(新教材)人教B數(shù)學(xué)必修第三冊新素養(yǎng)突破課件：811向量數(shù)量積的概念

第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換8.1向量的數(shù)量積8.1.1向量數(shù)量積的概念第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換(新教材)人教B數(shù)學(xué)必修第三冊新素養(yǎng)突破課件：811向量數(shù)量積的概念1.兩個(gè)向量的夾角1.兩個(gè)向量的夾角【思考】在△ABC中,向量與向量的夾角是角B嗎?為什么?提示:不是.向量與向量的夾角是角B的補(bǔ)角.【思考】2.向量的數(shù)量積2.向量的數(shù)量積【思考】(1)向量的數(shù)量積a·b與向量加法、減法和數(shù)乘的區(qū)別是什么?提示:向量的數(shù)量積a·b是一個(gè)實(shí)數(shù),不考慮方向;向量加法、減法和數(shù)乘仍是向量,既有大小又有方向.【思考】(2)向量的數(shù)量積a·b什么時(shí)候?yàn)檎?什么時(shí)候?yàn)樨?fù),什么時(shí)候?yàn)榱?提示:當(dāng)0°≤<a,b><90°時(shí),a·b為正;當(dāng)90°<<a,b>≤180°時(shí),a·b為負(fù);當(dāng)<a,b>=90°時(shí),a·b為零.(2)向量的數(shù)量積a·b什么時(shí)候?yàn)檎?什么時(shí)候?yàn)樨?fù),什么時(shí)候(3)根據(jù)向量數(shù)量積的定義,如何求兩個(gè)非零向量a與b的夾角?提示:先求cos<a,b>=,再根據(jù)余弦值求<a,b>.(3)根據(jù)向量數(shù)量積的定義,如何求兩個(gè)非零向量a與b的夾角?(4)|a·b|≤|a||b|中等號(hào)何時(shí)成立?提示:當(dāng)a與b共線時(shí),等號(hào)成立.(4)|a·b|≤|a||b|中等號(hào)何時(shí)成立?3.向量的投影與向量數(shù)量積的幾何意義(1)作法:設(shè)非零向量=a,過A,B分別作直線l的垂線,垂足分別為A′,B′.(2)結(jié)論:稱向量為向量a在直線l上的投影向量或投影.3.向量的投影與向量數(shù)量積的幾何意義(3)投影的數(shù)量:如果a,b都是非零向量,則稱|a|cos<a,b>為向量a在向量b上的投影的數(shù)量.(4)向量數(shù)量積的幾何意義:兩個(gè)非零向量a,b的數(shù)量積a·b,等于a在向量b上的投影的數(shù)量與b的模的乘積.(3)投影的數(shù)量:如果a,b都是非零向量,則稱|a|cos<【思考】一個(gè)向量在一個(gè)非零向量上的投影,與這個(gè)非零向量共線嗎?若共線,它們的方向相同還是相反?提示:一個(gè)向量在一個(gè)非零向量上的投影,一定與這個(gè)非零向量共線,但它們既有可能方向相同,也有可能方向相反.【思考】【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)兩個(gè)非零向量的夾角是唯一確定的. (

)(2)若非零向量a與b共線,則<a,b>=0°. (

)(3)a·b不能寫成a×b,也不能寫成ab. (

)【素養(yǎng)小測】提示:(1)√.由兩個(gè)向量夾角的定義可知.(2)×.若非零向量a與b共線,則<a,b>=0°或<a,b>=180°.(3)√.兩個(gè)向量的數(shù)量積只能表示為a·b.提示:(1)√.由兩個(gè)向量夾角的定義可知.2.若|a|=2,|b|=1,a與b的夾角為60°,則a·b等于

(

)

A. B. C.1 D.2【解析】選C.a·b=|a|·|b|cos<a,b>=2×1×cos60°=1.2.若|a|=2,|b|=1,a與b的夾角為60°,則a·b3.已知|a|=9,|b|=6,a·b=-54,則a與b的夾角θ為

(

)A.45° B.135° C.120° D.150°【解析】選B.cosθ==又因?yàn)?≤θ≤π,所以θ=π,即θ=135°.3.已知|a|=9,|b|=6,a·b=-54,則a與4.已知|a|=8,|b|=4,<a,b>=120°,則向量b在a方向上的投影的數(shù)量為 (

)A.4 B.-4 C.2 D.-2【解析】選D.向量b在a方向上的投影的數(shù)量為|b|cos<a,b>=4×cos120°=-2.4.已知|a|=8,|b|=4,<a,b>=120°,則向量5.若向量a與b的夾角為60°,則向量-a與b的夾角為________.

