高二數(shù)學(xué)：專題24 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用2（解析版）

專題24導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用（2）一、單選題1．（2020·四川省北大附中成都為明學(xué)校高二月考（理））函數(shù)的部分圖像大致為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，函數(shù)是偶函數(shù)，的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故排除B，又，故排除D.在時(shí)取最小值，即時(shí)取最小值，解得x=，此時(shí)故排除C.故選:A.2．（2020·四川省北大附中成都為明學(xué)校高二月考（理））已知函數(shù)在內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，在內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，故在存在變號(hào)零點(diǎn)，即在存在零點(diǎn)，∴.故選：A.3．（2020·四川省北大附中成都為明學(xué)校高二月考（理））已知函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】由，可得，由，可得，令，可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；故可得函數(shù)存在一個(gè)極值點(diǎn)，故選：B.4．（2020·黃岡中學(xué)第五師分校高二期中（理））設(shè)，，，則大小關(guān)系是()A． B．C． D．【答案】A【解析】考查函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，，，即，，故選A.5．（2020·江西省奉新縣第一中學(xué)高二月考（理））已知函數(shù)，是其導(dǎo)函數(shù)，恒有，則()A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，即，因?yàn)?，故，則上式等價(jià)于：，構(gòu)造函數(shù)，則，即在區(qū)間單調(diào)遞增.則，即，即，故正確，錯(cuò)誤；又，即，即，故錯(cuò)誤；又，即，即，故錯(cuò)誤.故選：A.6．（2020·黃岡中學(xué)第五師分校高二期中（理））若對(duì)于任意的，都有，則的最大值為（）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】由已知有，兩邊同時(shí)除以，化簡(jiǎn)有，而，構(gòu)造函數(shù)，令令，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由對(duì)于恒成立，即在為增函數(shù)，則，故的最大值為1，選C.7．（2020·蚌埠田家炳中學(xué)高二開學(xué)考試（理））已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足（是的導(dǎo)函數(shù)），則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，在不等式兩邊同時(shí)乘以得，即，所以，解得，因此，不等式的解集為，故選：D.點(diǎn)睛：本題考查利用構(gòu)造新函數(shù)求解函數(shù)不等式問題，其解法步驟如下：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，必要時(shí)分析該函數(shù)的奇偶性；（3）將不等式變形為，利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性求解.8．（2020·江西省石城中學(xué)高二月考（文））已知定義在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)定義域內(nèi)的任意，都有成立，則使得成立的的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，由，得，兩邊同乘得，設(shè)，則恒成立，∴在單調(diào)遞減，由，則，即，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以也是偶函數(shù)，則不等式等價(jià)，即，則或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選C．二、多選題9．（2020·山東省高二期中）已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】設(shè)，，則在上恒成立，故函數(shù)單調(diào)遞增，故，即，A正確；設(shè)，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，即，故，B錯(cuò)誤；設(shè)，，則在上恒成立，故函數(shù)單調(diào)遞增，，即，C正確；設(shè)，，則在上恒成立，故函數(shù)單調(diào)遞增，故，即，故，D正確.故選：ACD.10．（2020·江蘇省揚(yáng)州中學(xué)高二期中）關(guān)于函數(shù)，，下列說法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，在處的切線方程為B．當(dāng)時(shí)，存在唯一極小值點(diǎn)且C．對(duì)任意，在上均存在零點(diǎn)D．存在，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【解析】選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，，所以，故切點(diǎn)為，，所以切線斜率，故直線方程為：，即切線方程為：，選項(xiàng)A符合題意；選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，，，恒成立，所以單調(diào)遞增，又，，故存在唯一極值點(diǎn)，不妨設(shè)，則，即，，選項(xiàng)B符合題意；對(duì)于選項(xiàng)，，令，即，當(dāng)，且顯然沒有零點(diǎn)，故，且，所以，則令，，令，解得，，，所以單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，有極小值，單調(diào)遞增，單調(diào)單調(diào)遞減，有極大值，故選項(xiàng)C，任意均有零點(diǎn)，不符合，選項(xiàng)D，存在，有且只有唯一零點(diǎn)，此時(shí)，故選：ABD.11．