《電磁場(chǎng)與電磁波》(第四版 )答案五章習(xí)題解答

五章習(xí)題解答真空中直線(xiàn)長(zhǎng)電流I5.1的磁通。解根據(jù)安培環(huán)路定理，得到長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)的電流I產(chǎn)生的磁場(chǎng)0Be I0zbddSzbddS穿過(guò)三角形回路面積的磁通為dSIdSI0x S

db22[x

dz]dx00

Idb

zdxxd 05.1z(xdtan6

x

d3，故得到3題5.1圖

d2xddxII03b3b2d

I b 3[23

)]通過(guò)電流密度為J的均勻電流的長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體中有一平行的圓柱形空腔，如題5.2示。計(jì)算各部分的磁感應(yīng)強(qiáng)度B，并證明腔內(nèi)的磁場(chǎng)是均勻的。解將空腔中視為同時(shí)存在J和J均勻的電流分布：一個(gè)電流密度為J、均勻分布在半徑為b的圓柱內(nèi)，另一個(gè)電流密度為J、均勻分布在半徑為a疊加即可得到圓柱內(nèi)外的磁場(chǎng)。C

BdlrJ bdrJ bdraoaoabb0

I，可得到電流密度為J、均勻分布在半徑為b的圓柱內(nèi)的電 0Jr rbB2 b bB流產(chǎn)生的磁場(chǎng)為 b b20

Jrb

rb 2 r2 bb電流密度為J、均勻分布在半徑為a的圓柱內(nèi)的電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)為 0B 2

Jra

raa

題5.2圖 a a J 0

ra 2 r2 a這里rra

分別是點(diǎn)o和oa

到場(chǎng)點(diǎn)P的位置矢量。BBa

疊加，可得到空間各區(qū)域的磁場(chǎng)為 b2 a2 B

0J r r

b)2 r2 bb

r2 a ba a2 B

0J

r (rb,

a)2 b

r2 a b aa空腔內(nèi)：B 2

Jrb

ra

Jd (r02 0

a)式中d是點(diǎn)和o到點(diǎn)o的位置矢量。由此可見(jiàn)，空腔內(nèi)的磁場(chǎng)是均勻的。b a下面的矢量函數(shù)中哪些可能是磁場(chǎng)？如果是，求其源變量J。Her

ar,B

H （圓柱坐標(biāo)）0Hex

(ay)ey

ax,BH0Hex

ax

ay,BHy 0Hear,BH（球坐標(biāo)系） 0解根據(jù)恒定磁場(chǎng)的基本性質(zhì)，滿(mǎn)足B0不是磁場(chǎng)的場(chǎng)矢量。若是磁場(chǎng)的場(chǎng)矢量，則可由JH求出源分布。1 1（1）在圓柱坐標(biāo)中B (rB) (ar2)2a0rr r rr該矢量不是磁場(chǎng)的場(chǎng)矢量。（2） B

(ay)(ax)0x yezezz0x y該矢量是磁場(chǎng)的矢量，其源分布為JH

x yay ax

e2az（3） B(ax)(ay)0x y

e e ex y z該矢量是磁場(chǎng)的場(chǎng)矢量，其源分布為JH

0axay01（4）在球坐標(biāo)系中B B 1 (ar)01rsin rsin該矢量是磁場(chǎng)的場(chǎng)矢量，其源分布為e1rr2sine1rr2sinr0 JH

e 0 ar2sin

actage2aA(r)

J(rd證明磁感應(yīng)強(qiáng)度的積分公式B(r)

R0J(r)Rd( )00并證明B( )00

R3解: B(r)A(r)

J(r)d

J(r)d

J(r) 1 4

R

R R0

J(r)(

R)dR3

J(r)Rd0 R30B[A(r)]0有一電流分布J(rerJz 0

(ra)，求矢量位A(r)和磁感應(yīng)強(qiáng)度B(r)。解由于電流只有ez

分量，且僅為r的函數(shù)，故A(r)也只有ez

分量，且僅為r的函數(shù)，即A(r)ez

A(rAz

(r)滿(mǎn)足的一維微分方程和邊界條件，即可求解出A(r)，然后由B(r)A(r)可求出B(r)。ra和raA(r

(r)。由于在ra時(shí)電流為零，所以1 21 2A(r) (r z1)Jr （ra）z1 r0 01 2A (r) (r z2)0 （ra）由此可解得

z2 r1A(r) z1 9

Jr3C0 0

lnrD1A (r)Cz2 2

lnrD2A(r)Az1 z

(r)滿(mǎn)足的邊界條件為①r0時(shí)，Az1

(r)為有限值②raAz1

(a)Az2

(a)，

ArArz1

raAArz2由條件①、②，有 C1

0， 9

Ja3C0 0

lnaD2

， 3

Ja2C0 0 2a1 1 1由此可解得 C2

3

Ja3，D0 0

3

Ja3( lna)0 0 3故A(r)1z1 9

Jr3D0 0 1

（ra）1 1 1A (r) Ja3lnr Ja3( lna) （ra）z2 3 0 0 3 0 0 3式中常數(shù)D1

由參考點(diǎn)確定，若令r0時(shí)，Az1

0D1

0。z P(x,y,z)