5.若向量a與b的夾角為60°,則向量-a與b的夾角為___【解析】如圖,向量-a與a互為相反向量,所以向量-a與b的夾角為120°.答案:120°【解析】如圖,向量-a與a互為相反向量,類型一求兩向量的數(shù)量積【典例】1.在△ABC中,||=10,||=5,∠B=135°,則·的值是________.

2.已知|a|=4,|b|=5,當(dāng)(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a與b的夾角為30°時(shí),分別求a與b的數(shù)量積.類型一求兩向量的數(shù)量積【思維·引】1.確定與的夾角,依據(jù)數(shù)量積的定義求值.2.依據(jù)數(shù)量積的定義求值,關(guān)注以下兩點(diǎn):(1)注意兩個(gè)向量的夾角;(2)當(dāng)a∥b時(shí),要注意夾角為0°和180°兩種情況.【思維·引】【解析】1.易知cos<,>=cos(180°-∠B)=cos45°=.所以·=||·||cos<,>=10×5×=50.答案:50【解析】1.易知cos<,>=cos(180°-2.(1)當(dāng)a∥b時(shí)，若a與b同向，則〈a,b〉＝0°，a·b＝|a|·|b|cos0°=4×5＝20；若a與b反向，則〈a,b〉=180°，所以a·b＝|a|·|b|cos180°=4×5×(-1)=-20.2.(1)當(dāng)a∥b時(shí)，若a與b同向，則〈a,b〉＝0°，(2)當(dāng)a⊥b時(shí)，〈a,b〉=90°，所以a·b＝|a|·|b|cos90°=0.(3)當(dāng)a與b的夾角為30°時(shí)，a·b＝|a|·|b|cos30°=4×5×=10.(2)當(dāng)a⊥b時(shí)，〈a,b〉=90°，【內(nèi)化·悟】求兩個(gè)向量的數(shù)量積時(shí),要確定哪幾個(gè)量?提示:需要確定兩個(gè)向量的模及向量的夾角.【內(nèi)化·悟】【類題·通】求平面向量數(shù)量積的步驟(1)求a與b的夾角<a,b>,<a,b>∈[0,π].(2)分別求|a|和|b|.(3)求數(shù)量積,即a·b=|a|·|b|cos<a,b>.【類題·通】【習(xí)練·破】已知正三角形ABC的邊長為1,求:

【習(xí)練·破】【解析】(1)因?yàn)榕c的夾角為60°.所以·=||||cos60°=1×1×=.(2)因?yàn)榕c的夾角為120°.所以·=||||cos120°=1×1×

【解析】(1)因?yàn)榕c的夾角為60°.(3)因?yàn)榕c的夾角為60°,所以·=||||cos60°=1×1×=.(3)因?yàn)榕c的夾角為60°,【加練·固】如圖所示,在?ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°,求:

【加練·固】【解析】(1)因?yàn)椤?且方向相同,所以與的夾角是0°,所以·=||||cos0°=3×3×1=9.【解析】(1)因?yàn)椤?且方向相同,(2)因?yàn)椤?且方向相反,所以與的夾角是180°,所以·=||||cos180°=4×4×(-1)=-16.(2)因?yàn)椤?且方向相反,(3)因?yàn)榕c的夾角為60°,所以與的夾角為120°,所以·=||||cos120°=4×3×=-6.(4)因?yàn)榕c的夾角為60°,·=||||cos60°=3×4×=6.(3)因?yàn)榕c的夾角為60°,類型二向量數(shù)量積的幾何意義【典例】1.已知|a|=3,|b|=5,且a·b=-12,則a在b方向上投影的數(shù)量為________,b在a方向上投影的數(shù)量為________.

