高二數(shù)學：專題20 數(shù)學歸納法（解析版）

專題20數(shù)學歸納法一、單選題1．（2020·河南省高二月考（理））利用數(shù)學歸納法證明時，第一步應證明（）A． B．C． D．【答案】D【解析】的初始值應為1，而.故選D2．（2020·白山市第一中學高二開學考試（理））某個命題與自然數(shù)有關(guān)，若時命題成立，那么可推得當時該命題也成立，現(xiàn)已知時，該命題不成立，那么可以推得A．時該命題不成立 B．時該命題成立C．時該命題不成立 D．時該命題成立【答案】C【解析】假設時該命題成立，由題意可得時，該命題成立，而時，該命題不成立，所以時，該命題不成立.而時，該命題不成立，不能推得該命題是否成立．故選C．3．（2020·寧縣第二中學高二期中（理））用數(shù)學歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時，不等式左邊（）A．增加了一項B．增加了兩項，C．增加了A中的一項，但又減少了另一項D．增加了B中的兩項，但又減少了另一項【答案】D【解析】當時，左邊，當時，左邊，所以，由遞推到時，不等式左邊增加了，；減少了；故選：D4．（2020·梅河口市第五中學高二月考（理））用數(shù)學歸納法證：（時）第二步證明中從“到”左邊增加的項數(shù)是（）A．項 B．項 C．項 D．項【答案】D【解析】當時，左邊，易知分母為連續(xù)正整數(shù)，所以，共有項；當時，左邊，共有項；所以從“到”左邊增加的項數(shù)是項.故選D5．（2018·黑龍江省哈爾濱市第六中學校高二期中（理））用數(shù)學歸納法證明“”，在驗證是否成立時，左邊應該是()A． B． C． D．【答案】C【解析】用數(shù)學歸納法證明“”，在驗證時，把代入，左邊.故選：C.6．（2019·瓦房店市實驗高級中學高二月考（理））用數(shù)學歸納法證明，則當時，左端應在的基礎(chǔ)上加上（）A． B．C． D．【答案】C【解析】當n=k時，等式左端=1+2+…+k2，當n=k+1時，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，增加了項（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．故選：C．7.（2020·江蘇省天一中學高二期中）對于不等式<n+1(n∈N*),某同學應用數(shù)學歸納法的證明過程如下:(1)當n=1時,<1+1,不等式成立.(2)假設當n=k(k∈N*)時,不等式成立,即<k+1.那么當n=k+1時,=(k+1)+1,所以當n=k+1時,不等式也成立.根據(jù)(1)和(2),可知對于任何n∈N*,不等式均成立.則上述證法（）A．過程全部正確 B．n=1驗得不正確C．歸納假設不正確 D．從n=k到n=k+1的證明過程不正確【答案】D【解析】題目中當n=k+1時不等式的證明沒有用到n=k時的不等式，正確的證明過程如下：在（2）中假設時有成立，即成立，即時成立，故選D．8．（2020·郟縣第一高級中學高二開學考試（理））用數(shù)學歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時不等式左邊（）A．增加了 B．增加了C．增加了，但減少了 D．以上各種情況均不對【答案】C【解析】當時，，當時，，故增加了，但減少了.故選：.9．（2020·甘肅省蘭州一中高二月考（理））用數(shù)學歸納法證明時，由“”等式兩邊需同乘一個代數(shù)式，它是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意有，假設時，成立，則當時，左邊右邊∴由數(shù)學歸納法可知上式成立∴顯然等式兩邊需同乘故選：D.10．（2020·巴楚縣第一中學高二期中（理））在應用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)條時，第一步驗證n等于()A．1B．2C．3D．0【答案】C【解析】因為多邊形的邊數(shù)最少是，即三角形，在應用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為條時，第一步驗證等于，故選C.11．