立體幾何二面角問題

立體證明題（2）1.如圖，直二面角D﹣AB﹣E中，四邊形ABCD是正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE．（1）求證：AE⊥平面BCE；（2）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．2.等腰△ABC中，AC=BC=，AB=2，E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)，將△EFC沿EF折起，使得C到P，得到四棱錐P﹣ABFE，且AP=BP=．（1）求證：平面EFP⊥平面ABFE；（2）求二面角B﹣AP﹣E的大小．3.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面是正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，若E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求證：EF⊥平面PDC．4.如圖：正△ABC與Rt△BCD所在平面互相垂直，且∠BCD=90°，∠CBD=30°．（1）求證：AB⊥CD；（2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值．5.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等邊三角形，四邊形ABCD是平行四邊形，∠ADC=120°，AB=2AD．（1）求證：平面PAD⊥平面PBD；（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．6.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC1=2，E是AB中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AB1⊥平面A1CE；（Ⅱ）求直線A1C1與平面A1CE所成角的正弦值．7.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠DAB為直角，AB∥CD，AD=CD=2AB=2，E，F(xiàn)分別為PC，CD的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：AB⊥平面BEF；（Ⅱ）若PA=，求二面角E﹣BD﹣C．8.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四邊形ABCD滿足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，點(diǎn)M為PC中點(diǎn)．（1）求證：DM⊥平面PBC；（2）若點(diǎn)E為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得二面角P﹣DE﹣B的余弦值為？若存在，求出實(shí)數(shù)λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．9.如圖，ABED是長(zhǎng)方形，平面ABED⊥平面ABC，AB=AC=5，BC=BE=6，且M是BC的中點(diǎn)（Ⅰ）求證：AM⊥平面BEC；（Ⅱ）求三棱錐B﹣ACE的體積；（Ⅲ）若點(diǎn)Q是線段AD上的一點(diǎn)，且平面QEC⊥平面BEC，求線段AQ的長(zhǎng)．10.如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB（1）求證：EA⊥平面EBC（2）求二面角C﹣BE﹣D的余弦值．11.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，O為AD中點(diǎn)，M是棱PC上的點(diǎn)，AD=2BC．（1）求證：平面POB⊥平面PAD；12.如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥平面ABC，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，E、F分別是CC1，BC的中點(diǎn)．（1）求證：平面AB1F⊥平面AEF；（2）求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．13.如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB=AE=2．（I）求證：BD⊥平面ACFE；（II）當(dāng)直線FO與平面BDE所成的角為45°時(shí)，求二面角B﹣EF﹣D的余弦角．14.如圖所示，該幾何體是由一個(gè)直三棱柱ADE﹣BCF和一個(gè)正四棱錐P﹣ABCD組合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．（1）證明：平面PAD⊥平面ABFE；（2）求正四棱錐P﹣ABCD的高h(yuǎn)，使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．15.如圖，已知斜三棱柱ABC一A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D，且BA1⊥AC1．