類型二向量數(shù)量積的幾何意義2.在△ABC中,已知||=5,||=4,||=3,求:(1)·.(2)在方向上的投影的數(shù)量.2.在△ABC中,已知||=5,||=4,|【思維·引】1.依據(jù)一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影的數(shù)量的定義求值.2.(1)判斷△ABC的形狀,求有關(guān)角的余弦值,依據(jù)

·=-·求值.(2)依據(jù)一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影的數(shù)量的定義求值.【思維·引】1.依據(jù)一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影【解析】1.a·b=|a|·|b|cos<a,b>=-12,所以向量a在向量b方向上投影的數(shù)量為|a|·cos<a,b>=;向量b在向量a方向上投影的數(shù)量為|b|·cos<a,b>==-4.答案:-

-4【解析】1.a·b=|a|·|b|cos<a,b>=-12,2.因?yàn)閨|=5,||=4,||=3,所以△ABC為直角三角形,且C=90°.所以cosA=,cosB=.(1)·=-·=-5×4×=-16.(2)||·cos<,>=2.因?yàn)閨|=5,||=4,||=3,【內(nèi)化·悟】分兩個(gè)向量的夾角為銳角和鈍角兩種情況,說明b在a方向上的投影的數(shù)量,何時(shí)為正,何時(shí)為負(fù)?【內(nèi)化·悟】提示:具體情況可以借助下表分析:提示:具體情況可以借助下表分析:【類題·通】求向量的投影(或其數(shù)量)的關(guān)注點(diǎn)和計(jì)算方法(1)關(guān)注點(diǎn):注意a在b上的投影與b在a上的投影不同,審題時(shí)要看清.【類題·通】(2)計(jì)算方法:a在b方向上的投影的數(shù)量為|a|cos<a,b>=,b在a方向上的投影的數(shù)量為|b|cos<a,b>=.(2)計(jì)算方法:a在b方向上的投影的數(shù)量為【習(xí)練·破】如圖,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D是BC邊的中點(diǎn),求:(1)在方向上投影的數(shù)量;(2)在方向上投影的數(shù)量.【習(xí)練·破】【解析】連接AD,因?yàn)锳B=AC=4,∠BAC=90°,所以△ABC是等腰直角三角形.又因?yàn)镈是BC邊的中點(diǎn),所以AD⊥BC,∠ABD=45°,所以BD=2.延長AB到E(如圖所示),則與的夾角為∠DBE=180°-45°=135°.【解析】連接AD,因?yàn)锳B=AC=4,∠BAC=90°,因此,(1)在方向上投影的數(shù)量是||cos135°=4×=-2.(2)在方向上投影的數(shù)量是||cos135°=2×=-2.因此,【加練·固】已知|a|=4,|b|=5,則a在b上的投影數(shù)量與b在a上的投影數(shù)量的比值λ=________.

【解析】由題意,得λ=答案:

【加練·固】類型三向量數(shù)量積的性質(zhì)及應(yīng)用角度1與向量的夾角、垂直有關(guān)的問題【典例】1.E,F,G,H分別是四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),若(+)·(+)=0,則四邊形EFGH是 (

)

