2020高中數(shù)學(xué) 第章 空間向量與立體幾何 .2.5 距離（選學(xué)）學(xué)案 2-1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE13-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3．2.5距離（選學(xué))學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.掌握向量長度計(jì)算公式．（重點(diǎn)）2。會用向量方法求兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到平面的距離、線面距和面到面的距離．（重點(diǎn)、難點(diǎn)）通過學(xué)習(xí)空間距離的求解，提升學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。1．距離的概念一個圖形內(nèi)的任一點(diǎn)與另一圖形內(nèi)的任一點(diǎn)的距離中的最小值，叫做圖形與圖形的距離．2．點(diǎn)到平面的距離(1)連接平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)任意一點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．(2)一點(diǎn)到它在一個平面內(nèi)正射影的距離，叫做點(diǎn)到這個平面的距離．3．直線與它的平行平面的距離(1）如果一條直線平行于平面α，則直線上的各點(diǎn)到平面α所作的垂線段相等，即各點(diǎn)到α的距離相等．(2)一條直線上的任一點(diǎn)，與它平行的平面的距離,叫做直線與這個平面的距離．4．兩個平行平面的距離(1）和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做兩個平面的公垂線，公垂線夾在平行平面間的部分，叫做兩個平面的公垂線段．(2）兩平行平面的公垂線段的長度，叫做兩平行平面的距離．思考：線面距、面面距與點(diǎn)面距有什么關(guān)系？[提示]1．在四面體P.ABC中,PA，PB，PC兩兩垂直，M是平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)M到其他三個平面的距離分別是2,3，6，則點(diǎn)M到頂點(diǎn)P的距離是()A．7B．8C．9D．10A[以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o（PA,\s\up15（→)),eq\o（PB,\s\up15(→)），eq\o（PC，\s\up15（→））的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（圖略）,由題意,得|MP｜＝eq\r（22＋32＋62）＝7.］2．設(shè)A(3,3，1）,B（1，0,5)，C(0，1，0)，則AB的中點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離|CM｜等于（）A。eq\f(\r(53），4) B。eq\f(53，2)C。eq\f(\r（53）,2） D。eq\f(\r（13),2）C［∵M(jìn)點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2，\f（3,2)，3)），∴｜MC｜＝eq\r（2－02＋\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（3,2)－1))2＋3－02）＝eq\f（\r(53）,2）。］3．已知平面α的一個法向量n＝(－2，－2，1）,點(diǎn)A(－1，3，0)在α內(nèi)，則P(－2，1，4）到α的距離為（）A．10 B．3C。eq\f(8，3) D。eq\f（10，3）D［eq\o(AP,\s\up15(→))＝（－1，－2，4）,d＝eq\f(｜\o（AP，\s\up15(→))·n|，｜n|)＝eq\f(10，3）。]空間兩點(diǎn)間的距離【例1】如圖所示，正方形ABCD，ABEF的邊長都是1,而且平面ABCD，ABEF互相垂直，點(diǎn)M在AC上移動，點(diǎn)N在BF上移動，若CM＝BN＝a（0〈a<eq\r（2）)．(1）求MN的長．（2）a為何值時，MN的長最??？[思路探究]建立坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求解．[解]（1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（1,0,0)，F(xiàn)（1，1，0),C（0，0,1）．因?yàn)镃M＝BN＝a(0<a<eq\r（2)），且四邊形ABCD，ABEF為正方形,所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（\r（2),2)a，0，1－\f(\r(2），2)a))，Neq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（\r（2），2）a，\f（\r（2),2）a,0)),所以eq\o（MN,\s\up15(→)）＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f（\r(2),2）a,\f(\r(2），2）a－1)),所以|eq\o（MN,\s\up15(→）)｜＝eq\r(a2－\r(2)a＋1）.（2)由(1）知MN＝eq\r(\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(a－\f(\r（2）,2))）2＋\f(1，2))，所以，當(dāng)a＝eq\f（\r(2)，2）時，MN＝eq\f(\r（2）,2）。即當(dāng)a＝eq\f(\r（2）,2)時,MN的長最小,最小值為eq\f（\r（2），2）.