2020高中數學 第章 導數及其應用 .2. 導數的四則運算法則學案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE9-學必求其心得，業(yè)必貴于專精3.2.3導數的四則運算法則學習目標核心素養(yǎng)1.了解求導法則的證明過程.2.掌握函數和、差、積、商的求導法則．(重點）3.能夠綜合運用導數公式和導數運算法則求函數的導數．（重點、難點)通過綜合運用導數公式和導數運算法則求函數的導數，提升學生邏輯推理、數學運算素養(yǎng)。導數的運算法則(1)前提：函數f(x),g(x）是可導的．(2）法則：①和（或差)的求導法則：（f(x)±g(x））′＝f′(x）±g′(x)，推廣：（f1±f2±…±fn）′＝f1′±f2′±…±fn′。②積的求導法則：［f(x)g(x）]′＝f′(x）g（x)＋f（x)g′(x)．特別地：[Cf（x）]′＝Cf′(x)．③商的求導法則：eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f（fx，gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x，g2x)(g（x)≠0），特別地：eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f（1,gx))）′＝－eq\f（g′x，g2x）（g(x）≠0)．思考：商的導數eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（fx，gx))）′求導法則中，分子是個差式，這個差中先對f（x）還是g(x)進行求導?[提示］先對f(x）求導，即f′(x）g(x)，再對g（x）求導，即f（x）g′(x)．1．下列結論不正確的是(）A．若y＝3，則y′＝0B．若f（x）＝3x＋1，則f′（1）＝3C．若y＝－eq\r(x）＋x，則y′＝－eq\f（1，2\r(x）)＋1D．若y＝sinx＋cosx，則y′＝cosx＋sinxD[D項，∵y＝sinx＋cosx，∴y′＝(sinx）′＋(cosx）′＝cosx－sinx．]2．設y＝－2exsinx，則y′等于()A．－2excosx B．－2exsinxC．2exsinx D．－2ex（sinx＋cosx)D［y′＝－2(exsinx＋excosx）＝－2ex(sinx＋cosx)．]3．已知函數f（x)＝eq\f（lnx,x),則f′(1）＝________。1［∵f′（x）＝eq\f（\f(1，x）×x－lnx,x2)＝eq\f（1－lnx,x2),∴f′(1）＝1.]用導數的求導法則求導數【例1】求下列函數的導數:(1）y＝2x2＋eq\f（1，x)－eq\f(3,x3)； （2)y＝eq\f(x＋3,x2＋3);（3）y＝excosx＋sinx； （4）y＝x3＋lgx。[思路探究］觀察函數的特征，可先對函數式進行合理變形，然后利用導數公式及相應的四則運算法則求解．[解](1）∵y＝2x2＋x－1－3·x－3，∴y′＝4x－x－2－3·（－3）x－4＝4x－eq\f(1，x2）＋eq\f（9，x4）。（2)y′＝eq\f(1·x2＋3－2xx＋3，x2＋32）＝eq\f(－x2－6x＋3,x2＋32）.（3）y′＝(excosx＋sinx)′＝(excosx）′＋(sinx)′＝（ex）′cosx＋ex(cosx）′＋cosx＝excosx－exsinx＋cosx.（4）y′＝3x2＋eq\f（1,xln10)。應用基本初等函數的導數公式和求導的四則運算法則可迅速解決一些簡單函數的求導問題，要透徹理解函數求導法則的結構特點，準確熟記公式，還要注意挖掘知識的內在聯系及其規(guī)律.對比較復雜的求導問題，可先進行恒等變形，再利用公式求導。提醒：當不易直接應用導數公式時，應先對函數進行化簡，再求導。求下列函數的導數：（1）y＝eq\f(1，x2)＋sineq\f（x,2)coseq\f(x,2)； （2)y＝xeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x2－\f(3，2）x－6)）＋2;(3)y＝cosxlnx； (4）y＝eq\f(x，ex)。［解](1)y′＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,x2)＋sin\f（x,2)cos\f（x，2）)）eq\s\up8(′）＝(x－2)′＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）sinx))eq\s\up8(′）＝－2x－3＋eq\f（1，2）cosx＝－eq\f（2，x3)＋eq\f(1，2）cosx.(2)y′＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－\f（3，2)x2－6x＋2))eq\s\up8（′）＝（x3)′－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3,2）x2)）eq\s\up8（′）－(6x）′＋(2）′＝3x2－3x－6.