A.梯形 B.正方形 C.菱形 D.矩形類型三向量數(shù)量積的性質(zhì)及應(yīng)用2.已知a,b是兩個(gè)非零向量. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)若|a|=3,|b|=4,|a·b|=6,求a與b的夾角.(2)若|a|=|b|=|a-b|,求a與a+b的夾角.2.已知a,b是兩個(gè)非零向量. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)【思維·引】1.根據(jù)向量加法的三角形法則變形,利用向量垂直的幾何意義判斷垂直關(guān)系.2.(1)利用向量數(shù)量積的公式求解;(2)利用向量的幾何意義求解.【思維·引】1.根據(jù)向量加法的三角形法則變形,利用向量垂直的【解析】1.選D.如圖,連接AC,BD,則由題意可知,EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH,同樣,GF∥BD,EH∥BD,【解析】1.選D.如圖,連接AC,BD,所以GF∥EH,所以四邊形EFGH是平行四邊形,又(+)·(+)=0,即·=0,所以⊥,即AC⊥BD,所以EF⊥GF,所以四邊形EFGH是矩形.所以GF∥EH,所以四邊形EFGH是平行四邊形,2.(1)因?yàn)閍·b=|a||b|cos<a,b>,所以|a·b|=||a||b|cos<a,b>|=|a||b||cos<a,b>|=6.又|a|=3,|b|=4,所以|cos<a,b>|=所以cos<a,b>=±.因?yàn)?lt;a,b>∈[0,π],所以a與b的夾角為或.2.(1)因?yàn)閍·b=|a||b|cos<a,b>,(2)如圖,在平面內(nèi)取一點(diǎn)O,作=a,=b,以,為鄰邊作?OACB,因?yàn)閨a|=|b|,即||=||,所以四邊形OACB為菱形,OC平分∠AOB,這時(shí)=a+b,=a-b,因?yàn)閨a|=|b|=|a-b|,即||=||=||,(2)如圖,在平面內(nèi)取一點(diǎn)O,作=a,=b,以所以∠AOB=,所以∠AOC=,即a與a+b的夾角為.所以∠AOB=,所以∠AOC=,即a與a+b的夾【素養(yǎng)·探】在與向量的夾角有關(guān)的問題中,經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的直觀想象,根據(jù)兩個(gè)向量夾角的定義,畫圖確定兩個(gè)向量的夾角.將本例2(2)條件“|a|=|b|=|a-b|”改為“|a+b|=|a-b|=2|a|”,求向量a+b與a-b的夾角.【素養(yǎng)·探】【解析】如圖在以a和b為鄰邊的平行四邊形ABCD中,因?yàn)閨a+b|=|a-b|,所以四邊形ABCD為矩形.在Rt△ABD中,|a-b|=2|a|,所以∠ABD=.所以a+b和a-b的夾角為.【解析】如圖在以a和b為鄰邊的平行四邊形ABCD中,角度2與向量的模有關(guān)的問題【典例】已知x=1是方程x2+|a|x+a·b=0的根,且a2=4,a與b的夾角為120°.求向量b的模. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)角度2與向量的模有關(guān)的問題【思維·引】依據(jù)a2=|a|2求|a|,依據(jù)方程根的定義求a·b,用向量數(shù)量積的定義列方程求向量b的模.【思維·引】依據(jù)a2=|a|2求|a|,依據(jù)方程根的定義求a【解析】因?yàn)閍2=4,所以|a|2=4,即|a|=2,將x=1代入原方程可得1+2×1+a·b=0,所以a·b=-3,所以a·b=|a||b|cos<a,b>=2|b|cos120°=-3,所以|b|=3.【解析】因?yàn)閍2=4,所以|a|2=4,即|a|=2,【類題·通】1.求向量夾角的基本步驟及注意事項(xiàng)(1)步驟:【類題·通】(2)注意:在個(gè)別含有|a|,|b|與a·b的等量關(guān)系式中,常利用消元思想計(jì)算cos<a,b>的值.2.求解向量模的問題要靈活應(yīng)用a2=|a|2,即|a|=,勿忘記開方.(2)注意:在個(gè)別含有|a|,|b|與a·b的等量關(guān)系式中,【習(xí)練·破】1.已知|a|=4,|b|=2,b2-a2=3a·b,則向量a與向量b的夾角等于 (

)A. B. C. D.【習(xí)練·破】【解析】選B.由已知得,3a·b=b2-a2=|b|2-|a|2=22-42=-12,所以a·b=-4,所以cos<a,b>=又0≤<a,b>≤π,所以<a,b>=.【解析】選B.由已知得,3a·b=b2-a2=|b|2-|a2.已知非零向量a,b的夾角為45°,且|a|=2,a2-2a·b+b2=4,則|b|=________.