（Ⅰ）求證：AC1⊥平面A1BC；（Ⅱ）求二面角A﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．試卷答案1.【考點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）由已知中直二面角D﹣AB﹣E中，四邊形ABCD是正方形，且BF⊥平面ACE，我們可以證得BF⊥AE，CB⊥AE，進(jìn)而由線面垂直的判定定理可得AE⊥平面BCE．（2）連接BD與AC交于G，連接FG，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，由三垂線定理及二面角的平面角的定義，可得∠BGF是二面角B﹣AC﹣E的平面角，解Rt△BFG即可得到答案．【解答】證明：（1）∵BF⊥平面ACE∴BF⊥AE…∵二面角D﹣AB﹣E為直二面角，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABE∴CB⊥AE…∴AE⊥平面BCE．…解：（2）連接BD與AC交于G，連接FG，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∴BG⊥AC，BG=，…∵BF垂直于平面ACE，由三垂線定理逆定理得FG⊥AC∴∠BGF是二面角B﹣AC﹣E的平面角…由（1）AE⊥平面BCE，得AE⊥EB，∵AE=EB，BE=．∴在Rt△BCE中，EC==，…由等面積法求得，則∴在Rt△BFG中，故二面角B﹣AC﹣E的余弦值為．…2.【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）用分析法找思路，用綜合法證明．取EF中點(diǎn)O，連接OP、OC．等腰三角形CEF中有CO⊥EF，即OP⊥EF．根據(jù)兩平面垂直的性質(zhì)定理，平面PEF和平面ABFE的交線是EF，且PO⊥EF，分析得PO⊥平面ABFE．故只需根據(jù)題中條件證出PO⊥平面ABFE，即可利用面面垂直的判定定理證得平面EFP⊥平面ABFE．（2）根據(jù)第一問分析空間位置關(guān)系，可建立空間直角坐標(biāo)線求得平面ABP和平面AEP的法向量的所成角，利用向量角和二面角關(guān)系，確定二面角大?。窘獯稹拷猓海?）證明：在△ABC中，D為AB中點(diǎn)，O為EF中點(diǎn)．由AC=BC=，AB=2．∵E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)，∴EF為中位線，得CO=OD=1，CO⊥EF∴四棱錐P﹣ABFE中，PO⊥EF，…2分∵OD⊥AB，AD=OD=1，∴AO=，又AP=，OP=1，∴四棱錐P﹣ABFE中，有AP2=AO2+OP2，即OP⊥AO，…4分又AO∩EF=O，EF、AO?平面ABFE，∴OP⊥平面ABFE，…5分又OP?平面EFP，∴平面EFP⊥平面ABFE．…6分（2）由（1）知OD，OF，OP兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）：則A（1，﹣1，0），B（1，1，0），E（0，，0），P（0，0，1）…7分∴，，設(shè)，分別為平面AEP、平面ABP的一個(gè)法向量，則?取x=1，得y=2，z=﹣1∴．…9分同理可得，…11分由于=0，所以二面角B﹣AP﹣E為90°．…12分3.【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【專題】證明題．【分析】對(duì)于（Ⅰ），要證EF∥平面PAD，只需證明EF平行于平面PAD內(nèi)的一條直線即可，而E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)，所以連接AC，EF為中位線，從而得證；對(duì)于（Ⅱ）要證明EF⊥平面PDC，由第一問的結(jié)論，EF∥PA，只需證PA⊥平面PDC即可，已知PA=PD=AD，可得PA⊥PD，只需再證明PA⊥CD，而這需要再證明CD⊥平面PAD，由于ABCD是正方形，面PAD⊥底面ABCD，由面面垂直的性質(zhì)可以證明，從而得證．【解答】證明：（Ⅰ）連接AC，則F是AC的中點(diǎn)，在△CPA中，EF∥PA（3分）且PA?平面PAD，EF?平面PAD，∴EF∥平面PAD（6分）（Ⅱ）因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA（9分）又PA=PD=AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=，即PA⊥PD（12分）而CD∩PD=D，∴PA⊥平面PDC，又EF∥PA，所以EF⊥平面PDC（14分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定及線面垂直的判定，而其中的轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用值得注意，將線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行；證明線面垂直，轉(zhuǎn)化為線線垂直，在證明線線垂直時(shí)，往往還要通過線面垂直來進(jìn)行．4.