（2020·山東省高二期中）已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）A．函數(shù)在時(shí)，取得極小值B．對(duì)于，恒成立C．若，則D．若，對(duì)于恒成立，則的最大值為，的最小值為1【答案】BCD【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以不是函?shù)的極值點(diǎn)，故A錯(cuò)；若，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；因此，故B正確；令，則，因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ栽谏虾愠闪?，因此函?shù)在上單調(diào)遞減；又，所以，即，所以，故C正確；因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減；所以時(shí)，函數(shù)也單調(diào)遞減，因此在上恒成立；令，，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，因此，即在上恒成立；綜上，在上恒成立，故D正確.故選：BCD.12．（2020·鹽城市大豐區(qū)新豐中學(xué)高二期中）關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（）A．是的極大值點(diǎn)B．函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)C．存在正實(shí)數(shù)，使得成立D．對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，，且，若，則.【答案】BD【解析】A.函數(shù)的的定義域?yàn)椋?，+∞），函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），∴（0，2）上，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，（2，+∞）上，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，∴x＝2是f（x）的極小值點(diǎn)，即A錯(cuò)誤；B.y＝f（x）﹣xlnx﹣x，∴y′10，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減，且f（1）﹣1ln1﹣1=1>0，f（2）﹣2ln2﹣2=ln2﹣1<0，∴函數(shù)y＝f（x）﹣x有且只有1個(gè)零點(diǎn)，即B正確；C.若f（x）＞kx，可得k，令g（x），則g′（x），令h（x）＝﹣4+x﹣xlnx，則h′（x）＝﹣lnx，∴在x∈（0，1）上，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增，x∈（1，+∞）上函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，∴h（x）?h（1）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）上函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)無最小值，∴不存在正實(shí)數(shù)k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正確；D.令t∈（0，2），則2﹣t∈（0，2），2+t＞2，令g（t）＝f（2+t）﹣f（2﹣t）ln（2+t）ln（2﹣t）ln，則g′（t）0，∴g（t）在（0，2）上單調(diào)遞減，則g（t）＜g（0）＝0，令x1＝2﹣t，由f（x1）＝f（x2），得x2＞2+t，則x1+x2＞2﹣t+2+t＝4，當(dāng)x2≥4時(shí)，x1+x2＞4顯然成立，∴對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）＝f（x2），則x1+x2＞4，故D正確故正確的是BD，故選：BD．三、填空題13．（2020·福建省南安市僑光中學(xué)高二月考）已知a為函數(shù)f(x)=x3-12x的極小值點(diǎn),則a=____.【答案】2【解析】f′=3x2-12=3,令f′=0,得x=-2或x=2,易知f在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故f的極小值為f,所以a=2.14．（2020·江蘇省揚(yáng)州中學(xué)高二期中）若對(duì)任意x＞0，恒有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_____.【答案】【解析】由不等式，可得，設(shè)，則，設(shè)，當(dāng)0＜t＜1時(shí)，；當(dāng)t＞1時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，因此在上單調(diào)遞增，由得eax≥x2，即，設(shè)，，當(dāng)x＞e時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)0＜x＜e時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，從而的最大值為，故.故答案為:.15．（2020·寧夏回族自治區(qū)寧夏育才中學(xué)高二開學(xué)考試（理））設(shè)函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)使得恒成立，則的取值范圍是____________．【答案】【解析】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，要使得存在?shí)數(shù)使得恒成立，即恒成立，只需恒成立，即恒成立，即，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，即，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，即，所以只需，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：.16．（2020·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）某商場(chǎng)銷售某種商品，該商品的成本為3元/千克，每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式，其中，當(dāng)銷售價(jià)格為_______元時(shí)，商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的最大利潤(rùn)為__________元.