2.已知非零向量a,b的夾角為45°,且|a|=2,【解析】因?yàn)閨a|=2,<a,b>=45°,所以由a2-2a·b+b2=4得|a|2-2|a||b|cos45°+|b|2=4,即4-2|b|+|b|2=4,解得|b|=2或|b|=0,因?yàn)閎是非零向量,所以|b|=2.答案:2【解析】因?yàn)閨a|=2,<a,b>=45°,【加練·固】已知a,b,a·b=40,|a|=10,|b|=8,求a與b的夾角.【解析】因?yàn)閍·b=|a||b|cosθ,θ為a與b的夾角,而a·b=40,|a|=10,|b|=8,所以cosθ=又因?yàn)?°≤θ≤180°,所以a與b的夾角為60°.【加練·固】第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換8.1向量的數(shù)量積8.1.1向量數(shù)量積的概念第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換(新教材)人教B數(shù)學(xué)必修第三冊新素養(yǎng)突破課件：811向量數(shù)量積的概念1.兩個(gè)向量的夾角1.兩個(gè)向量的夾角【思考】在△ABC中,向量與向量的夾角是角B嗎?為什么?提示:不是.向量與向量的夾角是角B的補(bǔ)角.【思考】2.向量的數(shù)量積2.向量的數(shù)量積【思考】(1)向量的數(shù)量積a·b與向量加法、減法和數(shù)乘的區(qū)別是什么?提示:向量的數(shù)量積a·b是一個(gè)實(shí)數(shù),不考慮方向;向量加法、減法和數(shù)乘仍是向量,既有大小又有方向.【思考】(2)向量的數(shù)量積a·b什么時(shí)候?yàn)檎?什么時(shí)候?yàn)樨?fù),什么時(shí)候?yàn)榱?提示:當(dāng)0°≤<a,b><90°時(shí),a·b為正;當(dāng)90°<<a,b>≤180°時(shí),a·b為負(fù);當(dāng)<a,b>=90°時(shí),a·b為零.(2)向量的數(shù)量積a·b什么時(shí)候?yàn)檎?什么時(shí)候?yàn)樨?fù),什么時(shí)候(3)根據(jù)向量數(shù)量積的定義,如何求兩個(gè)非零向量a與b的夾角?提示:先求cos<a,b>=,再根據(jù)余弦值求<a,b>.(3)根據(jù)向量數(shù)量積的定義,如何求兩個(gè)非零向量a與b的夾角?(4)|a·b|≤|a||b|中等號(hào)何時(shí)成立?提示:當(dāng)a與b共線時(shí),等號(hào)成立.(4)|a·b|≤|a||b|中等號(hào)何時(shí)成立?3.向量的投影與向量數(shù)量積的幾何意義(1)作法:設(shè)非零向量=a,過A,B分別作直線l的垂線,垂足分別為A′,B′.(2)結(jié)論:稱向量為向量a在直線l上的投影向量或投影.3.向量的投影與向量數(shù)量積的幾何意義(3)投影的數(shù)量:如果a,b都是非零向量,則稱|a|cos<a,b>為向量a在向量b上的投影的數(shù)量.(4)向量數(shù)量積的幾何意義:兩個(gè)非零向量a,b的數(shù)量積a·b,等于a在向量b上的投影的數(shù)量與b的模的乘積.(3)投影的數(shù)量:如果a,b都是非零向量,則稱|a|cos<【思考】一個(gè)向量在一個(gè)非零向量上的投影,與這個(gè)非零向量共線嗎?若共線,它們的方向相同還是相反?提示:一個(gè)向量在一個(gè)非零向量上的投影,一定與這個(gè)非零向量共線,但它們既有可能方向相同,也有可能方向相反.【思考】【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)兩個(gè)非零向量的夾角是唯一確定的. (

)(2)若非零向量a與b共線,則<a,b>=0°. (

)(3)a·b不能寫成a×b,也不能寫成ab. (

)【素養(yǎng)小測】提示:(1)√.由兩個(gè)向量夾角的定義可知.(2)×.若非零向量a與b共線,則<a,b>=0°或<a,b>=180°.(3)√.兩個(gè)向量的數(shù)量積只能表示為a·b.提示:(1)√.由兩個(gè)向量夾角的定義可知.2.若|a|=2,|b|=1,a與b的夾角為60°,則a·b等于

(

)

A. B. C.1 D.2【解析】選C.a·b=|a|·|b|cos<a,b>=2×1×cos60°=1.2.若|a|=2,|b|=1,a與b的夾角為60°,則a·b3.已知|a|=9,|b|=6,a·b=-54,則a與b的夾角θ為

(

)A.45° B.135° C.120° D.150°【解析】選B.cosθ==又因?yàn)?≤θ≤π,所以θ=π,即θ=135°.3.已知|a|=9,|b|=6,a·b=-54,則a與4.已知|a|=8,|b|=4,<a,b>=120°,則向量b在a方向上的投影的數(shù)量為 (

)A.4 B.-4 C.2 D.-2【解析】選D.向量b在a方向上的投影的數(shù)量為|b|cos<a,b>=4×cos120°=-2.4.已知|a|=8,|b|=4,<a,b>=120°,則向量5.若向量a與b的夾角為60°,則向量-a與b的夾角為________.

5.若向量a與b的夾角為60°,則向量-a與b的夾角為___【解析】如圖,向量-a與a互為相反向量,所以向量-a與b的夾角為120°.答案:120°【解析】如圖,向量-a與a互為相反向量,類型一求兩向量的數(shù)量積【典例】1.在△ABC中,||=10,||=5,∠B=135°,則·的值是________.

