<0,))解得a<－2。故當(dāng)a∈(－∞，－2)時,有f（x）<0在x∈[－3，－1］時恒成立．3．若函數(shù)y＝x2＋2（a－2)x＋4對任意a∈[－3，1］時，y〈0恒成立，如何求x的取值范圍？［提示]由于本題中已知a的取值范圍求x,所以我們可以把函數(shù)f（x)轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量是a的函數(shù),求參數(shù)x的取值問題，則令g(a)＝2x·a＋x2－4x＋4.要使對任意a∈［－3,1］，y〈0恒成立，只需滿足eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（g1〈0，,g－3〈0，））即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x2－2x＋4<0，,x2－10x＋4<0。)）因為x2－2x＋4〈0的解集是空集，所以不存在實數(shù)x,使函數(shù)y＝x2＋2(a－2）x＋4對任意a∈［－3，1］，y<0恒成立．【例3】已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．思路探究：對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上的函數(shù)值恒大于等于零的問題,可以利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解．［解］設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3－a在x∈［－2,2]時的最小值為g(a)，則（1）當(dāng)對稱軸x＝－eq\f(a,2）〈－2，即a〉4時,g（a）＝f（－2）＝7－3a≥0,解得a≤eq\f（7，3)，與a>4矛盾，不符合題意．(2)當(dāng)－eq\f(a，2)∈［－2，2］，即－4≤a≤4時，g（a）＝3－a－eq\f（a2,4)≥0，解得－6≤a≤2，此時－4≤a≤2.(3)當(dāng)－eq\f(a,2）〉2,即a<－4時，g(a)＝f（2）＝7＋a≥0，解得a≥－7，此時－7≤a〈－4。綜上,a的取值范圍為－7≤a≤2。1．（變結(jié)論）本例條件不變，若f（x)≥2恒成立，求a的取值范圍．[解]若x∈［－2,2］，f（x)≥2恒成立可轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x∈[－2，2]時,f（x）min≥2?eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（－\f(a，2）<－2，，fxmin＝f－2＝7－3a≥2）)或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－2≤－\f(a，2）≤2，,fxmin＝f\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（a,2）））＝3－a－\f（a2,4)≥2）)或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（－\f（a,2)〉2,，fxmin＝f2＝7＋a≥2，））解得a的取值范圍為[－5，－2＋2eq\r(2)］．2．（變條件)將例題中的條件“f(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈［－2，2］，f(x)≥0恒成立"變?yōu)椤安坏仁絰2＋2x＋a2－3〉0的解集為R”求a的取值范圍．［解］法一:∵不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集為R，∴函數(shù)f(x）＝x2＋2x＋a2－3的圖象應(yīng)在x軸上方，∴Δ＝4－4(a2－3)〈0，解得a〉2或a〈－2.法二：令f（x）＝x2＋2x＋a2－3，要使x2＋2x＋a2－3〉0的解集為R，則a滿足f（x）min＝a2－4〉0,解得a〉2或a<－2.法三：由x2＋2x＋a2－3〉0，得a2>－x2－2x＋3，即a2>－（x＋1）2＋4，要使該不等式在R上恒成立,必須使a2大于－（x＋1)2＋4的最大值,即a2>4，故a〉2或a<－2.1．不等式ax2＋bx＋c〉0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當(dāng)a＝0時，b＝0，c>0；當(dāng)a≠0時,eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a〉0，,Δ〈0。)）2．不等式ax2＋bx＋c〈0的解是全體實數(shù)（或恒成立）的條件是:當(dāng)a＝0時,b＝0，c<0；當(dāng)a≠0時，eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a〈0，，Δ<0。）)3．f（x)≤a恒成立?a≥［f(x)]max,f(x）≥a恒成立?a≤［f（x)]min。1．解分式不等式時，一定要等價變形為一邊為零的形式，再化歸為一元二次不等式(組）求解．當(dāng)不等式含有分母時，分母不為零．2．對于某些恒成立問題，分離參數(shù)是一種行之有效的方法．這是因為將參數(shù)分離后，問題往往會轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而得以迅速解決．當(dāng)然,這必須以參數(shù)容易分離作為前提．分離參數(shù)時，經(jīng)常要用到以下簡單結(jié)論(1）若f(x）有最大值f（x）max，則a〉f（x)恒成立?a>f（x)max；(2）若f(x)有最小值f(x)min,則a〈f(x）恒成立?a<f（x)min.1．判斷正誤(1)不等式eq\f（1,x）>1的解集為x<1。（）（2)求解m>f（x)恒成立時，可轉(zhuǎn)化為求解f(x）的最小值,從而求