空間的磁感應(yīng)強(qiáng)度為1B(r)A(r)e Jr2 （ra）11 1 3 0 0 r

(r)

(r)e

Ja3 （ra）0 2 2 0 a b yIx

如題5.6圖所示，邊長(zhǎng)分別為a和b、載有電流I矩形回路。（1）求遠(yuǎn)處的任一點(diǎn)P(x,y,z)的矢量位A(r)，并證明它5.6

可以寫(xiě)成A(r)

p r0 m

eIab；r3 m z（2）由A求磁感應(yīng)強(qiáng)度B，并證明B可以寫(xiě)成0zBI(d) 式中dabee 場(chǎng)點(diǎn)對(duì)小電流回路所張的立體角。0zrI 1I 1RC0dl解（1）電流回路的矢量位為 A(r)Rxx)2yy)2z22[r22rsin(xcosysinx2y22

dl

dS，有

1dldS1( )C S R RC S( )( 而 ( )( R RI 100所以 A(r)

dS( )RS對(duì)于遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)，rx,ry，所以Rr，故10I10(r) 0

dS(1)00

[IdS](1)

Iab)( )4 r 4S

r z r

r p r 0p ( ) 0 m0（2）由于 A(r) p0

r)e

p sin0 m

m r3

r3mz

r3

r2故 BAer

1 rsin

(sinAcos

)e

1rre

(rA)e

p0 m4 r3

(e2coser

sin)又由于 er

2cose

sinr3( )r3(r2

z r)r2p ee 故 B 0 m(z r) 0

abee ( z r) 0

(d)r2 r2 半徑為a磁介質(zhì)球，具有磁化強(qiáng)度為Me(Az2B)z其中A和B為常數(shù)，求磁化電流和等效磁荷。m解Jm

Mez

(Az2B)ez

e2Az0z等效磁荷體密度為 mMz(Az2B)2Az磁介質(zhì)球表面的磁化電流面密度為J MnzIzI1 02x

r

eez

(Aa2cos2B)等效磁荷面密度為

e(Aa2cos2B)sin nMm

r

eer

(Aa2cos2B)(Aa2cos2B)cos5.8所示圖，無(wú)限長(zhǎng)直線(xiàn)電流I垂直于磁導(dǎo)率分別為5.8圖

和1

（1）兩種磁介質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B和B（2）磁化電流分布。1 2解（1）由安培環(huán)路定理，可得He I所以得到 BHe

2rI01 0B H

rI2（2）磁介質(zhì)在的磁化強(qiáng)度M

1B

H

()I0 2 0

2r0則磁化電流體密度 J

Me

1d(rM) e

(0

)I1

(r1)0m zrdr

z 0

rd rH(P)H(P)H(P)H(P)1 1 2 1lhH(P)H(P)1 21 22 22

r0處存在磁化線(xiàn)電流I 以z軸為中心r為半徑作一個(gè)圓形回路C由安培環(huán)路定理，110BdlIC0有 II m故得到

I m

1)I0題5.9圖JmS

在磁介質(zhì)的表面上，磁化電流面密度為M eeM ee()I2r0zz0r已知一個(gè)平面電流回路在真空中產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度為H0

，若此平面電流回路位于磁導(dǎo)率分別為和1

的兩種均勻磁介質(zhì)的分界平面上，試求兩種磁介質(zhì)中的磁場(chǎng)強(qiáng)度HH。1 2解由于是平面電流回路，當(dāng)其位于兩種均勻磁介質(zhì)的分界平面上時(shí)，分界面上的磁場(chǎng)只有法向分量，根據(jù)邊界條件，有BB1 2

B。在分界面兩側(cè)作一個(gè)小矩形回路，分別就真空和存在介質(zhì)兩種不同情況，應(yīng)用安培環(huán)路定律即可導(dǎo)出HHH的關(guān)系。1 2 05.92有HdlH(P)hH(P)hH(P)hH2有1 1 2 1 1 2

(P)hI （1）C因H垂直于分界面，所以積分式中Hl0。這里I為與小矩形回路交鏈的電流。對(duì)平面電流回路兩側(cè)為真空的情況，則有C2Hdl2H20 0C

(P)h2H1

(P)hI （2）由于P和P是分界面上任意兩點(diǎn)，由式和可得到HH 2H1 2 1 2 0即 BB2H21 0212于是得到B 1 2 H 01 2故有 H