2.已知|a|=4,|b|=5,當(dāng)(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a與b的夾角為30°時(shí),分別求a與b的數(shù)量積.類型一求兩向量的數(shù)量積【思維·引】1.確定與的夾角,依據(jù)數(shù)量積的定義求值.2.依據(jù)數(shù)量積的定義求值,關(guān)注以下兩點(diǎn):(1)注意兩個(gè)向量的夾角;(2)當(dāng)a∥b時(shí),要注意夾角為0°和180°兩種情況.【思維·引】【解析】1.易知cos<,>=cos(180°-∠B)=cos45°=.所以·=||·||cos<,>=10×5×=50.答案:50【解析】1.易知cos<,>=cos(180°-2.(1)當(dāng)a∥b時(shí)，若a與b同向，則〈a,b〉＝0°，a·b＝|a|·|b|cos0°=4×5＝20；若a與b反向，則〈a,b〉=180°，所以a·b＝|a|·|b|cos180°=4×5×(-1)=-20.2.(1)當(dāng)a∥b時(shí)，若a與b同向，則〈a,b〉＝0°，(2)當(dāng)a⊥b時(shí)，〈a,b〉=90°，所以a·b＝|a|·|b|cos90°=0.(3)當(dāng)a與b的夾角為30°時(shí)，a·b＝|a|·|b|cos30°=4×5×=10.(2)當(dāng)a⊥b時(shí)，〈a,b〉=90°，【內(nèi)化·悟】求兩個(gè)向量的數(shù)量積時(shí),要確定哪幾個(gè)量?提示:需要確定兩個(gè)向量的模及向量的夾角.【內(nèi)化·悟】【類題·通】求平面向量數(shù)量積的步驟(1)求a與b的夾角<a,b>,<a,b>∈[0,π].(2)分別求|a|和|b|.(3)求數(shù)量積,即a·b=|a|·|b|cos<a,b>.【類題·通】【習(xí)練·破】已知正三角形ABC的邊長為1,求:

【習(xí)練·破】【解析】(1)因?yàn)榕c的夾角為60°.所以·=||||cos60°=1×1×=.(2)因?yàn)榕c的夾角為120°.所以·=||||cos120°=1×1×

【解析】(1)因?yàn)榕c的夾角為60°.(3)因?yàn)榕c的夾角為60°,所以·=||||cos60°=1×1×=.(3)因?yàn)榕c的夾角為60°,【加練·固】如圖所示,在?ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°,求:

【加練·固】【解析】(1)因?yàn)椤?且方向相同,所以與的夾角是0°,所以·=||||cos0°=3×3×1=9.【解析】(1)因?yàn)椤?且方向相同,(2)因?yàn)椤?且方向相反,所以與的夾角是180°,所以·=||||cos180°=4×4×(-1)=-16.(2)因?yàn)椤?且方向相反,(3)因?yàn)榕c的夾角為60°,所以與的夾角為120°,所以·=||||cos120°=4×3×=-6.(4)因?yàn)榕c的夾角為60°,·=||||cos60°=3×4×=6.(3)因?yàn)榕c的夾角為60°,類型二向量數(shù)量積的幾何意義【典例】1.已知|a|=3,|b|=5,且a·b=-12,則a在b方向上投影的數(shù)量為________,b在a方向上投影的數(shù)量為________.

類型二向量數(shù)量積的幾何意義2.在△ABC中,已知||=5,||=4,||=3,求:(1)·.(2)在方向上的投影的數(shù)量.2.在△ABC中,已知||=5,||=4,|【思維·引】1.依據(jù)一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影的數(shù)量的定義求值.2.(1)判斷△ABC的形狀,求有關(guān)角的余弦值,依據(jù)

·=-·求值.(2)依據(jù)一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影的數(shù)量的定義求值.【思維·引】1.依據(jù)一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影【解析】1.a·b=|a|·|b|cos<a,b>=-12,所以向量a在向量b方向上投影的數(shù)量為|a|·cos<a,b>=;向量b在向量a方向上投影的數(shù)量為|b|·cos<a,b>==-4.答案:-