(3）y′＝(cosxlnx)′＝(cosx）′lnx＋cosx（lnx）′＝－sinxlnx＋eq\f(cosx，x)。(4)y′＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（x,ex)))eq\s\up8（′）＝eq\f(x′ex－xex′,ex2)＝eq\f(ex－xex,e2x)＝eq\f（1－x，ex）.導數運算法則的應用[探究問題］1．導數的和、差運算法則求導能拓展到多個函數嗎?［提示][f1（x)±f2（x）±…±fn(x)］′＝f1′(x）±f2′（x)±…±f′n(x)．2．導數的積、商運算法則有哪些相似的地方？區(qū)別是什么？［提示]對于積與商的導數運算法則，應避免出現“積的導數就是導數的積，商的導數就是導數的商”這類想當然的錯誤，應特別注意積與商中符號的異同，積的導數法則中是“＋”，商的導數法則中分子上是“－”．【例2】已知函數f(x）＝lnx－ax＋eq\f(1－a,x)－1（a∈R）．當a＝－1時，求曲線y＝f（x）在點（2，f（2）)處的切線方程．[思路探究]先求導,再求切線斜率，根據點斜式得切線方程．[解］因為當a＝－1時，f（x)＝lnx＋x＋eq\f（2，x)－1，x∈（0，＋∞)．所以f′（x）＝eq\f(x2＋x－2,x2），x∈（0，＋∞)，因為f′(2）＝1，即曲線y＝f（x)在點（2，f(2）)處的切線斜率為1.又f(2)＝ln2＋2，所以曲線y＝f(x）在點(2，f（2））處的切線方程為y－(ln2＋2）＝x－2，即x－y＋ln2＝0。1．(變換條件)本典例函數不變，條件變?yōu)椤扒€y＝f(x)在點(2，f（2))處的切線方程為x－y＋ln2＝0”，求a的值．[解］因為f′（x）＝eq\f(1,x）－a＋eq\f(a－1，x2)＝eq\f(－ax2＋x＋a－1，x2)，又曲線在點（2，，f(2）)處的切線方程為x－y＋ln2＝0，所以f′（2）＝1，即eq\f（－22a＋2＋a－1，22)＝1，即a＝－1.2．（改變問法）本典例的條件不變，求使f′(x)〉0成立的x的取值范圍．［解]因為當a＝－1時，f（x)＝lnx＋x＋eq\f（2,x）－1，x∈（0，＋∞）．所以f′(x)＝eq\f（x2＋x－2,x2），x∈(0,＋∞），因為f′(x）>0,所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2＞0，，x＞0。)）解得x∈（1,＋∞）．1此類問題往往涉及切點、切點處的導數、切線方程三個主要元素。其他的條件可以進行轉化，從而轉化為這三個要素間的關系。2準確求出已知函數式的導數、切線方程是解決此類問題的關鍵。1．思考辨析（1）若f(a）＝a3＋2ax－x2，則f′（a)＝3a2＋2x. (）（2）eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f（C，gx）)）eq\s\up8（′）＝eq\f(－Cg′x，g2x). ()（3）任何函數都可以應用導數的運算法則求導數． (）［提示](1）√(2)√（3)×應用導數的運算法則求導數的前提是f（x）,g(x)均為可導函數,即f′（x)，g′(x)存在．2．對于函數f（x)＝eq\f(ex,x2)＋lnx－eq\f（2k，x），若f′（1)＝1，則k等于()A．eq\f（e，2) B．eq\f（e,3)C．－eq\f(e，2) D．－eq\f(e，3)A［∵f′(x)＝eq\f（exx－2，x3）＋eq\f（1，x）＋eq\f(2k，x2），∴f′（1)＝－e＋1＋2k＝1，解得k＝eq\f（e，2），故選A。]3．曲線y＝eq\f（sinx,sinx＋cosx)－eq\f(1，2）在點Meq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π，4)，0）)處的切線的斜率為（)A．－eq\f（1,2) B．eq\f(1，2）C．－eq\f(\r(2)，2) D．eq\f（\r（2),2)B［∵y′＝eq\f(cosxsinx＋cosx－sinxcosx－sinx,sinx＋cosx2）＝eq\f（1,sinx＋cosx2）,∴y′|eq\s\do5(x＝\f（π,4))＝eq\f(1,2),∴曲線在點Meq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π,4），0)）處的切線的斜率為eq\f(1,2)。]4．已知a為實數，f(x）＝（x2－4）（x－a)，且f′(－1)＝0，則a＝________.eq\f（1,2)[∵f（x)＝(x2－4)（x－a）＝x3－ax2－4x＋4a，∴f′（x)＝3x2－2ax－4。又∵f′(－1）＝3＋2a－4＝0，∴a＝eq\f（1,2)。］5．設函數f(x)＝eq\f（1，3)x3－eq\f(a,2）x2＋bx＋c，其中a＞0，曲線y＝f（x)在點P（0，f(0））處的切線方程為y＝1，確定b、c的值．