B 22 H

H B 2 H1 11 1 21

2 02 1 2：A的切向分量是連續(xù)的。解由BA得 BdSAdSAdlC

（1）n媒質(zhì)①lA1h媒質(zhì)② CA2PP任作一個(gè)跨越分界面的狹小矩形回路Cn媒質(zhì)①lA1h媒質(zhì)② CA2式（1）應(yīng)用于回路C上，并令h趨于零，得到AdlA1

lA2

llimBdSh0 SCllA l02A由于矢量l

1平行于分界面，故有5.10圖

A A2t一根極細(xì)的圓鐵桿和一個(gè)很薄的圓鐵盤(pán)樣品放在磁場(chǎng)BB0

（鐵的磁導(dǎo)率為B和HB0

1T、50000

，求兩樣品內(nèi)的磁化強(qiáng)度M。解對(duì)于極細(xì)的圓鐵桿樣品，根據(jù)邊界條件H

H ，有2tHH0

B 0 0BHB 00MB

H

1(

1)B

4999 0 0 0 0 0對(duì)于很薄的圓鐵盤(pán)樣品，根據(jù)邊界條件B1n

B ，有2n0BB0HBB 0MBH(11)B

4999 0 50000 0 05.12r0

15ca2c，鉄芯的相對(duì)磁導(dǎo)率r

1400N1000匝線(xiàn)圈，通過(guò)電流IA。計(jì)算螺旋管的電感；在鉄芯上開(kāi)一個(gè)l0

的空氣隙，再計(jì)算電感（假設(shè)開(kāi)口后鉄芯的r

不變）求空氣隙和鉄芯內(nèi)的磁場(chǎng)能量的比值。解（1）由于ar0

，可認(rèn)為圓形截面上的磁場(chǎng)是均勻的，且等于截面的中心處的磁場(chǎng)。aor0l0I由安培環(huán)路定律，可得螺旋管內(nèi)的磁場(chǎng)為 aor0l0I2r0與螺線(xiàn)管鉸鏈的磁鏈為 NSH故螺線(xiàn)管的電感為

a2N2I2r0LI2

a2N22r0

140041070.0221000220.15

2.346H（）當(dāng)鐵芯上開(kāi)有小空氣隙時(shí)，由于可隙很小，可忽略邊緣

題5.12圖效應(yīng)，則在空氣隙與鉄芯的分界面上，磁場(chǎng)只有法向分量。根據(jù)邊界條件，有B0

BB，但空氣隙中的磁場(chǎng)強(qiáng)度H 與鐵芯中的磁場(chǎng)強(qiáng)度H 不同。根據(jù)安培環(huán)路定律，有0Hl H00

(2r0

l)NI0

NI又由于B H 、B

H 及B B

B，于是可得 B 0 r0 0

0 r 0

l(2rr0

l)0 a2N2I所以螺線(xiàn)管得磁鏈為

NSBl

0 r(2

l)故螺線(xiàn)管得電感為

r0 0 0

a2N2 210714000.02210002rLI l r

r

0.944H(2r0

l) 14000.00120.150.00101（3）空氣隙中的磁場(chǎng)能量為 Wm0

H2Sl2 0 0 0鉄芯中的磁場(chǎng)能量為 W 1H2S(2rl)m 2 0 r 0 0W l 14000.001故 m0 r0 l

1.487W rm 0 0

0.150.001L0

1Rm

，RNI激勵(lì)下，m電感量為L(zhǎng)N2R

。磁路中單匝激勵(lì)下的磁場(chǎng)儲(chǔ)能W R2 2，則NI激勵(lì)下的mW N。m m0

m0 m 0I解在單匝線(xiàn)圈勵(lì)磁下，設(shè)線(xiàn)圈中的電流為I，有0N2I

LI0

R NI激勵(lì)下，磁路m的磁通為 N0 Rm故電感量為 L N2I Rm

I2 R在單匝線(xiàn)圈勵(lì)磁下，W LI2 m

NI激勵(lì)下，磁路的磁能為m0 2 0

2R 2 0m1 N2I2 N2RW LI2 m2Nm 2 2R 2 0 m0ml1I1①l1I1①w1rS②w2l2一平面上，長(zhǎng)度分別為l和

，寬度分別為w

，兩線(xiàn)1 2圈最近的邊相距為S

1 2I I。設(shè)，兩線(xiàn)圈中分別載有電流和1 2ll1 2圈的互感是

l (Sw)(Sw)12M 02122

S(Sw1

w)2解由于ll1 25.14圖

圈②的回路中產(chǎn)生的磁場(chǎng)與兩根無(wú)限長(zhǎng)的平行直線(xiàn)電流產(chǎn)1生的磁場(chǎng)相同。線(xiàn)圈①中的電流I在線(xiàn)圈②的回路中產(chǎn)生的磁場(chǎng)為1I 1 1B 01( )12與線(xiàn)圈②交鏈的磁 12

r rw1

Sw2

(1

1 )ldr

Il

lnS

lnSww01

12