計(jì)算兩點(diǎn)間的距離的兩種方法(1）利用｜a｜2＝a·a，通過向量運(yùn)算求|a｜，如求A，B兩點(diǎn)間的距離,一般用｜AB｜＝eq\r（\o(｜\o（AB,\s\up15(→））｜2)）＝eq\r（\o（\o(AB，\s\up15(→））·\o（AB，\s\up15（→))））求解．(2）用坐標(biāo)法求向量的長度(或兩點(diǎn)間距離），此法適用于求解的圖形適宜建立空間直角坐標(biāo)系時．1．如圖所示,在120°的二面角α-AB-β中，AC?α，BD?β且AC⊥AB，BD⊥AB,垂足分別為A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，試求線段CD的長．［解］∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴eq\o(CA,\s\up15（→）)·eq\o(AB，\s\up15(→）)＝0，eq\o（BD,\s\up15(→）)·eq\o(AB,\s\up15（→))＝0，又∵二面角α.AB.β的平面角為120°，∴〈eq\o(CA，\s\up15(→)），eq\o(BD,\s\up15（→）)〉＝60°，∴|CD|2＝|eq\o（CD,\s\up15(→))｜2＝（eq\o（CA,\s\up15(→））＋eq\o（AB，\s\up15(→）)＋eq\o(BD，\s\up15（→）)）2＝eq\o(CA,\s\up15(→）)2＋eq\o（AB，\s\up15(→)）2＋eq\o（BD，\s\up15（→)）2＋2（eq\o(CA，\s\up15(→）)·eq\o（AB,\s\up15（→))＋eq\o(CA,\s\up15（→）)·eq\o(BD，\s\up15（→)）＋eq\o（BD,\s\up15（→））·eq\o(AB，\s\up15(→）））＝3×62＋2×62×cos60°＝144，∴CD＝12。點(diǎn)到直線的距離［探究問題］1．如何理解與認(rèn)識點(diǎn)到直線的距離?[提示]點(diǎn)到直線的距離，即點(diǎn)到直線的垂線段的長度，由于直線與直線外一點(diǎn)確定一個平面，所以空間點(diǎn)到直線的距離問題可轉(zhuǎn)化為空間某一個平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離問題．(1)點(diǎn)在直線上時，點(diǎn)到直線的距離為0.(2)點(diǎn)在直線外時,點(diǎn)到直線的距離即為此點(diǎn)與過此點(diǎn)向直線作垂線的垂足間的距離．即點(diǎn)到直線的距離可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離．2．如何用向量法求點(diǎn)到直線的距離？[提示]設(shè)l是過點(diǎn)P平行于向量s的直線，A是直線l外一定點(diǎn)，向量eq\o（PA,\s\up15(→))在向量s上的射影的大小為|eq\o（PA，\s\up15（→))·s0｜，則點(diǎn)A到直線l的距離d＝eq\r(\o（|\o（PA，\s\up15(→））|2－|\o（PA，\s\up15(→))·s0|2））eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（其中s0＝\f(s,｜s|））).【例2】已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3,∠ABC＝90°，求點(diǎn)B到直線A1C［思路探究］建立坐標(biāo)系，利用向量法求解．[解］以B為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A1(4，0，1），C1(0，3,1），所以直線A1C1的方向向量為eq\o(A1C1,\s\up15（→）)＝（－4，3，0)，而eq\o（BC1，\s\up15(→）)＝（0,3，1)，所以點(diǎn)B到直線A1C1d＝eq\r（\o（｜\o（BC1,\s\up15（→))|2－\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1（\o（BC1,\s\up15(→）)·\f（\o(A1C1,\s\up15(→））,|\o（A1C1，\s\up15（→))｜)))2))＝eq\r(10－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(9，5)）)2)＝eq\f(13，5）。1．(改變問法)本例條件不變，所求問題改為:若M，N分別是A1B1，AC的中點(diǎn)，試求點(diǎn)C1到MN的距離．[解]如本例解法建系(圖略)．則M(2,0,1)，Neq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(2,\f(3,2），0）)，C1（0,3，1)，所以直線MN的方向向量為eq\o（MN，\s\up15(→)）＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0,\f(3,2)，－1））,eq\o(MC1,\s\up15（→）)＝（－2,3,0),所以eq\o(MC1,\s\up15(→)）在eq\o(MN，\s\up15（→)）上的投影為eq\o(MC1，\s\up15（→））·eq\f(\o（MN,\s\up15(→)）,|\o(MN，\s\up15(→)）|）＝eq\f(9,\r（13）)，所以C1到MN的距離為d＝eq\r（｜\o（MC1,\s\up15（→))|2－\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1(\o(MC1，\s\up15（→））·\f(\o（MN,\s\up15(→)),|\o(MN，\s\up15（→））|))）2）＝eq\f（\r（1144）,13）＝eq\f（2\r（286)，13)。2．(變換條件)若將本例中的條件改為“正三棱柱ABC。