【考點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】（1）利用平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，可得DC⊥平面ABC，利用線面垂直的性質(zhì)，可得DC⊥AB；（2）過C作CE⊥AB于E，連接ED，可證∠CED是二面角D﹣AB﹣C的平面角．設(shè)CD=a，則BC==，從而EC=BCsin60°=，在Rt△DEC中，可求tan∠DEC．【解答】（1）證明：∵DC⊥BC，且平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，∴DC⊥平面ABC，又AB?平面ABC，∴DC⊥AB．…（2）解：過C作CE⊥AB于E，連接ED，∵AB⊥CD，AB⊥EC，CD∩EC=C，∴AB⊥平面ECD，又DE?平面ECD，∴AB⊥ED，∴∠CED是二面角D﹣AB﹣C的平面角，…設(shè)CD=a，則BC==，∵△ABC是正三角形，∴EC=BCsin60°=，在Rt△DEC中，tan∠DEC=．…5.【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面與平面垂直的判定．【分析】（1）令A(yù)D=1，求出BD=，從而AD⊥BD，進(jìn)而BD⊥平面PAD，由此能證明平面PAD⊥平面PBD．（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，過D作垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】證明：（1）在平行四邊形ABCD中，令A(yù)D=1，則BD==，在△ABD中，AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，又平面PAD⊥平面ABCD，∴BD⊥平面PAD，BD?平面PBD，∴平面PAD⊥平面PBD．解：（2）由（1）得AD⊥BD，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，過D作垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，令A(yù)D=1，則A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（，0，），=（﹣1，，0），=（﹣），=（﹣1，0，0），設(shè)平面PAB的法向量為=（x，y，z），則，取y=1，得=（），設(shè)平面PBC的法向量=（a，b，c），，取b=1，得=（0，1，2），∴cos＜＞===，由圖形知二面角A﹣PB﹣C的平面角為鈍角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值為﹣．6.【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．【分析】（Ⅰ）由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，可知CC1⊥AC，CC1⊥BC，∠ACB=90°，AC⊥BC．建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz．則A，B1，E，A1，可得，，，可知，根據(jù)，，推斷出AB1⊥CE，AB1⊥CA1，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AB1⊥平面A1CE．（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面A1CE的法向量，，進(jìn)而利用向量數(shù)量積求得直線A1C1與平面A1CE所成角的正弦值【解答】（Ⅰ）證明：∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥AC，CC1⊥BC，又∠ACB=90°，即AC⊥BC．如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz．A（2，0，0），B1（0，2，2），E（1，1，0），A1（2，0，2），∴，，．又因?yàn)?，，∴AB1⊥CE，AB1⊥CA1，AB1⊥平面A1CE．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，是平面A1CE的法向量，，∴|cos＜，＞|==．設(shè)直線A1C1與平面A1CE所成的角為θ，則sinθ=|cos＜，＞|=．所以直線A1C1與平面A1CE所成角的正弦值為．7.【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）只需證明AB⊥BF．AB⊥EF即可．（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面CDB的法向量為，平面EDB的法向量為，設(shè)二面角E﹣BD﹣C的大小為θ，則=，【解答】解：（Ⅰ）證：由已知DF∥AB且∠DAB為直角，故ABFD是矩形，從而AB⊥BF．又PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，∵AB⊥AD，故AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，在△PCD內(nèi)，E、F分別是PC、CD的中點(diǎn)，EF∥PD，∴AB⊥EF．