【答案】421【解析】設(shè)商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)為元，則，則，令，得，令，得，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以時(shí)，取得最大值，最大值為21元.故答案為：（1）4（2）21四、解答題17．（2020·周口市中英文學(xué)校高二月考（理））已知函數(shù)（1）求函數(shù)在上的最大值和最小值；（2）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在的下方．【答案】（1）的最小值是，最大值是；（2）證明詳見解析.【解析】(1)因?yàn)閒(x)＝x2＋lnx，所以因?yàn)閤>1時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)在[1，e]上是增函數(shù)，所以f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2.(2)證明：令，所以因?yàn)閤>1，所以F′(x)<0，所以F(x)在(1，＋∞)上是減函數(shù)，所以.所以f(x)<g(x)．所以當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象在的下方．18.（2020·廣西壯族自治區(qū)高三其他（文））已知函數(shù)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）若，證明：；（2）若時(shí)，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以在時(shí)取得極小值，也是最小值.所以.（2）令，，由時(shí)，都有，所以在上恒成立.由，令，則在上恒成立.所以在上單調(diào)遞增，又，①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，滿足題意.②當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，存在，使得當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，這與在上恒成立矛盾.綜上所述，，即實(shí)數(shù)a的取值范圍.19．（2020·甘肅省高三二模（文））已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）極大值為，極小值為.（2）【解析】（1）由得，故.令，解得或，由，得或，所以在和單調(diào)遞增，由，得，所以在單調(diào)遞減.所以極大值為，極小值為.（2），，令，得，，（i）當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞減，依題意則有成立，得，此時(shí)不成立；（ii）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，依題意則有得，由于，故此時(shí)不成立；（iii）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，依題意則有，得綜上，的取值范圍是.20．（2020·福建省高三二模（文））已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）當(dāng)時(shí)，，求整數(shù)的最大值．【答案】（1）當(dāng)時(shí)，無極值；當(dāng)時(shí)，有極小值，無極大值．（2）1【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，①當(dāng)時(shí)，，在為增函數(shù)，無極值；②當(dāng)時(shí)，由得，由得；所以在為減函數(shù)，在為增函數(shù)．當(dāng)時(shí)，取極小值，綜上，當(dāng)時(shí)，無極值；當(dāng)時(shí)，有極小值，無極大值．（2）當(dāng)時(shí)，，將函數(shù)看成以為主元的一次函數(shù)，則只需證即可，因?yàn)?，所以只需，令，，所以．，令，，所以在遞增，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，，使得，即．當(dāng)時(shí)，，即，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即，為增函數(shù)，所以，故；在遞增，，所以，又所以整數(shù)的最大值是1．21．（2020·雞澤縣第一中學(xué)高二開學(xué)考試）已知函數(shù)ae2x+(a﹣2)ex﹣x.（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）的定義域?yàn)椋?，（ⅰ）若，則，所以在單調(diào)遞減.（ⅱ）若，則由得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）（?。┤?，由（1）知，至多有一個(gè)零點(diǎn).（ⅱ）若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.①當(dāng)時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，由于，即，故沒有零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，即.又，故在有一個(gè)零點(diǎn).設(shè)正整數(shù)滿足，則.由于，因此在有一個(gè)零點(diǎn).綜上，的取值范圍為.點(diǎn)睛:研究函數(shù)零點(diǎn)問題常常與研究對(duì)應(yīng)方程的實(shí)根問題相互轉(zhuǎn)化.已知函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)求參數(shù)a的取值范圍，第一種方法是分離參數(shù)，構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù)，研究其單調(diào)性、極值、最值，判斷與其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而求出a的取值范圍；第二種方法是直接對(duì)含參函數(shù)進(jìn)行研究，研究其單調(diào)性、極值、最值，注意點(diǎn)是若有2個(gè)零點(diǎn)，且函數(shù)先減后增，則只需其最小值小于0，且后面還需驗(yàn)證最小值兩邊存在大