A1B1C1且所有棱長均為2”,如何求B到A1C[解]以B為原點(diǎn),分別以BA，過B垂直于BA的直線，BB1為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（0,0,0），A1（2,0,2)，C1（1，eq\r(3），2),所以A1C1的方向向量eq\o（A1C1，\s\up15（→））＝（－1，eq\r（3)，0），而eq\o(BC1，\s\up15(→）)＝(1，eq\r(3),2)，所以點(diǎn)B到直線A1C1d＝eq\r（\o(｜\o(BC1，\s\up15（→））|2－\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\o(BC1，\s\up15（→))·\f（\o(A1C1,\s\up15（→）)，\o（|A1C1｜,\s\up15（→））））)2））＝eq\r(8－\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（－1＋3＋0,2)））2）＝eq\r(8－1)＝eq\r（7)。用向量法求點(diǎn)到直線的距離時需注意以下幾點(diǎn)：1不必找點(diǎn)在直線上的垂足以及垂線段；2在直線上可以任意選點(diǎn),但一般選較易求得坐標(biāo)的特殊點(diǎn);3直線的方向向量可以任取，但必須保證計(jì)算的準(zhǔn)確性。點(diǎn)到平面的距離【例3】如圖所示，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,求點(diǎn)A到平面A1BD的距離．[思路探究]本題可以利用等體積法求解，也可以通過建系利用向量法求解．[解］法一：設(shè)點(diǎn)A到平面A1BD的距離為h，則VB。AA1D＝eq\f（1，3）×a×eq\f(1，2)×a×a＝eq\f(1,6)a3，VA。A1BD＝eq\f（1，3)×h×eq\f(\r(3),4）×（eq\r(2)a）2＝eq\f(\r（3），6)a2h，∵VA.A1BD＝VB。AA1D，∴h＝eq\f(\r（3),3）a,∴點(diǎn)A到平面A1BD的距離為eq\f(\r（3），3）a.法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系B1xyz，則A1（a，0，0），A(a,0，a)，D（a，a，a），B（0,0，a），則eq\o(BD，\s\up15（→））＝（a，a，0），eq\o(A1D，\s\up15（→））＝(0，a，a），eq\o(AB，\s\up15(→））＝（－a，0，0）．設(shè)平面A1BD的一個法向量n＝（x,y，z），則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（n·\o(BD，\s\up15（→）)＝0，，n·\o（A1D，\s\up15(→））＝0，)）即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(ax＋ay＝0，,ay＋az＝0，)）∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋y＝0，,y＋z＝0。))令y＝－1,則x＝z＝1,∴n＝（1，－1,1)．∴eq\o(AB，\s\up15（→））·n＝(－a,0,0)·(1,－1,1)＝－a?！帱c(diǎn)A到平面A1BD的距離d＝eq\f(|\o（AB,\s\up15（→）)·n｜,|n|)＝eq\f（｜－a|，\r（3））＝eq\f(\r（3）,3)a.用向量法求點(diǎn)面距的方法與步驟1建坐標(biāo)系：結(jié)合圖形的特點(diǎn)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；2求向量：在坐標(biāo)系中求出點(diǎn)到平面內(nèi)任一點(diǎn)對應(yīng)的向量eq\o（AB，\s\up15（→））；3求法向量：設(shè)出平面的法向量,利用向量垂直的條件轉(zhuǎn)化為求解方程組，求出法向量n；4得答案：代入公式d＝eq\f（｜\o(AB,\s\up15（→))·n｜,|n|)求得答案.提醒：用向量法求點(diǎn)到平面的距離的關(guān)鍵是確定平面的法向量.2．如圖所示,已知△ABC是以∠B為直角的直角三角形,SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4，M，N，D分別是SC,AB，BC的中點(diǎn)，求點(diǎn)A到平面SND的距離．[解]建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則N（0,2，0)，S(0,0，2），D(－1,4，0)，∴eq\o（NS,\s\up15（→))＝（0，－2，2），eq\o（SD,\s\up15（→）)＝（－1,4,－2）．設(shè)平面SND的法向量為n＝（x,y,1）．∴n·eq\o（NS,\s\up15(→）)＝0，n·eq\o（SD，\s\up15(→))＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2y＋2＝0，，－x＋4y－2＝0，））∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2，，y＝1.))∴n＝(2，1,1),∵eq\o(AS,\s\up15(→））＝（0，0，2）．∴點(diǎn)A到平面SND的距離為eq\f（｜n·\o（AS，\s\up15（→）)|,|n｜）＝eq\f(2，\r(6）)＝eq\f(\r(6)，3）。1．思考辨析（1）可以用｜eq\o(AB,\s\up15（→）)｜2＝eq\o（AB，\s\up15(→)）·eq\o(AB，\s\up15（→）)，求空間兩點(diǎn)A、B的距離． ()（2)設(shè)n是平面α的法向量，AB是平面α的一條斜線,則點(diǎn)B到α的距離為d＝eq\f（｜\o（AB,\s\up15（→））·n|,｜n｜）. （)(3)若直線l與平面α平行,直線l上任意一點(diǎn)與平面α內(nèi)任意一點(diǎn)的距離就是直線l與平面α的距離． （)［提示](1）√（2）√(3）×直線上任意一點(diǎn)到平面α的垂線段的長度．2．已知平面α的一個法向量n＝(－2，－2,1）,點(diǎn)A（x,3，0）在平面α內(nèi),則點(diǎn)P（－2,1，4）到平面α的距離為eq\f(10,3)，則x＝（)A．－1 B．－