-4【解析】1.a·b=|a|·|b|cos<a,b>=-12,2.因?yàn)閨|=5,||=4,||=3,所以△ABC為直角三角形,且C=90°.所以cosA=,cosB=.(1)·=-·=-5×4×=-16.(2)||·cos<,>=2.因?yàn)閨|=5,||=4,||=3,【內(nèi)化·悟】分兩個(gè)向量的夾角為銳角和鈍角兩種情況,說明b在a方向上的投影的數(shù)量,何時(shí)為正,何時(shí)為負(fù)?【內(nèi)化·悟】提示:具體情況可以借助下表分析:提示:具體情況可以借助下表分析:【類題·通】求向量的投影(或其數(shù)量)的關(guān)注點(diǎn)和計(jì)算方法(1)關(guān)注點(diǎn):注意a在b上的投影與b在a上的投影不同,審題時(shí)要看清.【類題·通】(2)計(jì)算方法:a在b方向上的投影的數(shù)量為|a|cos<a,b>=,b在a方向上的投影的數(shù)量為|b|cos<a,b>=.(2)計(jì)算方法:a在b方向上的投影的數(shù)量為【習(xí)練·破】如圖,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D是BC邊的中點(diǎn),求:(1)在方向上投影的數(shù)量;(2)在方向上投影的數(shù)量.【習(xí)練·破】【解析】連接AD,因?yàn)锳B=AC=4,∠BAC=90°,所以△ABC是等腰直角三角形.又因?yàn)镈是BC邊的中點(diǎn),所以AD⊥BC,∠ABD=45°,所以BD=2.延長AB到E(如圖所示),則與的夾角為∠DBE=180°-45°=135°.【解析】連接AD,因?yàn)锳B=AC=4,∠BAC=90°,因此,(1)在方向上投影的數(shù)量是||cos135°=4×=-2.(2)在方向上投影的數(shù)量是||cos135°=2×=-2.因此,【加練·固】已知|a|=4,|b|=5,則a在b上的投影數(shù)量與b在a上的投影數(shù)量的比值λ=________.

【解析】由題意,得λ=答案:

【加練·固】類型三向量數(shù)量積的性質(zhì)及應(yīng)用角度1與向量的夾角、垂直有關(guān)的問題【典例】1.E,F,G,H分別是四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),若(+)·(+)=0,則四邊形EFGH是 (

)

A.梯形 B.正方形 C.菱形 D.矩形類型三向量數(shù)量積的性質(zhì)及應(yīng)用2.已知a,b是兩個(gè)非零向量. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)若|a|=3,|b|=4,|a·b|=6,求a與b的夾角.(2)若|a|=|b|=|a-b|,求a與a+b的夾角.2.已知a,b是兩個(gè)非零向量. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)【思維·引】1.根據(jù)向量加法的三角形法則變形,利用向量垂直的幾何意義判斷垂直關(guān)系.2.(1)利用向量數(shù)量積的公式求解;(2)利用向量的幾何意義求解.【思維·引】1.根據(jù)向量加法的三角形法則變形,利用向量垂直的【解析】1.選D.如圖,連接AC,BD,則由題意可知,EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH,同樣,GF∥BD,EH∥BD,【解析】1.選D.如圖,連接AC,BD,所以GF∥EH,所以四邊形EFGH是平行四邊形,又(+)·(+)=0,即·=0,所以⊥,即AC⊥BD,所以EF⊥GF,所以四邊形EFGH是矩形.所以GF∥EH,所以四邊形EFGH是平行四邊形,2.(1)因?yàn)閍·b=|a||b|cos<a,b>,所以|a·b|=||a||b|cos<a,b>|=|a||b||cos<a,b>|=6.又|a|=3,|b|=4,所以|cos<a,b>|=所以cos<a,b>=±.因?yàn)?lt;a,b>∈[0,π],所以a與b的夾角為或.2.(1)因?yàn)閍·b=|a||b|cos<a,b>,(2)如圖,在平面內(nèi)取一點(diǎn)O,作=a,=b,以,為鄰邊作?OACB,因?yàn)閨a|=|b|,即||=||,所以四邊形OACB為菱形,OC平分∠AOB,這時(shí)=a+b,=a-b,因?yàn)閨a|=|b|=|a-b|,即||=||=||,(2)如圖,在平面內(nèi)取一點(diǎn)O,作=a,=b,以所以∠AOB=,所以∠AOC=,即a與a+b的夾角為.所以∠AOB=,所以∠AOC=,即a與a+b的夾【素養(yǎng)·探】在與向量的夾角有關(guān)的問題中,經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中