由此得AB⊥平面BEF…（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面CDB的法向量為，平面EDB的法向量為，則可取設(shè)二面角E﹣BD﹣C的大小為θ，則=，所以，…8.【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）取PB中點(diǎn)N，連結(jié)MN，AN．由三角形中位線定理可得四邊形ADMN為平行四邊形．由AP⊥AD，AB⊥AD，由線面垂直的判定可得AD⊥平面PAB．進(jìn)一步得到AN⊥MN．再由AP=AB，得AN⊥PB，則AN⊥平面PBC．又AN∥DM，得DM⊥平面PBC；（2）以A為原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸的正方向，方向?yàn)閥軸的正方向，方向?yàn)閦軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)E（2，t，0）（0≤t≤4），再求得P，D，B的坐標(biāo)，得到的坐標(biāo)，求出平面PDE的法向量，再由題意得到平面DEB的一個(gè)法向量，由兩法向量夾角的余弦值得到實(shí)數(shù)λ的值．【解答】（1）證明：如圖，取PB中點(diǎn)N，連結(jié)MN，AN．∵M(jìn)是PC中點(diǎn)，∴MN∥BC，MN=BC=2．又∵BC∥AD，AD=2，∴MN∥AD，MN=AD，∴四邊形ADMN為平行四邊形．∵AP⊥AD，AB⊥AD，AP∩AB=A，∴AD⊥平面PAB．∵AN?平面PAB，∴AD⊥AN，則AN⊥MN．∵AP=AB，∴AN⊥PB，又MN∩PB=N，∴AN⊥平面PBC．∵AN∥DM，∴DM⊥平面PBC；（2）解：存在符合條件的λ．以A為原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸的正方向，方向?yàn)閥軸的正方向，方向?yàn)閦軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)E（2，t，0）（0≤t≤4），P（0，0，2），D（0，2，0），B（2，0，0），則，．設(shè)平面PDE的法向量=（x，y，z），則，令y=2，則z=2，x=t﹣2，取平面PDE的一個(gè)法向量為=（2﹣t，2，2）．又平面DEB即為xAy平面，故其一個(gè)法向量為=（0，0，1），∴cos＜＞==．解得t=3或t=1，∴λ=3或．9.【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出BE⊥AM，BC⊥AM，由此能證明AM⊥平面BEC．（Ⅱ）由VB﹣ACE=VE﹣ABC，能求出三棱錐B﹣ACE的體積．（Ⅲ）在平面QEC內(nèi)作QN⊥EC，QN交CE于點(diǎn)N．QN與AM共面，設(shè)該平面為a，推導(dǎo)出四邊形AMNQ是平行四方形，由此能求出AQ．【解答】證明：（Ⅰ）∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC=AB，BE⊥AB，BE?平面ABED，∴BE⊥平面ABC，又AM?平面ABC，∴BE⊥AM．又AB=AC，M是BC的中點(diǎn)，∴BC⊥AM，又BC∩BE=B，BC?平面BEC，BE?平面BEC，∴AM⊥平面BEC．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥平面ABC，∴h=BE=6．在Rt△ABM中，，又，∴．（Ⅲ）在平面QEC內(nèi)作QN⊥EC，QN交CE于點(diǎn)N．∵平面QEC⊥平面BEC，平面QEC∩平面BEC﹣EC，∴QN⊥平面BEC，又AM⊥平面BEC．∴QN∥AM．∴QN與AM共面，設(shè)該平面為a，∵ABED是長(zhǎng)方形，∴AQ∥BE，又Q?平面BEC，BE?平面BEC，∴AQ∥平面BEC，又AQ?α，α∩平面BEC=MN，∴AQ∥MN，又QN∥AM，∴四邊形AMNQ是平行四方形．∴AQ=MN．∵AQ∥BE，AQ∥MN，∴MN∥BE，又M是BC的中點(diǎn)．∴，∴AQ=MN=3．10.【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明EA⊥平面EBC；（2）求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可．【解答】（1）∵平面ABE⊥平面ABCD，且AB⊥BC，∴BC⊥平面ABE∵EA?平面ABE，∴EA⊥BC，∵EA⊥EB，EB∩BC=B，∴EA⊥平面EBC（2）取AB中O，連接EO，DO．∵EB=EA，∴EO⊥AB．∵平面ABE⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD∵AB=2CD，AB∥CD，AB⊥BC，∴DO⊥AB，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz如圖：設(shè)CD=1，則A（0，1，0），B（0，﹣1，0），C（1，﹣1，0），D（1，0，0），E（0，0，1），由（1）得平面EBC的法向量為=（0，1，﹣1），設(shè)平面BED的法向量為=（x，y，z），則，即，設(shè)x=1，則y=﹣1，z=1，則=（1，﹣1，1），則|cos＜，＞|===，故二面角C﹣BE﹣D的余弦值是．11.【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．