《初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料》2018屆中考數(shù)學(xué)提升練習(xí)：專題(九) 以全等為背景的計算與證明

專題提升(九)以全等為背景的計算與證明【經(jīng)典母題】圖Z9－1如圖Z9－1，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線．求證：AD⊥圖Z9－1證明：在△ABD和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝CD（中線的定義），,AB＝AC（已知），,AD＝AD（公共邊），))∴__△ABD__≌__△ACD__(SSS)，∴∠ADB＝__∠ADC__(全等三角形的對應(yīng)角相等)．∴∠ADB＝eq\f(1,2)∠BDC＝90°(平角的定義)，∴AD⊥BC(垂直的定義)．【思想方法】(1)證明兩角相等，可證它們所在的兩個三角形全等；(2)由平行線可得同位角或者內(nèi)錯角相等；(3)要完成一般三角形全等的證明，必須以SAS，ASA，AAS，SSS作為依據(jù)．【中考變形】1．[2017·宜賓]如圖Z9－2，已知點B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，圖Z9－2AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF.求證：BE＝CF.證明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F.在△ABC和△DEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠D，,∠ACB＝∠F，,AB＝DE，))∴△ABC≌△DEF(AAS)，∴BC＝EF，∴BC－EC＝EF－EC，即BE＝CF.2．[2017·南充]如圖Z9－3，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分別是E，F(xiàn)，DE＝CF，AE＝BF.求證：AC∥BD.圖Z9－3證明：∵AE＝BF，∴AE＋EF＝BF＋EF，即AF＝BE.∵DE⊥AB，CF⊥AB，∴∠AFC＝∠BED＝90°.在△AFC和△BED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AF＝BE，,∠AFC＝∠BED，,CF＝DE，))∴△AFC≌△BED(SAS)，∴∠A＝∠B，∴AC∥BD.3．[2016·南充]已知△ABN和△ACM位置如圖Z9－4所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2.求證：圖Z9－4(1)BD＝CE；(2)∠M＝∠N.證明：(1)在△ABD和△ACE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠1＝∠2，,AD＝AE，))∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD＝CE；(2)∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAE＝∠2＋∠DAE，即∠BAN＝∠CAM，由(1)得△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠C，在△ACM和△ABN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠C＝∠B，,AC＝AB，,∠CAM＝∠BAN，))∴△ACM≌△ABN(ASA)，∴∠M＝∠N.4．[2016·孝感]如圖Z9－5，BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E，AD＝AE.求證：BE＝CD.圖Z9－5證明：∵BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在△ADB和△AEC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADB＝∠AEC，,AD＝AE，,∠A＝∠A，))∴△ADB≌△AEC(ASA)，∴AB＝AC，又∵AD＝AE，∴AB－AE＝AC－AD，∴BE＝CD.5．如圖Z9－6，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于點D，過點D作DE⊥AB于點E.(1)求證：△ACD≌△AED；(2)若∠B＝30°，CD＝1，求BD的長．圖Z9－6解：(1)證明：∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠EAD.∵DE⊥AB，∠C＝90°，∴∠C＝∠AED＝90°.又∵AD＝AD，∴△ACD≌△AED(AAS)；(2)∵△ACD≌△AED，∴DE＝CD＝1.∵∠B＝30°，∠DEB＝90°，∴BD＝2DE＝2.6．如圖Z9－7，在△ABC與△DCB中，AC與BD交于點E，且∠A＝∠D，AB＝DC.(1)求證：△ABE≌△DCE；(2)當(dāng)∠AEB＝50°時，求∠EBC的度數(shù)．圖Z9－7解：(1)證明：∵在△ABE和△DCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠D，,∠AEB＝∠DEC，,AB＝DC，))∴△ABE≌△DCE(AAS)；(2)∵△ABE≌△DCE，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB.∵∠EBC＋∠ECB＝∠AEB＝50°，∴∠EBC＝25°.7．[2017·齊齊哈爾]如圖Z9－8，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝AD，DG＝DC，E，F(xiàn)分別是BG，AC的中點．圖Z9－8(1)求證：DE＝DF，DE⊥DF；(2)連結(jié)EF，若AC＝10，求EF的長．解：(1)證明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在△BDG和△ADC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝AD，,∠BDG＝∠ADC，,DG＝DC，))∴△BDG≌△ADC(SAS)，∴BG＝AC，∠BGD＝∠C，∵∠ADB＝∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別是BG，AC的中點，∴DE＝eq\f(1,2)BG＝EG，DF＝eq\f(1,2)AC＝AF，∴DE＝DF，∠EDG＝∠EGD，∠FDA＝∠FAD，∴∠EDG＋∠FDA＝90°，∴DE⊥DF；(2)∵AC＝10，∴DE＝DF＝5，由勾股定理，得EF＝eq\r(DE2＋DF2)＝5eq\r(2).8．我們把兩組鄰邊相等的四邊形叫做“箏形”．如圖Z9－9，四邊形ABCD是一個箏形，其中AB＝CB，AD＝CD.對角線AC，BD相交于點O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分別是E，F(xiàn).求證：OE＝OF.圖Z9－9證明：∵在△ABD和△CBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CB，,AD＝CD，,BD＝BD，))∴△ABD≌△CBD(SSS)，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC.又∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE＝OF.【中考預(yù)測】如圖Z9－10，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE＝CF.圖Z9－10(1)求證：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度數(shù)．解：(1)證明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝CF，,AB＝CB，))∴Rt△ABE≌