（2020·河南省高二學業(yè)考試（理））利用數(shù)學歸納法證明“，”時，從””變到“”時，左邊應增加的因式是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意“”時，左邊為，“”時，左邊為，從而可得增加兩項為，且減少項為，故選D.12．（2018·浙江省諸暨中學高二月考）已知,存在自然數(shù),使得對任意,都能使整除,則最大的的值為()A．30 B．9 C．36 D．6【答案】C【解析】由，得，，，，由此猜想.下面用數(shù)學歸納法證明：(1)當時，顯然成立。(2)假設時，能被36整除，即能被36整除；當時,是2的倍數(shù)，能被36整除，當時，也能被36整除.由（1）（2）可知對一切正整數(shù)都有能被36整除，的最大值為36.故選：C.二、填空題13．（2019·邳州市第四中學高二期中（理））用數(shù)學歸納法證明且，第一步要證的不等式是_________．【答案】【解析】式子的左邊應是分母從1，依次增加1，直到，所以答案為．14．（2016·上海市金山中學高一期末）用數(shù)學歸納法證明“”，在驗證成立時，等號左邊的式子是______.【答案】【解析】因為左邊的式子是從開始，結(jié)束，且指數(shù)依次增加1所以，左邊的式子為，故答案為.15．（2019·江蘇省連云港市錦屏高級中學高二期中（理））利用數(shù)學歸納法證明“”時從“”變到“”時，左邊應增加的項是______________.【答案】【解析】當時，等式為，當時，等式為，因此，從“”變到“”時，左邊應增加的項是.故答案為：.16．（2019·江蘇省高二期中（理））用數(shù)學歸納法證明“當時，能被31整除”時，從到時需添加的項是______.【答案】【解析】根據(jù)數(shù)學歸納法，當時：原式為：；當時，原式為.故需添加的項是：.故答案為：.三、解答題17．（2020·陜西省西安一中高二期中（理））用數(shù)學歸納法證明：．【答案】詳見解析【解析】證明（1）當時，左邊，右邊，命題成立．（2）假設時，命題成立，即．則當時，．所以當時，命題成立．綜合（1）（2）可知，原命題成立．18．（2020·武威第六中學高二期中（理））已知數(shù)列的前項和為，且滿足，（1）求，，，并猜想數(shù)列的通項公式；（2）用數(shù)學歸納法證明你的猜想．【答案】（1），，，；（2）見解析【解析】（1），當時，，且，于是，從而可以得到，，猜想通項公式；（2）下面用數(shù)學歸納法證明：．①當時，滿足通項公式；②假設當時，命題成立，即，由（1）知，，即證當時命題成立.由①②可證成立．19．（2020·新疆維吾爾自治區(qū)高二期中（理））已知數(shù)列，，，…，，…，（1）計算；（2）由以上結(jié)果推測計算的公式，并用數(shù)學歸納法給出證明.【答案】（1）；（2），證明見詳解【解析】（1），，；（2）由（1）猜想，下面用數(shù)學歸納法加以證明：檢驗初始值時等式成立，假設時命題成立，證明當時，命題也成立.①時，，成立；②假設時，有成立，則當時，，時，猜想也成立，故由①，②可知，猜想對都成立.20．（2020·湖北省高二月考）已知數(shù)列滿足，．（1）計算，，的值，并猜想數(shù)列通項公式；（2）用數(shù)學歸納法證明（1）中的猜想．【答案】（1），，，猜想：．（2）見解析【解析】（1）因為數(shù)列滿足，，所以當時，，得，當時，，，得，當時，，，得由此猜想，（2）用數(shù)學歸納法證明如下：①當時，，猜想成立；②假設當時猜想成立，即；則當時，得所以當時猜想成立根據(jù)①、②可知猜想正確.21．（2020·白山市第一中學高二開學考試（理））已知數(shù)列，首項，前項和足.（1）求出，并猜想的表達式；（2）用數(shù)學歸納法證明你的猜想.【答案】（1），，，；（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)題意，由，，得：，由，得：，由，得：，由，得：，猜想的表達式為：；綜上所述，答案為：，，，；；（2）證明：1.當時，，∵，∴猜想正確；2.假設當時，猜想正確，即；那當時，由已知得：將歸納假設代入上式，得：∴，這就是說，當時，猜想正確；綜上所述1，2知：對一切，都有成立.22．（2018·浙江省高三月考）已知是等差數(shù)列,是等比數(shù)列,．設是數(shù)列的前項和．(1)求；(2)試用數(shù)學歸納法證明：．【答案】(1)；(2)見解析