【分析】（1）證明四邊形BCDO是平行四邊形，得出OB⊥AD；再證明BO⊥平面PAD，從而證明平面POB⊥平面PAD；（2）解法一：由，M為PC中點(diǎn)，證明N是AC的中點(diǎn)，MN∥PA，PA∥平面BMO．解法二：由PA∥平面BMO，證明N是AC的中點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，得．【解答】解：（1）證明：∵AD∥BC，，O為AD的中點(diǎn)，∴四邊形BCDO為平行四邊形，∴CD∥BO；又∵∠ADC=90°，∴∠AOB=90°，即OB⊥AD；又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BO⊥平面PAD；又∵BO?平面POB，∴平面POB⊥平面PAD；（2）解法一：，即M為PC中點(diǎn)，以下證明：連結(jié)AC，交BO于N，連結(jié)MN，∵AD∥BC，O為AD中點(diǎn)，AD=2BC，∴N是AC的中點(diǎn)，又點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)，∴MN∥PA，∵PA?平面BMO，MN?平面BMO，∴PA∥平面BMO．解法二：連接AC，交BO于N，連結(jié)MN，∵PA∥平面BMO，平面BMO∩平面PAC=MN，∴PA∥MN；又∵AD∥BC，O為AD中點(diǎn)，AD=2BC，∴N是AC的中點(diǎn)，∴M是PC的中點(diǎn)，則．12.【考點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）連結(jié)AF，由已知條件推導(dǎo)出面ABC⊥面BB1C1C，從而AF⊥B1F，由勾股定理得B1F⊥EF．由此能證明平面AB1F⊥平面AEF．（2）以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A，F(xiàn)B分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．【解答】（1）證明：連結(jié)AF，∵F是等腰直角三角形△ABC斜邊BC的中點(diǎn)，∴AF⊥BC．又∵三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，∴面ABC⊥面BB1C1C，∴AF⊥面BB1C1C，AF⊥B1F．…設(shè)AB=AA1=1，則，EF=，．∴=，∴B1F⊥EF．又AF∩EF=F，∴B1F⊥平面AEF．…而B1F?面AB1F，故：平面AB1F⊥平面AEF．…（2）解：以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A，F(xiàn)B分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)AB=AA1=1，則F（0，0，0），A（），B1（0，﹣，1），E（0，﹣，），，=（﹣，，1）．…由（1）知，B1F⊥平面AEF，取平面AEF的法向量：=（0，，1）．…設(shè)平面B1AE的法向量為，由，取x=3，得．…設(shè)二面角B1﹣AE﹣F的大小為θ，則cosθ=|cos＜＞|=||=．由圖可知θ為銳角，∴所求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值為．…13.【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LW：直線與平面垂直的判定．【分析】（I）只需證明DB⊥AC，BD⊥AE，即可得BD⊥平面ACFE；（II）取EF的中點(diǎn)為M，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A為x軸，以O(shè)B為y軸，以O(shè)M為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，D（0，﹣，0），F(xiàn)（﹣1，0，h），E（1，0，2），則，，利用向量法求解【解答】（I）證明：在菱形ABCD中，可得DB⊥AC，又因?yàn)锳E⊥平面ABCD，∴BD⊥AE，且AE∩AC=A，BD⊥平面ACFE；（II）解：取EF的中點(diǎn)為M，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A為x軸，以O(shè)B為y軸，以O(shè)M為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，D（0，﹣，0），F(xiàn)（﹣1，0，h），E（1，0，2），則，，設(shè)平面BDE的法向量，由，可取，|cos|=，?h=3，故F（﹣1，0，3），，，設(shè)平面BFE的法向量為，由，可取，，設(shè)平面DFE的法向量為，由，可取，cos=，二面角B﹣EF﹣D的余弦值為．14.【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）證明：AD⊥平面ABFE，即可證明平面PAD⊥平面ABFE；（Ⅱ）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程關(guān)系即可求正四棱錐P﹣ABCD的高．【解答】（Ⅰ）證明：直三棱柱ADE﹣BCF中，AB⊥平面ADE，所以：AB⊥AD，又AD⊥AF，所以：AD⊥平面ABFE，AD?平